Transcription of CAPES Exercices Corrigés Formes quadratiques
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CAPES Exercices Corrigés Formes quadratiques
CAPES . Exercices Corrig s Formes quadratiques 2009-2010. Exercice 1 Soit B une forme bilin aire sur un espace vectoriel r el V et soit q sa forme quadratique associ e. 1. Montrer l'identit de Cauchy q (q(u)v B(u, v)u) = q(u) [q(u)q(v) B(u, v)B(v, u)] . (1). 2. En d duire, si q est d nie positive, l'in galit de Cauchy-Schwarz B(u, v)B(v, u) q(u)q(v). (2). Solution - 1. La formule s'obtient par un calcul direct utilisant la bilin arit de B . En e et pour tous u, v V , on a : q (q(u)v B(u, v)u) = B(q(u)v B(u, v)u, q(u)v B(u, v)u). = q(u)2 B(v, v) q(u)B(u, v)B(v, u). B(u, v)q(u)B(u, v) + B(u, v)2 B(u, u). = q(u)2 q(v) q(u)B(u, v)B(v, u). B(u, v)2 q(u) + B(u, v)2 q(u). = q(u)2 q(v) q(u)B(u, v)B(v, u). = q(u) [q(u)q(v) B(u, v)B(v, u)].
La famille (‘1,‘2,‘3) est une base de (R2[X])∗ et la base (P1,P2,P3) dont la base duale est (‘1,‘2,‘3) est une base q-orthogonale. Soit Q = 0 @ 3 4 1 0 1 0 0 9 8 − 5 18 1 1 A la matrice de passage de B∗ 2 à (‘1,‘2,‘3). La matrice de passage de B2 à (P1,P2,P3) est donnée par P = tQ−1. Pour calculer Q−1, nous allons ...
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