EJEMPLO DEL CALCULO DE LOS ESFUERZOS´ PERMISIBLES …

1 EJEMPLO DEL CA LCULO DE LOS ESFUERZOS. PERMISIBLES POR COMPRESIO N AXIAL Y POR. FLEXIO N ALREDEDOR DEL EJE DE MAYOR. MOMENTO DE INERCIA DE LA SECCIO N. TRANSVERSAL. DISEN O ESTRUCTURAL. UNIVERSIDAD TECNOLO GICA DE ME XICO. Profesor: Dr. Bernardo Go mez Gonza lez Me xico, Abril 2007. i . Cap tulo 1. EJEMPLO de aplicacio n El problema que motiva este EJEMPLO de aplicacio n es el de una columna que estara sometida a los siguientes elementos meca nicos: Pu = 240 klb, MuxI = 80 klb pie Extremo superior, MuxS = 60 klb pie Extremo inferior. ( ). La seccio n transversal de la columna se muestra en la siguiente figura. 6y 6. 1. - tw = 1 16 plg d= 14 83 plg - x tf = 1 34 plg ? ? -6. bf = 12 85 plg La altura total de la columna es de 14 pies, y so lo tiene arriostramiento lateral en sus extremos superior e inferior. Se requiere encontrar los esfuerzos admisibles por: a) Compresio n axial. 2. Ca lculos preliminares 3. b) Flexio n alrededor del eje de mayor momento de inercia de la seccio n transversal.

2 Ca lculos preliminares Para la obtencio n de los esfuerzos PERMISIBLES ante compresio n axial y momento flexionante, es necesario hacer una serie de ca lculos cuyos resultados nos sera n de utilidad en los ca lculos posteriores. Los ca culos que se hara n en esta seccio n pueden ser omitidos si se cuenta con un manual de perfiles de acero, en el que se encuentren las propiedades geome tricas de la seccio n transversal en estudio. Los ca lculos que se muestran a continuacio n nos permiten obtener el a rea, los momentos de inercia alrededor de los ejes principales y los radios de giro, tambie n alrededor de los ejes principales, de la seccio n transversal de la columna. A = 2bf tf + (d 2tf ) tw , . A = 2( )( ) + (2) ( ) ( ), A = plg2 . ( ). " 2 #. 1 1 d b f Ix = tw (d 2tf )3 + 2 bf t3 + bf tf , 12 12 f 2 2.. 1 3. Ix = ( ) (2) ( ) +. 12. " 2 #. 1 + (2) ( )( )3 + ( )( ) , 12 2 2. Ix = + 1772, Ix = 1886 plg3 . ( ). i . 4 EJEMPLO de aplicacio n . 1 3 1 3. Iy = (d 2tf ) tw + 2 tf b , 12 12 f.

3 1. (2) ( ) ( )3 +.. Iy =. 12.. 1 3. + (2) ( )( ) , 12. Iy = + 587, Iy = 588 plg3 . ( ). r Ix rx = , r A. 1886. rx = , rx = plg. ( ). r Iy ry = , r A. 588. ry = , ry = plg. ( ). Inciso a Una vez que hemos obtenido las propiedades geome tricas ba sicas de la seccio n transversal de la columna, procedemos a calcular el esfuerzo admisible por compresio n axial. A continuacio n se describen los pasos a seguir. Ca lculo de las relaciones de esbeltez Se debera n calcular las dos relaciones de esbeltez de la columna alrededor de los ejes principales de la seccio n transversal. En este caso es importante sen alar que las longitudes no arriostradas contra pandeo alrededor de los dos i . Inciso a 5. ejes principales es la misma, ya que no existe ningu n elemento que restrinja el desplazamiento lateral de la columna en algu n punto intermedio de su altura total. Por lo anterior se tiene que, L x = Ly = L. Lx = Ly = (14)(12). Lx = Ly = 168 plg. ( ). Una vez establecidas las longitudes no arriostradas contra pandeo alrede- dor de los dos ejes principales de la seccio n transversal, se procede a calcular las relaciones de esbeltez alrededor de ambos ejes: k x Lx (1)(168).

4 = , rx k x Lx = . ( ). rx k y Ly (1)(168). = , ry k y Ly = . ( ). ry Para calcular el esfuerzo admisible por compresio n axial se considera a la mayor relacio n de esbeltez de entre las dos calculdas. Por lo tanto, la relacio n de esbeltez que se utilizara en el resto de los ca lculos tendra el valor de Comparacio n de la relacio n de esbeltez seleccionada con la relacio n de esbeltez cr tica La relacio n de esbeltez cr tica se calcula como se muestra a continuacio n: s 2E. Cc = , Fy r (2)(30 103 ). Cc = , 36. Cc = 130 . ( ). i . 6 EJEMPLO de aplicacio n En este caso, la relacio n de esbeltez de la columna resulta menor a la relacio n de esbeltez cr tica, por lo que la falla de este elemento estructural estara regida por la fluencia del material y no por el pandeo del elemento. ky Ly = < Cc = 130 . ( ). ry Ca lculo del esfuerzo admisible por compresio n axial De acuerdo con el resultado anterior, el ca lculo del esfuerzo admisible por compresio n axial en la columna se calcula de la siguiente manera: " ky Ly 2 #.

5 1 ry Fy 1 2 Cc Fa = ky Ly ky Ly 3 , 5 3 ry 1 ry 3. + 8 Cc 8 Cc h i 1 2.. (36) 1 2 130. Fa = , 5 3. + 38 1.. 3 130. 8 130. 33. Fa = , klb Fa = 18 . ( ). plg2. Inciso b La solucio n del problema continu a con el ca lculo del esfuerzo admisible por flexio n alrededor del eje de mayor momento de inercia de la seccio n transversal. Al igual que en el inciso a), se ira n indicando a continuacio n los pasos a seguir. Determinar si la seccio n es compacta o no compacta La seccio n es compacta si se cumple la siguiente desigualdad: i . Inciso b 7. bf 65. p , 2tf Fy bf 65. = , 2tf (2)( ) 36. bf = 10 Cumple. ( ). 2tf El resultado anterior indica que la seccio n es compacta. Ca lculo de la longitud cr tica no arriostrada Una vez que se hemos establecido el tipo de seccio n se continu a la solucio n del problema calculando la longitud cr tica no arriostrada, la cual estara de- terminada por el menor valor que resulte de las siguientes ecuaciones: 76bf . Fy . Lc = , . 20000.

6 Fy d bf tf (76)( ).. 36.. Lc = , 20000. (36)( ). ( )( ). 160 plg Rige Lc = . ( ). 854 plg . Como no se esta indicando que la columna tenga algu n tipo de arrios- tramiento lateral entre sus apoyos extremos, la longitud Lc = 160 plg, se compara directamente con la longitud total de la columna, L = 168 plg; de esta comparacio n resulta que L > Lc . Ca lculo del radio de giro rT. El hecho de que L > Lc implica la posibilidad de que el esfuerzo admisible por flexio n alrededor del eje con mayor momento de inercia de la seccio n i . 8 EJEMPLO de aplicacio n transversal este determinado por el pandeo lateral del pat n a compresio n de la columna. Para establecer con precisio n si esta posibilidad es un hecho real, es necesario calcular el radio de giro rT , el cual se define como el radio de giro alrededor del eje con menor momento de inercia de la seccio n transversal, de una porcio n de la misma que estara conformada por el pat n a compresio n y un tercio del alma a compresio n.

7 Los ca lculos se muestran a continuacio n. 11. AT = bf tf + (d 2tf ) , 32 . 1 1 . AT = ( )( ) + (2)( ) , 3 2. AT = + , AT = plg2 . ( ). 1 1 11. tf b3f + (d 2tf ) t3w , . IT =. 12 . 12 3 2. 1. IT = ( )( +. 12.. 1 1 1. (2)( ) ( )3 , . +. 12 3 2. IT = 293 + , IT = 294 plg4 . ( ). r IT. rT = , A. r T. 294. rT = , rT = plg. ( ). Ca lculo de Cb A continuacio n se calcula el valor de Cb con base en los momentos aplica- dos en los extremos arriostrados del elemento. Como se hemos venido mencio- nando, la columna no tienen ningu n tipo de arriostramiento intermedio entre i . Inciso b 9. sus extremos, por lo que los momentos a considerarse sera n precisamente los aplicados en sus apoyos superior e inferior. De lo anterior se obtiene que: M1 = = 60 klb pie, ( ). M2 = = 80 klb pie. ( ). ( ). La direccio n de estos momentos hacen que la columna se flexione en curva- tura simple, por lo que el valor del cociente M. M2. 1. se considerara como negativo. El ca lculo del valor de Cb se muestra a continuacio n: 2.)

8 M1 M1. Cb = + + , M2 M2. 2. 60 60. Cb = + ( ) + ( ) , 80 80. Cb = + ( ) ( ) + ( ) ( )2 , Cb = + , Cb = . ( ). Ca lculo de Fb1. Una vez calculados los valores de rT y Cb se calcula el valor de Fb1 con base en la siguiente ecuacio n: q L 102000Cb . y si 0 rT. < Fy , .. " #. 2. Fy rL.. q q 102000Cb Fb1 =. 2. 3. 1530 103 Cb Fy si T. Fy rT < 510000C. L. Fy b , ( ).. q . 170000Cb 510000Cb si rLT .. 2 Fy L. rT. Para determinar cua l de los tres casos define a Fb1 se hacen los siguientes ca lculos: i . 10 EJEMPLO de aplicacio n s r 102000Cb (102000)( ). = , Fy 36. s r 102000Cb 115000. = , Fy 36. s 102000Cb . = 3200, Fy s 102000Cb = 57 . ( ). Fy s r 510000Cb (510000)( ). = , Fy 36. s r 510000Cb 576000. = , Fy 36. s 510000Cb . = 1600, Fy s 510000Cb = 130 . ( ). Fy L 168. = , rT L. = . ( ). rT. q L 102000Cb Los ca lculos anteriores nos permiten ver que rT. < Fy , por lo que Fb1 es igual a: Fb1 = , klb Fb1 = 22 . ( ). plg2. i . Inciso b 11. Ca lculo de Fb2. Por otro lado, el valor de Fb2 se calcula con base en la siguiente ecuacio n: si 0 bLd < 20000C.

9 F tf Fy b , Fb2 = . 12000C si b 20000C b Ld bf tf . ( ). Ld Fy bf tf Para determinar cua l de los tres casos define a Fb2 se hacen los siguientes ca lculos: 20000Cb (20000)( ). = , Fy 36. 20000Cb 22600. = , Fy 36. 20000Cb = 630 . ( ). Fy Ld (168)( ). = , bf tf ( )( ). Ld 2420. = , bf tf Ld = 110 . ( ). bf tf Ld 20000Cb Los ca lculos anteriores nos permiten ver que bf tf < Fy , por lo que Fb2. es igual a: Fb2 = , klb Fb2 = 22 . ( ). plg2. Determinacio n de Fb El valor que debe considerarse para el esfuerzo admisible por flexio n al- rededor del eje de mayor momento de inercia de la seccio n transversal, es el i . 12 EJEMPLO de aplicacio n que resulte mayor entre Fb1 y Fb2 , pero como en este caso particular ambos son iguales, el valor de este esfuerzo es igual a: klb Fb = 22 . ( ). plg2. i.