PROBLEMAS RESUELTOS DE ALGEBRA LINEAL¶ INSTITUTO ...

1 <|>. <|>. PROBLEMAS RESUELTOS DE A LGEBRA LINEAL. INSTITUTO POLITE CNICO nacional . ESCUELA SUPERIOR DE CO MPUTO. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BA SICAS. FLORENCIO GUZMA N AGUILAR. 2. <|>. <|>. Problema : Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. 2x + y 2z = 10 x1 + x2 2x3 + 3x4 = 4 x + y 2z + 4w = 5. i) 6x 4y 4z = 2 ii) 2x1 + 3x2 + 3x3 x4 = 3 iii) 2x + 2y 3z + w = 3. 5x + 4y + 3z = 4 5x1 + 7x2 + 4x3 + x4 = 5 3x + 3y 4z 2w = 1. Solucio n: 2x + y 2z = 10 2x + y 2z = 10. (R2 + 3R1 R2 ). i) 6x 4y 4z = 2 y 10z = 28. (2R3 5R1 R3 ). 5x + 4y + 3z = 4 3y + 16z = 42. 2x + y 2z = 10 (R1 /2 R1 ) x + y/2 z = 5. (R3 + 3R2 R3 ) y 10z = 28 ( R2 R2 ) y + 10z = 28. 14z = 42 ( R3 /14 R3 ) z = 3. x + y/2 = 2 x=1. (R1 + R3 R1 ). y=2 (R1 R2 /2 R1 ) y=2 solucio n u nica (R2 10R3 R2 ).

2 Z = 3 z = 3. x1 + x2 2x3 + 3x4 = 4 x1 + x2 2x3 + 3x4 = 4. (R2 2R1 R2 ). ii) 2x1 + 3x2 + 3x3 x4 = 3 x2 + 7x3 7x4 = 5. (R3 5R1 R3 ). 5x1 + 7x2 + 4x3 + x4 = 5 2x2 + 14x3 14x4 = 15. x1 + x2 2x3 + 3x4 = 4. (R3 2R2 R3 ) x2 + 7x3 7x4 = 5 sin solucio n 0=5. x + y 2z + 4w = 5 x + y 2z + 4w = 5. (R2 2R1 R2 ). iii) 2x + 2y 3z + w = 3 z 7w = 7. (R3 3R1 R3 ). 3x + 3y 4z 2w = 1 2z 14w = 14. x + y 2z + 4w = 5. R1 x = 5 y + 2z 4w (R3 2R2 R3 ) z 7w = 7. R2 z = 7w 7. 0=0. x = 5 + 10 14. y= R y= . para metros libres soluciones infinitas w= R z = 7 7. w= . 3. <|>. <|>. Problema : Para que valores del para metro k, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: i) tiene solucio n u nica. ii) no tiene solucio n. iii) tiene soluciones infinitas.

3 Kx + y + z = 1. x + ky + z = 1. x + y + kz = 1. Solucio n: kx + y + z = 1 x + y + kz = 1. x + ky + z = 1 (R1 R3 ) x + ky + z = 1. x + y + kz = 1 kx + y + z = 1. x + y + kz = 1. (R2 R1 R2 ). (k 1)y + (1 k)z = 0. (R3 kR1 R3 ). (1 k)y + (1 k 2 )z = 1 k x + y + kz = 1. (R3 + R2 R3 ) (k 1)y + (1 k)z = 0. ((1 k) + (1 k 2 ))z = 1 k R3 (k 2 + k + 2)z = k 1 (k + 2)(k 1)z = k 1. De esta u ltima ecuacio n inferimos los siguientes resultados para la solucio n, i) tiene solucio n u nica si (k + 2)(k 1) 6= 0 k 6= 2 y k 6= 1. ii) no tiene solucio n si (k + 2)(k 1) = 0 y k 1 6= 0 k = 2 y k 6= 1. iii) tiene soluciones infinitas si (k + 2)(k 1) = 0 y k 1=0 k = 2 y k=1. 4. <|>. <|>. Problema : Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales homogeneos.

4 X1 + 2x2 x3 + 4x4 =0 x + 6w =0. 3x1 x3 + 5x4 =0 2y z + 13w =0. i) ii). 4x1 + 2x2 + 6x3 + 9x4 =0 2x z + 11w =0. x1 + 7x4 =0 2x + 2y 2z + 24w =0. Solucio n: x1 + 2x2 x3 + 4x4 =0 x1 + 2x2 x3 + 4x4 =0. (R2 3R1 R2 ). 3x1 x3 + 5x4 =0 6x2 + 2x3 7x4 =0. i) (R3 4R1 R3 ). 4x1 + 2x2 + 6x3 + 9x4 =0 6x2 + 10x3 7x4 =0. (R4 R1 R4 ). x1 + 7x4 =0 2x2 + x3 + 3x4 =0. x1 + 2x2 x3 + 4x4 =0 x1 + 2x2 x3 + 4x4 =0. (R3 R2 R3 ) 6x2 + 2x3 7x4 =0 6x2 + 2x3 7x4 =0. (R3 /8 R3 ). (3R4 R2 R4 ) 8x3 =0 x3 =0. 7x3 + 16x4 =0 7x3 + 16x4 =0. x1 + 2x2 + 4x4 =0 x1 + 2x2 + 4x4 =0. (R1 + R3 R1 ). 6x2 7x4 =0 6x2 7x4 =0. (R2 2R3 R2 ) (R4 /16 R4 ). x3 =0 x3 =0. (R4 + 7R3 R4 ). 16x4 =0 x4 =0. x1 + 2x2 =0 x1 + 2x2 =0. (R1 4R4 R1 ) 6x2 =0 x2 =0. ( R2 /6 R2 ). (R2 + 7R4 R2 ) x3 =0 x3 =0.

5 X4 =0 x4 =0. x1 =0. x2 =0. (R1 2R4 R2 ) solucio n u nica x3 =0. x4 =0. x + 6w =0 x + 6w =0. 2y z + 13w =0 (R3 2R1 R3 ) 2y z + 13w =0. ii). 2x z + 11w =0 (R4 2R1 R4 ) z w =0. 2x + 2y 2z + 24w =0 2y 2z + 12w =0. x + 6w =0 x + 6w = 0. 2y z + 13w =0 (R2 R3 R2 ) 2y + 14w = 0. (R4 R2 R4 ). z w =0 (R4 R3 R4 ) z w = 0. z w =0 0=0. x = 6 . R1 x = 6w y = 7 . R2 y = 7w w= R para metro libre soluciones infinitas z = . R3 z = w w= . 5. <|>. <|>. Problema : Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales usando la matriz aumentada. x1 + 2x2 3x3 2x4 + 4x5 = 1 x + 2y z = 3. i) 2x1 + 5x2 8x3 x4 + 6x5 = 4 ii) x + 3y + z = 5. x1 + 4x2 7x3 5x4 + 2x5 = 8 3x + 8y + 4z = 17. Solucio n: . 1 2 3 2 4 1 1 2 3 2 4 1. (R2 2R1 R2 ). i) 2 5 8 1 6 4 0 1 2 3 2 2.

6 (R3 R1 R3 ). 1 4 7 5 2 8 0 2 4 3 2 7.. 1 0 1 8 8 3. (R1 2R2 R1 ) 0 1 2 3 2 2 . (R3 2R2 R3 ) . 0 0 0 9 2 3.. 1 0 1 8 8 3.. ( R3 /9 R3 ) 0 1 2 3 2 2 .. 0 0 0 1 2/9 1/3.. 1 0 1 0 56/9 17/3 R1 x1 = 17/3 x3 56/9x5. (R1 + 8R3 R1 ) 0 1 2 0 12/9 . 3 R2 x2 = 3 + 2x3 + 12/9x5. (R2 3R3 R2 ) . 0 0 0 1 2/9 1/3 R3 x4 = 1/3 + 2/9x5. x1 = 17/3 56/9 . x2 = 3 + 2 + 12/9 . x3 = R. para metros libres x3 = soluciones infinitas x5 = R. x4 = 1/3 + 2/9 . x5 = .. 1 2 1 3 1 2 1 3. (R2 R1 R2 ). ii) 1 3 1 5 0 1 2 2 .. (R3 3R1 R3 ). 3 8 4 17 0 2 7 8.. 1 0 5 1. (R1 + 2R2 R1 ) 0 1 2 2 . (R3 + 2R2 R3 ) . 0 0 3 4.. 1 0 5 1 1 0 0 17/3. 0 1 2 2 (R1 + 5R3 R1 ) 0 1 0 2/3 . R3 /3 R3 ) . (R2 + 2R3 R2 ). 0 0 1 4/3 0 0 1 4/3. x = 17/3. y = 2/3 solucio n u nica z = 4/3.

7 6. <|>. <|>. Problema : Considere los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. Que condicones deben de satisfacer los para metros, k1 , k2 , k3 , m y n, para que el sistema a) Tenga solucio n u nica. b) No tenga solucio n. c) Tenga un nu mero infinito de soluciones. 2x1 + 2x2 + 4x3 = 2k1 x 2y + 3z = 11. i) x1 + x3 = k2 ii) 2x y + 3z = 10. 2x1 + x2 + 3x3 = k3 4x + y + (m 1)z = 4 + n Solucio n: 2x1 + 2x2 + 4x3 = 2k1 x1 + x2 + 2x3 = k1. i) x1 + x3 = k2 (R1 /2 R1 ) x1 + x3 = k2. 2x1 + x2 + 3x3 = k3 2x1 + x2 + 3x3 = k3. x1 + x2 + 2x3 = k1. (R2 R1 R2 ). x2 x3 = k2 k1. (R3 2R1 R3 ). x2 x3 = k3 2k1. x1 + x2 + 2x3 = k1. (R3 R2 R3 ) x2 x3 = k2 k1. 0 = k3 k2 k1. a) El sistema no puede tener solucio n u nica. b) El sistema no tiene solucio n si k3 k2 k1 6= 0.

8 B) El sistema tiene un nu mero infinito de soluciones si k3 k2 k1 = 0. x 2y + 3z = 11 x 2y + 3z = 11. (R2 2R1 R2 ). ii) 2x y + 3z = 10 3y 3z = 12. (R3 4R1 R3 ). 4x + y + (m 1)z = 4 + n 9y + (m 13)z = n 40. x 2y + 3z = 11. (R3 3R2 R3 ) 3y 3z = 12. (m 4)z = n 4. a) El sistema tiene solucio n u nica si m 4 6= 0 y n 4 6= 0. b) El sistema no tiene solucio n si m 4=0 y n 4 6= 0. b) El sistema tiene un nu mero infinito de soluciones si m 4=0 y n 4=0. 7. <|>. <|>. Problema : Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones lineales homoge neos usando la matriz aumentada. x + 2y 3z + 4t = 2 2x + 4y z = 0. i) 2x + 5y 2z + t = 1 ii) x+y z =0. 5x + 12y 7z + 6t = 7 3x + 2y + 2z = 0. Solucio n: . 1 2 3 4 2 1 2 3 4 1. (R2 2R1 R2 ) . i) 2 5 2 1 1 0 1 4 7 3.

9 (R3 5R1 R3 ) . 5 12 7 6 7 0 2 8 14 3.. 1 0 11 18 7. (R1 2R2 R1 ) 0 1 4 7 3 . (R3 2R2 R3 ) . 0 0 0 0 3. El sistema no tiene solucio n.. 2 4 1 0 1 1 1 0. ii) 1 1 1 0 R1 R2 2 4 1 0 .. 3 2 2 0 3 2 2 0.. 1 1 1 0. (R2 2R1 R2 ) 0 2 1 0 . (R3 3R1 R3 ) . 0 1 5 0.. 1 1 1 0 1 0 1/2 0. 0 1 1/2 0 (R1 R2 R1 ) 0 1 1/2 0 . (R2 /2 R2 ) . (R3 + R2 R3 ). 0 1 5 0 0 0 11/2 0.. 1 0 1/2 0 1 0 0 0. 0 1 1/2 0 (R1 + R3 /2 R1 ) 0 1 0 0 . (2R3 /11 R3 ) . (R2 R3 /2 R2 ). 0 0 1 0 0 0 1 0. x=0. y=0 solucio n u nica z=0. 8. <|>. <|>. Problema : Encuentre el determinante de cada una de las siguientes matrices, usando el desarrollo en cofactores.. 5 1 4 3. 2 1 5. 3 0 1 2 . i) A = 4 1 3 ii) B = . 2 2 4 0 . 1 1 4. 6 1 2 4. Solucio n: i) Desarrollamos en cofactores con respecto de la fila uno, esto es.

10 2 1 5 . 1 3 4 3 4 1 .. |A| = 4 1 3 = ( 2) . (1) . + (5) . 1 1 4 1 4 1 4 1 1 . = ( 2)( 4 + 3) (1)(16 + 3) + (5)( 4 1). = 2 19 25 = 42. ii) Desarrollamos en cofactores con respecto de la fila dos, esto es, . 5 1 4 3 .. 3 0 1 2 . |B| = . 2 2 4 0 . 6 1 2 4 .. 1 4 3 5 4 3 5 1 3 5 1 4 .. = ( 3) 2 4 0 + (0) 2 4 0 ( 1) 2 2 0 + (2) 2 2 4 .. 1 2 4 6 2 4 6 1 4 6 1 2 .. 4 3 . = (3) ( 2) + (4) 1 3 (0) 1 4 . 2 4 1 4 1 2 .. 1 3 5 3 .. +(1) ( 2) + (2) (0) 5 1 . 1 4 6 4 6 1 .. 2 4 . +(2) (5) (1) 2 4 + (4) 2 2 . 1 2 6 2 6 1 . = (3) [( 2)( 21) + (4)( 7)] + [( 2)( 7) + (2)( 2)] + (2) [(5)(0) (1)(28) + (4)(14)]. = (3)(14) + (10) + (2)(28). = 42 + 10 + 56 = 108. 9. <|>. <|>. Problema : Encuentre el determinante de cada una de las siguientes matrices, usando las propiedades de los determinantes.