Chapitre 11 : Facteur de structure - pagesperso-orange.fr

1 Facteur de structure Page 1 sur 14. Chapitre 11 : Facteur de structure Introduction Rappelons deux r sultats importants tablis dans le Chapitre pr c dent : o 1 : La famille de plans (h k l) d'un cristal diffracte un rayonnement incident de longueur d'onde l'ordre n, si et seulement si, les conditions de diffraction sont r alis es : r r r ( ). S S0 / = rhkl*. r r S0 et S sont les vecteurs unitaires support s par les droites respectivement parall les r r r r aux rayons incident et diffract , H = ( S S0 ) / est le vecteur diffusion, et rhkl* est un vecteur du r seau r ciproque Chaque maille r pond alors en phase dans la direction de diffraction. o 2 : L'amplitude de l'onde r mise par une maille est proportionnelle au Facteur de structure F ( H ) : N r r F ( H ) = a j exp2i (H | r j ) (1). j =1.

2 A j est l'amplitude de diffusion de l'atome j dont la position dans la maille est rep r e r par le vecteur - position r j . N est le nombre d'atomes contenus dans une maille . Connaissant les atomes et leurs positions dans la maille, on est capable ( souvent . l'aide d'un logiciel appropri ) de calculer l'intensit I(hkl) diffract e, qui est proportionnelle au carr du module du Facteur de structure . Diffraction par des plans atomiques Consid rons les plans atomiques P1 et P2 parall les la famille (hkl) : ils ont la rang e [hkl]* pour normale commune, la distance d entre ces plans est compt e le long de leur normale commune. Soient deux atomes quelconques O1 et O2 respectivement situ s dans P1 et P2. Page 2 sur 14 Facteur de structure Figure - Diff rence de marche entre O1 et O2. I et J sont respectivement les projections orthogonales de O2 sur la direction des faisceaux incident et diffract.

3 Venant de l'infini, les rayons arrivent en I et O2 dans le m me tat de vibration, ils retournent l'infini avec l' tat de vibration qu'ils ont en J et O2. La diff rence de rmarche entre les ondes mises par O1 et O2, dans la direction du vecteur unitaire S est gale IO 1+O1J soit : r r r r r r r r r r ( ) ( ).. = (S r ) ( S0 r ) = S S 0 r avec r = O1O2 et S0 , S = 2 . r r r ( ). = S S0 proj ( r ) /[hkl ]* = 2sin d 0 < < / 2. 2sin n Lorsque la famille (h k l) est en position de r flexion =. Dhkl La diff rence de phase entre les ondes mises par les deux atomes O1 et O2. s' crit donc : 2 2sin nd = = 2 d = 2 (1). Dhkl Remarque: le d phasage entre les atomes O1 et O2 est caus uniquement par la diff rence de cote d entre les plans atomiques, leur position dans les plans atomiques n'intervient pas. Si la distance d s parant deux plans atomiques est gale Dhkl, d'apr s (1) : d = Dhkl = 2 n Facteur de structure Page 3 sur 14.

4 Les atomes se trouvant dans des plans atomiques de normale commune [hkl]* et s par s de Dhkl, mettent des ondes en phase. Cons quence : on n'aura besoin de s'int resser qu'aux plans atomiques de cote inf rieure Dhkl. Finalement on associe, chaque famille (h k l), une famille de plans atomiques ayant pour normale commune [ h k l ]* La cote d du plan atomique contenant l'atome j de coordonn es xj, yj, z j ,prise le long de [hkl]* est gale , Chap 5-( ), : d = Dhkl ( hx j + kyj + lz j ). La diff rence de phase j entre les ondes mises par l'atome j se trouvant dans le plan de cote d et un atome se trouvant dans le plan origine est gale, d'apr s (1), : r r j = 2 n ( hx j + kyj +lz j ) = 2 H r j ( ). lorsque la famille (h k l) est en position de diffraction, pour une r flexion d'ordre n, Expression du Facteur de structure Consid rons un atome situ l'origine de la maille,ayant une amplitude de diffusion a, irradi par une onde incidente d'amplitude A0 et de pulsation : L'onde qu'il diffuse a a R.

5 Pour amplitude : A ( R , t ) = A0 exp i (t ). R c L'amplitude totale Ad ( R, t ) diffus e par les N atomes de la maille, est gale la somme des amplitudes des ondes mises par chacun des atomes compte tenu de son d phasage par rapport l'origine des phases, prise sur l'atome 1: r r r r 1 R a + a exp2 i H ( ) ( ). r2 + a3 exp2i H r3 + .. Ad ( R, t ) = A0 exp i (t ) . 1 2. r r . R c .. + aN exp2i . ( H rN ) . ou encore : R N r r . Ad ( R, t ) = A0. 1. exp i (t ) a j exp2i H rj . c j =1. ( ). R . Diffuseur ponctuel : Pour le rayonnement utilis , l'atome se pr sente comme un ' point'' diffusant. L'amplitude de diffusion des atomes est alors ind pendante de l'angle de diffusion. Le Facteur de structure s' crit :alors r r ( ). N. F (h k l ) = a j exp2i H rj j =1. a j est l'amplitude de diffusion de l'atome.

6 J C'est l'expression du Facteur de structure associ la diffraction nucl aire des neutrons, (5). Page 4 sur 14 Facteur de structure Diffuseur atomique : Pour le rayonnement utilis , l'atome se pr sente comme un objet diffractant de dimension comparable la longueur d'onde, constitu de centres diffusants identiques. On verra dans les chapitres suivants que ces centres sont les lectrons pour les rayons X, les lectrons non appari s pour la diffraction magn tique des neutrons. L'amplitude de diffusion d'un atome se pr sente alors sous la forme d'un produit de deux termes : a j = ac f j ( H ). o un terme constant ac qui est l'amplitude de diffusion d'un centre o un terme variable avec l'angle de diffusion f j ( H ) qui est le Facteur de diffusion atomique : c'est un nombre complexe ( ventuellement) dont le module repr sente le r nombre de centres diffusant en phase dans la direction du vecteur de diffusion H.

7 L'amplitude totale diffus e par les N atomes de la maille s' crit alors : exp i (t ) f j ( H ) e x p 2i ( hx j + kyj + lz j ). ac R N. A ( hkl ) = A0. R c j =1. Le premier terme repr sente l'amplitude de l'onde diffus e par un centre situ . l'origine de la maille et poss dant une amplitude de diffusion ac. Le second terme est le Facteur de structure F ( hkl ) de la maille pour la r flexion (hkl). N. F (hkl ) = f j ( H )exp2i (hx j + ky j + lz j ). j =1. On remarque que F(000) = ? fj(0)r:c'est le nombre total de centres diffusants contenus dans la maille, En effet, pour H =0, tous les centres diffusent en phase. Expression int grale du Facteur de structure Au lieu de consid rer les centres diffuseurs localis s sur des sites discrets correspondant aux positions j des atomes, on traite maintenant le milieu diffractant comme un ensemble continu de centres diffusants.

8 L' l ment de volume d3r contient, au point r, (r)d3r diffuseurs, (r) est la densit en r r r diffuseurs tendue tout le cristal, compos de N mailles b ties sur les vecteurs. a, b, c On crit (x, y, z) sous la forme d'un produit de convolution de la fonction motif c (x, y, z) avec une distribution de Poisson : . (x, y, z) = c (x, y, z) (x-m) (y-n) (z-p ) m n p . mnp . La densit lectronique (x, y, z) est une fonction triplement p riodique de p riodes 1. r r r suivant a , 1 suivant b , 1 suivant c . La fonction motif c (x, y, z) est une fonction non p riodique, d finie l'int rieur de la maille (a, b, c) et nulle en dehors. Facteur de structure Page 5 sur 14. La transform e de Fourier relie l'espace direct l'espace r ciproque. Consid rons la transform e de Fourier F (x, y, z) tendue tout le cristal.

9 D'apr s le th or me de Borel : . F (x, y, z)=F (X, Y, Z) (X-h) (Y-k) (Z-l ) hkl . hkl = . Le Facteur de structure F (X, Y, Z) est la transform e de Fourier F c (x, y, z) de la fonction motif prise sur le domaine Vm (volume de la maille) o c est non nul. Comme les seules valeurs possibles de X Y Z sont respectivement h k l , il s' crit : r r ( ). F ( H ) = F c ( r) = c (r ) e x p 2i H r d3 r Vm r r r r r o H est un vecteur ayant pour coordonn es hkl dans le r seau r ciproque ;. r = xa + yb + zc ,avec x, y, z [0,1[ est le vecteur position de l' l ment de volume d3r On a maintenant : r r r rrr { } { }. d 3r = dxa , dyb , dzc = a b c dx dy dz =V m dx dy dz 1 1 1. F (hkl ) = Vm c ( x, y, z ) e x p 2i (hx + ky + lz ) dx dy dz 0 0 0. Le Facteur de structure F(hkl) peut tre aussi consid r comme la valeur de la transform e de Fourier de la fonction motif au point h k l.]]

10 On voit donc que la transform e de Fourier de (x, y, z) (densit lectronique tendue tout le cristal), n'existe qu'aux n uds du r seau r ciproque du r seau de la fonction 1. (x, y, z) o elle prend la valeur F ( hkl ) . Vm La densit lectronique (x, y, z) est une fonction triplement p riodique, qui se d veloppe en s rie de Fourier. On admettra que : F (h k l) exp -2i (hx + ky + lz ). 1. ( x, y, z ) =. Vm hkl x y z sont les coordonn es fractionnaires d'un point l'int rieur de la maille, les coefficients sont les facteurs de structure : F (h k l)= P F (h k l) P exp i ( h k l ). Remarque : la phase ( h k l ) est indispensable pour le calcul de la synth se de Fourier. Or, la mesure de l'intensit I(h k l) ne peut fournir que le module P F (h k l) P . Le passage du spectre de diffraction la structure pose ,ce qu'on appelle, le "probl me des phases".