EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE POISSON - Bertolo

1 Exerc cios RESOLVIDOS da Distribui o de POISSON 1. a. Qual a diferen a entre as distribui es de POISSON e Binomial? b. D alguns exemplos de quando podemos aplicar a distribui o de POISSON . c. D a f rmula da distribui o de POISSON e o significado dos v rios s mbolos. d. Sob que condi es pode a distribui o de POISSON ser usada como uma aproxima o da distribui o Binomial? Por que isto pode ser til? Solu o a. Enquanto a distribui o binomial pode ser usada para encontrar a probabilidade de um n mero designado de sucessos em n tentativas, a distribui o de POISSON usada para encontrar a probabilidade de um n mero designado de sucessos por unidade de intervalo1. As outras condi es exigidas para se aplicar a distribui o Binomial s o tamb m exigidas para se aplicar a distribui o de POISSON ; isto , (1) deve existir somente dois resultados mutuamente exclusivos, (2) os eventos devem ser independentes, e (3) o n mero m dio de sucessos por unidade de intervalo deve permanecer constante.

2 B. A distribui o de POISSON frequentemente usada em pesquisa operacional na solu o de problemas administrativos. Alguns exemplos s o o n mero de chamadas telef nicas para a pol cia por hora, o n mero de clientes chegando a uma bomba de gasolina por hora, e o n mero de acidentes de tr fego num cruzamento por semana. c. A probabilidade de um n mero designado de sucessos por unidade de intervalo, P(X), pode ser encontrada por: . ! onde X: n mero designado de sucessos : o n mero m dio de sucessos num intervalo espec fico e: A base do logaritmo natural, ou 2,71828. Dado o valor de , podemos encontrar e- , substituindo na f rmula, e encontrar P(X). Note que a m dia e a vari ncia da distribui o de POISSON . d. Podemos usar a distribui o de POISSON como uma aproxima o da distribui o Binomial quando n, o n mero de tentativas, for grande e p ou 1 p for pequeno (eventos raros).

3 Um bom princ pio b sico usar a distribui o de POISSON quando n 30 e ou n.(1-p) < 5. Quando n for grande, pode consumir muito tempo em usar a distribui o binomial e tabelas para probabilidades binomiais, para valores muito pequenos de p podem n o estarem dispon veis. Se n(1-p) < 5, sucesso e fracasso dever o ser redefinidos de modo que Np < 5 para tornar a aproxima o precisa. 2. Um departamento de pol cia recebe em m dia 5 solicita es por hora. Qual a probabilidade de receber 2. solicita es numa hora selecionada aleatoriamente? Solu o X = n mero designado de sucessos = 2. = o n mero m dio de sucessos num intervalo espec fico (uma hora) = 5. 2 0,08422434 ou 8,42%. ! No Excel poder amos construir uma planilha para resolver este problema assim: 1 Tempo, comprimento, etc. Bertolo P gina 1. Exerc cios RESOLVIDOS da Distribui o de POISSON A B C. 1 Dados Descri o 2 2 O n mero de eventos 3 5 A m dia esperada 4 F rmula Descri o (resultado).

4 0,12465202 A probabilidade cumulativa POISSON com os termos 5 < = POISSON (A2;A3;VERDADEIRO) acima (0,124652). 0,08422434 A fun o de probabilidade de massa POISSON com os 6 < = POISSON (A2;A3;FALSO) termos acima (0,084224). 7. OBS:- Fun o de probabilidade de massa = Fun o 8 densidade de probabilidade Voc poderia tamb m usar o procedimento que desenvolvemos em Javascript para a realiza o deste c lculo. Assim O link2 : 3. A experi ncia passada indica que um n mero m dio de 6 clientes por hora param para colocar gasolina numa bomba. a. Qual a probabilidade de 3 clientes pararem qualquer hora? b. Qual a probabilidade de 3 clientes ou menos pararem em qualquer hora? c. Qual o valor esperado, a m dia, e o desvio padr o para esta distribui o? Solu o a. 6 216 . 0,00248 0,53568. 3 0,08928. 3! 6. 2 Outras distribui es poder o ser calculadas neste site: Bertolo P gina 2. Exerc cios RESOLVIDOS da Distribui o de POISSON A B.

5 1 Dados 2 3. 3 6. 4 F rmula 0,15120388. 5 < = POISSON (A2;A3;VERDADEIRO). 0,08923508. 6 < = POISSON (A2;A3;FALSO). b. P(X 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3). 6 1 . 0,00248. 0 0,00248. 0! 1. A B. 1 Dados 2 0. 3 6. 4 F rmula 0,00247875. 5 < = POISSON (A2;A3;VERDADEIRO). 0,00247875. 6 < = POISSON (A2;A3;FALSO). 6 6 . 0,00248. 1 0,01488. 1! 1. A B. 1 Dados 2 1. 3 6. 4 F rmula 0,01735127. 5 < = POISSON (A2;A3;VERDADEIRO). 0,01487251. 6 < = POISSON (A2;A3;FALSO). 6 36 . 0,00248. 2 0,04464. 2! A B. 1 Dados 2 2. 3 6. 4 F rmula 0,0619688. 5 < = POISSON (A2;A3;VERDADEIRO). 0,04461754. 6 < = POISSON (A2;A3;FALSO). 6 216 . 0,00248 0,53568. 3 0,08928. 3! 6. A B. 1 Dados 2 3. 3 6. 4 F rmula 0,15120388. 5 < = POISSON (A2;A3;VERDADEIRO). 0,08923508. 6 < = POISSON (A2;A3;FALSO). Bertolo P gina 3. Exerc cios RESOLVIDOS da Distribui o de POISSON Assim, P(X 3) = 0,00248 + 0,01488 + 0,04464 + 0,08928 = 0,15128.

6 A B C D E. 1 Dados 2 0 1 2 3. 3 6. 4 C lculos 0,00247875 0,01735127 0,0619688 0,1512039. 5 < = POISSON (A2;$A$3;VERDADEIRO). 0,00247875 0,01487251 0,04461754 0,08923508. 6 < = POISSON (A2;$A$3;FALSO). c. O valor esperado, ou m dia, desta distribui o de POISSON = 6 clientes, e o desvio padr o = 6 2,45 clientes. 4. A experi ncia passada mostra que 1% das l mpadas incandescentes produzidas numa f brica s o defeituosas. Encontre a probabilidade de mais que uma l mpada numa amostra aleat ria de 30 l mpadas sejam defeituosas, usando: a. A distribui o Binomial e b. A distribui o de POISSON . Solu o a. Aqui n = 30, p = 0,01, e queremos encontrar P(X > 1). Ent o P(2) + P(3) + P(4) + .. = 0,0328 + 0,0031 + 0,0002 = 0,0361 ou 3,61%. b. Como n = 30 e = (30).(0,01) = 0,3, podemos usar a aproxima o de POISSON da distribui o binomial. Considerando = Np = 0,3, temos que encontrar P(X > 1).

7 = 1 P(X 1), onde X o n mero de l mpadas defeituosas. Agora, , 0,3. 1 0,3 . 0,74082 0,222246. 1! A B. 2 1. 3 0,3. 4 F rmula 0,96306369. 5 < = POISSON (A2;A3;VERDADEIRO). 0,22224547. 6 < = POISSON (A2;A3;FALSO). , 0,3 , 0 0,74082. 0! A B. 1 Dados 2 0. 3 0,3. 4 F rmula 0,74081822. 5 < = POISSON (A2;A3;VERDADEIRO). 0,74081822. 6 < = POISSON (A2;A3;FALSO). P(X 1) = P(1) + P(0) = 0,222246 + 0,74082 = 0,963066. Assim, P(X > 1) = 1 P(X 1) = 1 0,963066 = 0,036934 ou 3,69%. Quando n ficar maior, a aproxima o torna-se mais estreita. Bertolo P gina 4. Exerc cios RESOLVIDOS da Distribui o de POISSON 5. Um processo de produ o produz 10 itens defeituosos por hora. Encontre a probabilidade que 4 ou menos itens sejam defeituosos numa retirada aleat ria por hora usando, usando: a. A distribui o de POISSON e b. A aproxima o normal da POISSON . Solu o a. Aqui = 10 e queremos encontrar P(X 4), onde X o n mero de itens defeituosos da retirada aleat ria por hora.

8 O valor e-10 0,00005. Portanto, 1 . 0 0,00004540. 0! 1. 10 . 0,0000454. 1 0,000454. 1! 1. 10 . 0,0000454. 2 0,00227. 2! 10 . 0,0000454 0,04539993. 3 0,00756665. 3! 6. 10 . 0,0000454. 4 0,01891664. 4! 24. P(X 4) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 0,0000454 + 0,000454 + 0,00227 +. 0,00756665 + 0,01891664 = 0,02925254 ou cerca de 2,92%. A B C D E F. 1 Dados 2 0 1 2 3 4. 3 10. 4 C lculos 0,00004540 0,00049940 0,00276940 0,01033605 0,02925269. 5 < = POISSON (E2;$A$3;VERDADEIRO). 0,00004540 0,00045400 0,00227000 0,00756665 0,01891664. 6 < = POISSON (E2;$A$3;FALSO). b. Tratando os itens como cont nuos, queremos encontrar P(X 4,5), onde X o n mero de itens defeituosos, = = 10, e = = 10 3,16. Assim, 4,5 10 5,5. 1,74. 3,16 3,16. Para z = 1,74, obtemos da tabela 0,459. Isto significa que 0,5 0,4591 =. 0,0409 da rea (probabilidade) sob a curva normal padr o fica esquerda de z =.

9 - 1,74. Assim P(X 4,5) = 0,0409 ou 4,09%. Quando tornar-se maior, obtemos uma aproxima o melhor. (Se n o tivermos tratado o n mero de itens defeituosos como uma vari vel cont nua, ter amos encontrado que P(X 4) = 0,287). 6. Se eventos ou sucessos seguem uma distribui o de POISSON , podemos determinar a probabilidade que o primeiro evento ocorra dentro de um per odo de tempo designado, P T t , pela distribui o de probabilidades exponencial. Como estamos tratando com o tempo, a exponencial uma distribui o de probabilidade cont nua. Isto dado por P T t 1 e . onde o n mero m dio de ocorr ncias para o intervalo de interesse e e tabelado. O valor esperado e a vari ncia s o E T 1/ e Var T 1 / 2. a. Para Var T 1 / 2, encontre a probabilidade que iniciando num ponto aleat rio no tempo, o primeiro cliente pare na bomba de gasolina dentro de meia hora. b. Qual a probabilidade de que nenhum cliente pare na bomba de gasolina dentro de meia hora.

10 Bertolo P gina 5. Exerc cios RESOLVIDOS da Distribui o de POISSON c. Qual o valor esperado e a vari ncia da distribui o exponencial, onde a vari vel cont nua o tempo T? Solu o a. Como uma m dia de 6 clientes param na bomba por hora, = m dia de 3 clientes por meia hora. A probabilidade de que o primeiro cliente parar dentro da primeira meia hora . 1 e- = 1 e-3 = 1 0,04979 = 0,9502 ou 95,02%. b. A probabilidade de que nenhum cliente pare na bomba dentro de meia hora . e- = e-3 = 0,04979. c. E(T) = 1/ = 1/6 0,17 h por carro, e Var T = 1/ 2 = 1/36 0,03 h por carro quadrado. A distribui o exponencial pode ser tamb m usada para calcular o tempo entre dois eventos sucessivos. Bertolo P gina 6.