El conjunto de los números reales (IR) - INFD

1 22~a 9 =2, =2,4)1~e -6 =-0, =-0,16El conjuntodelosn merosreales(IR)Losn merosracionalessonaquellosquepuedenserex presadoscomoelcocienteentredosn meroracional:comofracci no enformadecimal;unay otrcdesignanexactamentealmismon ndecimaldeunn meroracionaltieneunn merofinitodecifrasdecimalessignificativa s,o esperi merosirracionalessonaquellosquenopuedens erexpresadoscomouncocienteentredosn merosenteros,portenerinfinitascifrasdeci malesnoperi cesnoexactasdebaseenterasonn ) \ 2=1, ) V7=2, )Jre Y4=1, ) m =1, merosirracionalesquesedeterminana partirdeunaleydeformaci ) 4, ) 0, ) -3, ) 25, merosreales(IR)est formadoporlosn merosracionales(Q)y unpuntodelamismaseleasig"elO,seeligeunse gmentounidady seubicanlosn cadan meroreallecorrespondeunpuntodelarectay "40,51,125 IntervalosrealesSedenominaintervaloreala todasemirrectao ntesiso corchetes.

2 Par ntesis,silosextremosnoest nincluidos(intervaloabierto); corchetes,siseincluyenlosextremos(interv alocerrado).A = {x/xER 1\-2 <:x <:3} =[-2;3]M= {xixER 1\x >-3,S}= [-3,5;+CO)-3,5-1., -3-2-5-4-3-2-1B = {x/xE R 1\-4< x < O}=(-4;0)-5-4-3-2-1T = {xixER 1\x > 2}= (2;+co)l 3-2-1F = {x/xER 1\x <:0,5}= (-co;O,S]0,5-3-2-1G={x/xER 1\x < -l}= (-co;-l)1I4-4-3-2-1e ={xixER 1\1 <:x < s} =[1;5)-2-10={xixER 1\-2,S< x <:-0,5}=(-2,5;-0,5]-2,50,5 III]-4-3-2-1[TRAMOA e N ) = 3 : 4 = 0,7511b)S=11:5=2,21e)-g=-1:8=-0,125 Operacionesconn merosracionalesAl efectuarla divisi nno exactade dosn merosenteros,puedesucederque: el restodela divisi nseacero:en esecasoel cocientees unaexpresi ndecimalconun n merofinitodecifrasdecimales(expresionesd ecimalesfinitas).

3 El restonuncase unule;necesariamentese repitey al repetirsetambi nlo hacenlascifrasdecimalesdelcociente,deter minandoel per odo(expresionesdecimalesperi dicas).)1~)3~a "3= 1:3= 0,3b -TI= -3:11 = -0,27)1~e 45= 1: 45= 0,02 Paratransformarunaexpresi ndecimalperi dicaen fracci n,se escribeen el numeradorde la mismaeln merodecimal,sinla coma,menosla parteno peri dicay en el denominador,tantos9 comocifrasdecimalesperi dicastengala expresi n,seguidode tantosceroscomocifrasdecimalesno peri dicascontenga.)23 = 23- 2 = n=La,993b) -15"2 = _ 152- 15 = _ 137,99)4TI = 412- 4 = 408= 136e,999933)~51d0,05= 90 = 18~46- 4427e) -0,46= -90= -90= -15f) 3 215= ,900900450 Unaoperaci ndondeaparezcaunaexpresi ndecimalperi dicaconvieneresolverlaen formafraccionario.

4 7-1~ r::-;:;a 4 . - - 3-V ,2'140 ~-t-fi=7 1 2 2------5335e) (-0,3)2- 4: 0,25+ t: v'D,25=0,09- 16+ 0,2:0,5=0,09- 16 + 0,4= -15,51b) (- ~r2- 0,3(1- 0,4)+ \1-0,008=9 3 -"9 0,6+ (-0,2)= )0,02.:.15+ ~1- 0,875=0,12-3Qd+\I ,l25=11--9839 +0,5_10 . 125-,2,7+ 4 = 6,7(TRAMOA e N merosreales)Ecuacionese inecuacionesdeprimergradoUnaidentidades unaigualdadquese verificaparatodoslosvaloresposiblesde la/ ) m + m = 2mb) x + y = y + x c)bn+ an= (a + b)nd) 0,2x+ 3 - x + 1,4= - 0,8x+ 4,4a) x + 2 = Unaecuaci nes unaigualdadquese verificaparauno,algunoso ning nvalorde la/ )6-3x=5c)x+4=x-3d)x+2y+z=0e)5-x=3+2/-8a) -3x>2-3x:(-3)< 2: (-3)2x <--3s =(_oo;-!)e) 3x - - - < 4 - x383x + x < 4 + 3'4x <.

5 ?J!3x<.?J!:43x<i3e)-7x< 3-7x:(-7)> 3: (-7)1x>_l- x(-4)<:-1(-4)7x :>20x <:4S = [20;+00)S = (-t;+oo)S = (-00;4]f) 2,3x+ 5,4- x > (6 - 3x)0,1g) -ioOx+ 5):>(1 - %x):0,52,3x+ 5,4- x > 0,6- 0,3x-6x- 3 :> 2 - 5xb)(21)5b) 2x - 3 + 3 -x- -= x - -(x- 1)3641552x - 3 + 2x - - = x - - x + -2441574x+ -x= - +-4421719194x=4~x=UResolverunaecuaci nes encontrar,si exisen,el o losvaloresde lasvariablesqueverificanla conjuntosoluci nde la ecuaci estecap tulose trabajar conecuacionesconunasolavariableo inc nde primergradoo lineales aquellacuyaformagenerales:QX+ b = 0, siendoa y b n merosrealesya*, )-3(2x- i) = (-~x+ 3):0,555-6x+ - = - -x+ 62255-6x+ -x= 6 - -2277--x=-22x =-1 Lasdesigualdadesquecontienenvariablesse estecap tulose trabajar coninecuacionesde primergradoconunainc nes encontrartodoslosvaloresde la inc gnitaquela verifican,y el conjuntosolu-ci nes un intervalorealo el conjuntovac nse resuelvecomounaecuaci n,salvoen el casoen quese dividao multipliquea ambosmiembrosporun n meronegativo,lo queinvierteel sentidode la SX<:-4d)-6x+ 5x :> 2 + 31,3x+ 0,3x> 0,6- 5,41,6x>-4,8x>-4,8:1,6!

6 TRAMOA_N merosreales]-x:>5x <-5x>-3S = (-00;-5]El m duloo valorabsolutode un n merorealessu distanciaal cerosobrela merorealx, su m dulose expresa:Ixl.'Ix E R: Ixl = {.:si X>-Osi X< OM dulode un ) 151=5b) 1-71=-(-7)=7-7I1-71~7151 ~5 Propiedades1) Ixl :>oa) 1-6,51=-(-6,5)=6,5c)lol=O2) Ixl = I-xla)lo 021= 1- 0021= -(-O02)=O 02J,J,b) 11321=1-1321=-(-132)= 1323) Ix + yl <Ixl + IylQ) Is + 4,11<Isl+ 14,11112,11< S + 4,112,1< 12,1b) 11,4+ (-2)1<11,41+ 1-211-0,61< 1,4+ 20,6<3,4e) 1-5+ (-1,4)1<1-51+ 1-1,411-6,41< 5 + 1,46,4<6,44) ) 16.(-5)1= ) ) 1-0,1.(-9,5)1= 1-0, ,5110,951= 0, ,50,95=0,95 Paraentendermejorlaspropiedadesquesiguen,se representanlossiguientesintervalosreales:-oooX Xx < -Q-Q< X < Qx>o5) Ixl > a 1\Q>O~x>a vx < -a~x E (-ooj-a)U (a,+oo)-ohW/IIHHSH/Hllh%'I//:lo1~ /.}

7 Wh'/::IIWI:/llh'l/ 'i:I/Ixl> oa) Ixl>6=-x> 6 v x < -6=>x E (-00;-6)U (6;+00)b) Ixl:> 2,5=>x:>2,5vx <-2,5=>x E (-00;-2,5]U[2,5;+(0)6) Ixl < a 1\a>O~-a < x < a~x E (-aja) ::IH""''''IIIh'Ih'IIIh':h'I'''''h':I''Ih'h'I:I'''"/1/1I11h'h'~Ixl< oa)lxl<S=>-S<x<S=>XE(-S;S)999(9 9)b) Ixl< 2 =>- 2 <x < 2 =>x E- 2;2[ TRAMOAe N merosreales)Ecuacionese inecuacioneslinealesconm duloararesolverecuacioneso inecuacioneslinealesenlasqueaparecenm dulosqueincluyena la inc gnita,se__etenerpresentestantola definici )x + 31 =7 ~Debeeliminarseelm dulo,aplicandoladefinici + 3 >O ~x >-3x+3=7~x=4x + 3 < O ~x < -3-x-3 =7 ~x =-10vv-10-3)b) 312- 3xl+ 2 = x +5~22 -3x>O~x <:"33(2- 3x)+ 2 =x + 56 -9x + 2 = x + 5-10x=-33x =101 Debeeliminarseelm dulo,aplicandoladefinici -3x< O ~x>"3v3(-2+ 3x)+ 2 = x + 5-6+ 9x + 2 = x + 58x=99x= " "3lnecuucienesa)12x+ 11 <5 ~Debeeliminarseelm dulo,aplicandoladefinici + 1 > O ~x > - tv2x + 1 < O ~x < - t2x + 1 < 5 ~x < 2v-2x- 1 < 5 ~x> 31111x > -"21\X< 2 ~- 2" <:x < 2x < -"21\x>-3~-3 < x < - 2" 'llI"V~UnfM m( '( wt( W ,(I!]

8 "/ttNl!J'NNth\'IfiJ,'HlhWl/# ''hWl/lh\'lh'mH(-3;-t)o2' '"''''''''''''''''''''''~_1M\\\M\~\''\\' ''"'''''''''''''''''''''''~'''''''''''[. )o """"""'""'''"'''''1."",nlM"MWrnmmdMm",r 2'la ,al~:i aes la uni nde lo,intervalos:S =(- 3;- t) U [- t; 2)=(-3;2)-3o2()b)21x- 11 -2> 5 - x ~Debeeliminarseelm dulo,aplicandoladefinici >O~x>l2(x- 1) - 2 > 5 - x2x - 2 -2>5 -x3x>9 ~x>3x>1I\x>3~x>3~~"''''".,'''''''''''''' '~(3'+00)i\\rnm\rntn, neslauni ndelosintervalos:S = (-ooj-S)U(3j+00)vx-1<O~x<l2(-x+ 1) - 2 > 5 - x-2x+ 2 - 2 > 5 - x-x>5 ~x < -5x <1 1\X<-5~x < -5-5o1v-5)3((TRAMOAfa N merosrealesle) x2+ 3 > O/ > -3=>S =RCualquiern meroelevadoalcuadradoes ) i + 1 < O/ < -1=>S =0 Noexistening nn meroqueelevadoal RICA7 Inecuacionesdesegundogrado1) Inecuacionesde la forma:QX2+ e :> O v QX2+ e < ) / - 9 :>O/:>9 Ixl:>3x :>3 v x <-3S = (-OOj-3]U [3j+(0)b) / - 4 <O/ <4 Ixl:s 2-2<x <2S=[-2j2]vx <-3o-8 < x < 22) Inecuacionesde la forma:QX2+ bx :> O v ai + bx < :> O =>(m:> O 1\n :> O) v (m< O 1\n < O) < O =>(m:> O 1\n < O) v (m< O 1\n.]]

9 > O)a) 3/- 2x :> O =>x(3x-2):> Ob) / + 2x < O =>x(x+ 2) < O(x :> O 1\3x - 2 :> O) v (x < O 1\3x - 2 < O)(x :>O 1\X:>t) v (x <O 1\X<t)x:>tvx<OS = (-oojO]U [~j+OO)3) Inecuacionesde la forma:QX2+ bx+ e :> O vQX2+ bx+ e <O.(x :> O 1\X+ 2 < O)v (x < O 1\X+ 2 :> O)(x :> O 1\X< -2)v (x < O 1\x:>-2)o-2 <x <Os =[-2jO]a) x2+ x - 6 :>OQX2+ bx+ e = a(x- x )(x- X2)b) x2+ 6x - 16 < O_-1 (-6)X ; VI + 24-1 V25-=--=----'-:-=----'----=-.:..=22-6 V36+ 642-6 v'1OO. 2-1 52=>x = 2 1\X2= -3x2+ x - 6 :>O =>(x - 2) (x + 3) :>O-6 10=2=>x =2 1\X2=-8/ + 6x - 16 < O =>(x - 2)(x+ 8) < O(x - 2 :> O 1\X+ 3 :> O) v (x - 2 < O 1\X+ 3 <O)(x - 2 > O 1\X+ 8 < O)v (x - 2 < O 1\X+ 8(x :>2 1\x:>-3)v (x <2 1\X<-3)(x > 2 1\X< -8)v (x < 2 1\X> -8)s = (-8;2)[TRAMOAG N merosreales]Aproximaci nCuandosetrabajaconn merosquetienenmuchaso infinitascifrasdecimales, ;secometeunpeque oerrorqueesaceptadoporrazonesdeordenpr ,sesumanlasnotasobtenidasenlostrestrimes tresy ,331.

10 O trimestre2. o trimestre3. o trimestrePromediofinalMatem ticaIdiomaextranjero88108,67Q) V2 = 1,4142135-1,414(s< 0,001)b) v5= 2,2360679- 2,2361(e< 0,0001)C) 7T= 3,1415926=3,142(s< 0,001)d) + = 0,142857- 0,14(e< 0,01)Paraaproximarporredondeoseconsidera lacifrasiguientea la ltimaquesevaa dejar;siesmayoroigualque5,sesumaunoa dicha ltimacifray siesmenor, + ~ + 7 =1; = 6, - 6,33(s<0,01)8 +83+10 = 236= 8, - 8,67(s<0,01)Otramaneradeaproximaresportr uncamiento, ) \ 7=2, ::: 2,64(s< 0,01)b) 7T= 3, - 3,141(e < 0,001)ErrorSedenominaerrorabsolutc(ea)al m dulodeladiferenciaentreelvalordecadamedi ci n(Xi)y elvalorm sprobable(x).ea =IXi-ilElvalorm + X2+ .. + Xnx=nElerrorrelativoeselcocienteentreele rrorabsolutoy elvalorm e%= [TRAMOAG N merosreales)Propiedadesde la potenciaci ny radicaci nen IRPropiedadesde la potenciaci n- Potenciade 1 ~a *0-n1.]