Filtrage linéaire des signaux - INSA Lyon

1 1 Filtrage lin aire des signaux 2 Filtrage - Exemples Filtrage du son r alis par un bouchon d oreille Le Filtrage r alis par le bouchon d oreille d pend de son positionnement 3 Filtrage - Exemples Filtre analogique : r ponse du filtre d entr e d un r cepteur VHF 144 MHz R cepteur d ondes radio VHF 144 MHz Zoom sur le filtre d entr e R ponse en fr quence du filtre passe-bande d entr e, centr sur 144 MHz Antenne de r ception (bande des 2 m tres ) 144 MHz 4 Filtrage - Exemples Filtre de r jection (coupe bande) autour de 144 MHz Objectif : am liorer la r ception des signaux de provenant de satellites m t orologiques (137-138 MHz) qui sont perturb s par les radios amateurs VHF 144 MHz.

2 Filtre analogique LC R ponse en fr quence du filtre coupe-bande centr sur 144 MHz 5 Filtrage - Exemples Filtre 3 voies pour enceintes audio HIFI Objectif : filtrer le signal sonore pour l adapter chacun des 3 haut-parleurs : aigu (HF, filtre passe-haut), m dium (MF, filtre passe-bande) et grave (LF, filtre passe-bas) Filtre 3 voies 24 dB/octave Enceintes HIFI 3 voies 6 D finitions L op ration de Filtrage permet de modifier les amplitudes des composantes fr quentielles d un signal Un filtre lin aire est d fini comme un syst me lin aire et invariant en temps Le filtre est d fini par sa r ponse impulsionnelle h(t) ou son gain complexe H(f) La r ponse fr quentielle H(f) est la transform e de Fourier de r ponse impulsionnelle h(t)

3 Le signal filtr est le r sultat de la convolution entre le signal et la r ponse impulsionnelle h(t) Exemple du module de la r ponse fr quentielle d un filtre passe-bas. Fr quence de coupure 10kHz. Exemple du module de la r ponse fr quentielle d un filtre passe-bande. Fr quence de coupure 8 et 11kHz. 7 Filtre passe-bas id al Domaine temporel ou domaine fr quentiel ? L utilisation des filtres se fait plut t dans le domaine temporel (convolution) La synth se se fait plut t dans le domaine fr quentiel (gabarit du filtre) 1( )( ) 2 sin (2 )cch tTFH ffc f t ( )( )2cfH frectf Filtre passe-bas id al : f 1 -fc fc t 2fc 1/2fc 8 Filtres r alisables en pratique filtres non id aux Tol rances sur le gabarit d un filtre passe-bas non id al Caract ristiques de la r ponse en fr quence du filtre r alisable.

4 Ondulation dans la bande passante Ondulation dans la bande att nu e Limite de bande passante Limite de bande att nu e Bande de transition Causalit , phase : La r ponse d un filtre id al est infinie et donc non causale. Pour rendre le filtre r alisable, on peut choisir de le rendre causal : implantation en temps r el. Si on choisit un filtre r alisable non causal, il est n cessaire de contr ler sa phase (en fonction de la fr quence) En choisissant une phase lin aire, toutes les composantes fr quentielles sont retard es de mani re identique 9 Filtres analogiques r alisables en pratique Pour synth tiser des filtres analogiques r pondant un gabarit on choisira parmi un ensemble de filtres connus pour leurs propri t s en terme de pente d att nuation et d ondulation dans la bande passante et att nu e.

5 Exemples : Filtres de butterworth : Coupure peu raide mais courbe d affaiblissement r guli re Filtres de Tchebychev : Raideur de coupure importante mais ondulations dans la bande passante ou att nu e Filtre simple mettre en uvre Filtres de Cauer : Coupure extr mement raide mais ondulations dans la bande passante et att nu e Circuits plus complexes r aliser 10 Filtrage num rique. Filtres num riques r alisables en pratique Objectifs du Filtrage num rique Elaborer un syst me lin aire et invariant en temps poss dant le r ponse fr quentielle souhait e et se pr tant une r alisation efficace sur calculateur (DSP par exemple) Contrainte on ne peut obtenir qu une r ponse fr quentielle approch e Il faut que le syst me soit stable et causal (si n cessaire)

6 Le Filtrage doit tre r alis avec un nombre fini d op rations La transform e en z est un outil math matique tr s utile pour la synth se des filtres num riques Formulation g n rale du Filtrage num rique lin aire MkkNkkknxbknyany01les ak et bk sont les coefficients du filtre. 11 Filtrage num rique. Classification des filtres Classification des filtres : Filtres R ponse Impulsionnelle Finie (RIF) Forme g n rale RIF : Filtres R ponse Impulsionnelle Infinie (RII) Forme g n rale RII : Classification des r alisations.

7 R alisation transversale ou non r cursive R alisation r cursive R alisation par TF discr te 0 Mkky nb x n k MkkNkkknxbknyany0112 Filtres num riques r alisables en pratique Etudes des filtres R ponse Impulsionnelle Finie (RIF) R ponse impulsionnelle enti rement d finie par une un nombre fini d chantillons Principales propri t s des filtres RIF : - ces filtres sont toujours stables - leur r ponse fr quentielle peut pr senter une phase lin aire - la dur e du r gime transitoire est limit e la dur e de la r ponse impulsionnelle - pas de propagation des erreurs de calcul (programmation non r cursive) - faiblesse : pour am liorer les performances du filtre on peut tre amen augmenter le nombre d chantillons 3 principales m thodes de synth se de filtres RIF.

8 M thode des fen tres M thode de l' chantillonnage en fr quence M thode de synth se de filtre optimal (REMEZ) 13 Filtres num riques r alisables en pratique Synth se d un filtre RIF par la m thode des fen tres On part du filtre passe-bas id al de fr quence de coupure fc Filtre num rique : chantillonnage de la r ponse impulsionnelle Dur e finie de la r ponse impulsionnelle : nombre fini d chantillons (L), multiplication par une fen tre Causalit : d calage de (L-1)/2 chantillons (si n cessaire) Mise en uvre : fonction FIR1 avec Matlab par exemple f 1 -fc fc t 2fc 1/2fc 14 Filtres num riques r alisables en pratique Synth se d un filtre RIF par la m thode des fen tres t 2fc 1/2fc 1( )( ) 2 sin (2 )cch tTFH ffc f t ( )( )cfH frectf [ ] 2 sin (2 ) [ ]cch nfc f n w n [ ]( / )w nrect n L Avec pour limiter la dur e 2L+1 chantillons sin( )( )( )sin( )

9 CfLfG frectff La phase d pendra du d calage ventuelle pour rendre causal le filtre R ponse du filtre num rique r alisable R ponse du filtre id al Echantillonnage de la r ponse impulsionnelle f 1 -fc fc 15 Synth se des filtres RIF : m thode des fen tres Choix du nombre d chantillons (impair) du filtre : am lioration des performances G G G G 16 Synth se des filtres RIF : autres m thodes Autres m thodes de synth se M thode de l chantillonnage en fr quence La r ponse fr quentielle est chantillonn e ,la r ponse impulsionnelle est obtenue par TF inverse Possibilit de d finir des gabarits personnalis s R alisation avec le fonction Matlab FIR2 M thodes optimales La r ponse impulsionnelle est synth tis e avec des m thodes d optimisation ayant comme crit re la minimisation des oscillations et la raideur de la pente de coupure R alisation avec le fonction Matlab REMEZ 17 Filtrage num rique Utilisation des filtres RIF dans le domaine temporel.

10 Convolution num rique Soit le Filtrage du signal num rique x[n] par le filtre de r ponse impulsionnelle h[n] Soit e[n] : x[0]=10, x[1]=7, x[2]=5, x[3]=12, x[4]=3, et x vaut 0 ailleurs Et h[n] : h[-1]=1/3, h[0]=1/3, h[1]=1/3, et h vaut 0 ailleurs (filtre non causal) Soit y le signal r sultant du Filtrage de x par h. y est obtenu par la convolution de x par h Calcul de y[n] ky nx k h n k 18 Filtrage num rique R sultat du Filtrage de x par h pour notre cas : 40ky nx k h n k pour n de -1 5 Analyse fr quentielle : y : 1/3(10 17 22 24 20 15 3) 19 Etude du filtre moyenneur Moyenneur : filtre num rique simple, moyenne glissante sur M points 101 Mky nx n kM R ponse fr quentielle, TF de la r ponse impulsionnelle : Relation entr e-sortie (filtre causal) Cas du moyenneur temporel sur 3 points.