Exercices et examens résolus: Mécaniques des Systèmes de ...

1 Polycopi d' Exercices et examens r solus: M caniques des Syst mes de Solides Ind formables M. Bourich deuxi me dition 2014. AVANT PROPOS. Ce recueil d' Exercices et examens r solus de m canique des syst mes ind formables est issu de l'enseignement que je dispense depuis 2004. Il est destin tre un support p dagogique pour les tudiants de la deuxi me ann e de ENSA. Il n'est pas n cessaire de souligner l'int r t que peuvent trouver les tudiants dans un polycopi consacr uniquement aux Exercices et probl mes d' examens corrig s. Ces Exercices couvrent les sept chapitres du polycopi de cours de la m canique des syst mes ind formables : Calcul vectoriel-Torseurs, Cin matique du solide, G om trie des masses, Cin tique du solide, Dynamique du solide, Liaisons-Forces de liaison, Mouvement d'un solide autour d'un point ou d'un axe fixes. Ces deux polycopi s, l'un de cours et l'autre d' Exercices et examens r solus forment un ensemble coh rent pour permettre aux tudiants : de consolider leurs connaissances, un entrainement efficase afin de s'assurer que le cours est bien assimill , d'acqu rir les outils et techniques n cessaires leur formation, de comp ter leurs cultures scientifique en m canique.

2 Chaque chapitre s'ouvre par la pr cision des objectifs et des comp tences cherch s. De nombreux Exercices et probl mes d' examens compl mentaires sont propos s afin que les tudiants r alisent une auto valuation. Je dois souligner que ce document ne remplace en aucun cas le TD en pr sentiel. Notons qu'il n'est pas n cessaire de r soudre un probl me dans sa globalit mais, selon le degr d'avancement du cours, d'en tudier successivement les aspects cin matique, cin tique puis dynamique. Comme pour tous les Exercices auto-correctifs, les solutions profitent plus aux tudiants qui fournissent l'effort n cessaire pour r fl chir et essayer de r soudre les Exercices propos s. M. Bourich Illustration de couverture : Machine Marine Balancier (vue ext rieure). (Source : Merveilles de la science/Bateaux vapeur). Les premiers bateaux vapeur construits en France furent munis de machines balancier, ou machines de Watt.

3 Elles ne diff raient de la machine de Watt en usage dans les usines et manufactures que par la position du balancier, B, lequel, au lieu d' tre dispos au-dessus du cylindre vapeur, A, tait plac au-dessous; ce qui obligeait le commander par des bielles pendantes C, partant d'une traverse b, cal e sur la tige a du piston D. Cette disposition tait n cessit e par la trop grande hauteur qu'e t atteinte la machine, si l'on e t dispos le balancier en dessus. La grande bielle C agit de bas en haut, et son pied s'articule sur une traverse G, qui r unit l'extr mit de chaque balancier. Sur la figure, A est la bo te tiroir, E la manivelle, F l'arbre moteur, H le condenseur, et sa pompe . air I ; J est l'excentrique conduisant le tiroir. La machine a t construite en 1840, par Fawcett et Preston, pour la fr gate le Gomer. Dans toutes les machines marines, on accouple g n ralement deux cylindres sur un m me arbre, au moyen de manivelles cal es 90 degr s l'une de l'autre, afin d' viter les points morts.

4 La machine balancier que nous venons de d crire est rest e pendant pr s d'un demi-si cle en faveur dans la marine fran aise, malgr l'encombrement qu'elle occasionnait. La douceur de sa marche et la solidit de ses diff rentes parties taient des avantages qu'on ne pouvait d daigner. Exercices et examens r solus: M caniques des Syst mes de Solides Ind formables Chapitre 1. Calcul Vectriel-Torseurs M. BOURICH 4. Exercices et examens r solus: M caniques des Syst mes de Solides Ind formables Galil e : (1564-1642). La philosophie est crite dans ce grand livre, l'univers, qui ne cesse pas d' tre ouvert devant nos yeux. Mais ce livre ne peut se lire si on ne comprends pas le langage et on ne conna t pas les caract res avec lesquels il est crit. Or, la langue est celle des math matiques, et les caract res sont triangles, cercles et d'autres figures g om triques. Si on ne les conna t pas, c'est humainement impossible d'en comprendre m me pas un seul mot.

5 Sans eux, on ne peut qu'aller la d rive dans un labyrinthe obscur et inextricable". G. Galilei, "Il Saggiatore", Rome, 1623. objectifs : Diff rencier entre torseur sym trique et anti-sym trique;. D composer un torseur (couple et glisseur) ;. Comprendre la notion de torseur quiprojectif ;. D terminer les lements de r duction d'un torseur ;. D terminer l'axe central. M. BOURICH 5. Exercices et examens r solus: M caniques des Syst mes de Solides Ind formables Exercice 1. Soit L une application de l'espace vectoriel (E) dans lui-m me. L'espace (E) est associ . l'espace affine trois dimensions. L'application L est d finie par : x y 4z x .. L ( u (M)) x y z avec u (M)) y et M un point quelconque de . 2 x y z z .. 1- Pour quelles valeurs des param tres , et , l'application L est antisym trique ? . 2- Montrer qu'il existe un vecteur tel que L ( u(M)) u(M) . Corrig . 1- antisym trique , E : =.

6 Soit L, la matrice associ e dans la base ( i , j, k ) de E : 1 4 =0. L= 1 d'o = 1. 2 1 2 = 4. 0 1 4. la matrice s' crit alors: L= 1 0 1.. 4 1.. 0.. 2- Vecteur tel que L ( u(M)) u(M) ? . Soit = ;u= an alors u = .. +4 = 1. Ce qui donne : L(u) = + = =4. 4 =1. Exercice 2.. Consid rons les vecteurs u a i b j et v j , li s respectivement aux points A (1, 0, 0) et B.. (1, 1, 0) et les torseurs [G1] et [G2] associ s aux moments de u et v , respectivement. 1- montrer que [G1] et [G2] sont des glisseurs. 2- On pose [G] = [G1] + [G2].. a- Calculer la r sultante R de [G] et son moment en A. En d duire la nature de [G]. b- D terminer l' quation cart sienne de l'axe central de [G]. M. BOURICH 6. Exercices et examens r solus: M caniques des Syst mes de Solides Ind formables Corrig . 1- La r sultante de [G1] est : [G1 ]A = [0, U], donc l'invariant scalaire 1 = 1 . 1 = 0 [G1]. est un glisseur.

7 La r sultante de [G2] est : [G2 ]B = [0, V], donc l'invariant scalaire 2 = 2 . 2 = 0 [G1] est un glisseur. 2- a) La r sultante = 1 + 2 = + 1 + . G A = 0 + = 0. On a deux cas distinger : = 0 , = 0, 1 , est nul. 0 , 0, 1 , est un glisseur. b) A l'axe central . Pour un point P . = 0. =0. Donc l' quation cart sienne de est : + 1 + 1 = 0. Exercice 3.. Dans un rep re R (O, i , j, k) , on consid re un disque de centre O contenu dans le plan xOy. Le disque tourne dans le sens trigonom trique autour de Oz avec une vitesse de rotation .. 1- Par un calcul direct, d terminer la vitesse v(M / R) d'un point M (x, y, 0) du disque.. 2- Montrer que le champ v(M / R) forme un torseur et d terminer ses l ments de r duction en O. 3- De quel type de torseur s'agit- il ? Quel est son axe central ? Corrig . 1- On a = + . 2- On a . = 0 donc le champ est quiprojectif il est antisym trique : donc le champ est un torseur.

8 Les l ments de r duction en O : [ ]( ) = 0, . M. BOURICH 7. Exercices et examens r solus: M caniques des Syst mes de Solides Ind formables Exercice 4.. Dans un rep re orthonorm direct R (O, i , j, k) , on consid re le champ de vecteurs v(M). dont les composantes sont d finies en fonction des coordonn es (x, y, z) de M par : v x 1 3y tz v y 3x 2tz o t est un param tre r el. v z 2 tx t y 2.. 1- Calculer le vecteur v(M) au point O. 2- Pour quelles valeurs de t, ce champ est antisym trique ? 3- Pour chaque valeur trouv e de t, d terminer les l ments de r duction du torseur (r sultante et moment en O).. 4- D composer le torseur associ v(M) en une somme d'un couple et d'un glisseur dont on indiquera les l ments de r duction. 5- D terminer la position de l'axe central du torseur pour t = 0 et t=2. Corrig . 0 1. 1- Le point O a pour coordonn s : O = 0 V(O) = 0 . 0 2. 2- Equiprojectivit , on utilise les points O et M.

9 1 1 + 3 . tq : = ( ) 0 . = 2 3 . 2 2 + 2 . 2 2 = 0 = 0 = 2. Le champ ( ) est quiprojectif pour = 0 = 2 ; ( ) est un torseur pour ces valeurs de t. 0. 3- Pour = 0, on a (t = 0) = 0 ;. 3. 4. Pour = 2, on a (t = 2) = 2 ;. 3. 4- Soit les deux torseurs associ s = 0 : 0 et = 2 : 2 ;. Calculons pour les deux valeurs l'invariant scalaire : 0 = . t = 0 = 6 0. 2 = . t = 2 = 10 0. Donc les deux torseurs sont quelconques (ni glisseur ni couple) chacun peut cependant etre d compos en la somme d'un glisseur et d'un couple : M. BOURICH 8. Exercices et examens r solus: M caniques des Syst mes de Solides Ind formables 0 = , t = 0 = , 0 + 0, t = 0. De meme : 2 = , t = 2 = , 0 + 0, t = 2. 1. Couples : = = 0 . Donc : 2 . Glisseurs : = 0 + t . 5- Soit l'axe central du torseur, la positionde P par rapport O est donn e par : t ( ). = + avec . 2. t (0). Pour = 0, 0 = , 2. 0 1. 1. Donc pour t = 0, (t = 0) = 0 , V(O) = 0 , on obtient alors : 0 = 3.

10 3 2. L'axe central pour t = 0, passe par 0 et parral le (t = 0) parral le . de la meme fa on on obtient l'axe central pour t = 2 : 4 29. 4. L'axe central pour t = 0, passe par 0 = 5 29 et parral le t = 2 = 2 . 2 3. 29. Exercice 5.. Dans un rep re R (O, i , j, k) orthonorm et direct, on consid re les torseurs [T1] et [T2] dont .. les l ments de r duction au point O sont respectivement M1 (O), R 1 et M 2 (O), R 2 d finis .. M 1 (O) a sin i a cos j . M 2 (O) a sin i a cos j par et .. R 1 cos i sin j . R 2 cos i sin j O a et sont des constantes non nulles. 1- Calculer les invariants scalaires des torseurs [T1] et [T2] et d duire leur(s) nature(s).. 2- Calculer M1 (O' ) pour un point O de coordonn es (0, 1, 1).. 3- D terminer l' quation de l'axe central de [T2] et calculer le moment M 2 (P) en un point P. de cet axe. 4- D terminer les valeurs de pour lesquelles le torseur [T3] = [T1] + [T2] est un glisseur.