Notes de cours Traitement du signal

1 Notes de coursTraitement du signalGabriel Dauphin10 novembre 2021 Table des mati res1 Description d un signal : cours discret/continu .. p riodiques .. sentation simplifi e de la quantification .. sentation plus d taill e de la quantification .. transformations simples de signaux et leur visualisation .. signaux ..82 chantillonnage d un signal : cours chantillonnage .. re de Shannon-Nyquist .. ne de mesure .. et nergie ..113 Transform es de Fourier des signaux temps continu : cours p riodiques/signaux dur e limit e .. rie de Fourier .. t s de la s rie de Fourier .. e de Fourier temps continu (TFTC) .. t s de la transform e de Fourier .. t s similaires celles des s ries de Fourier.

2 T s suppl mentaires .. de transform es de Fourier ..184 Transform es de Fourier des signaux temps discret : cours e de Fourier temps discret (TFTD) .. t s de la transform e de Fourier temps discret .. e de Fourier discr te (TFD) .. t s de la transform e de Fourier discr te .. de transform es de Fourier discr te de signaux .. matricielle .. de z ros ..275 Repliement de spectre, filtres : cours analogique et r ponse fr quentielle .. num rique et r ponse fr quentielle .. de spectre .. re de Shannon-Nyquist .. et reconstruction d un signal .. chantillonnage .. chantillonnage ..3416 Filtres et descripteurs de signaux : cours analgoqiques et produit de convolution en temps continu.

3 Num riques et produit de convolution en temps discret .. lation, autocorr lation et densit spectrale .. temps continu non-p riodiques .. temps discret non-p riodiques .. temps discret p riodiques ..407 Fonctions de transfert : cours finition de la transform e de Laplace .. t s de la transform e de Laplace .. analogique, causalit et fonction de transfert .. re de stabilit des filtres analogiques .. analogiques phase lin aire .. analogiques phase minimale ..478 Descripteurs de signaux et de filtres : cours e en Z .. t s de la transform e en Z .. num rique, causalit et fonction de transfert .. re de stabilit des filtres num riques .. num riques phase lin aire .. num riques phase minimale.

4 569 Synth se de filtres num riques r ponse impulsionnelle finie : cours id aux .. se d un filtre num rique .. des fen tres .. thode de l invariant impulsionnel .. aux signaux al atoires .. n ralit s .. au d bruitage d un signal ..6410 Synth se de filtres r ponses impulsionnelles infinies : cours D finition d un filtre de Butterworth .. Synth se d un filtre analogique par un filtre de Butterworth .. Transform e Bilin aire .. Synth se d un filtre num rique par un filtre de Butterworth .. Synth se avec d autres filtres ..69A Rappel sur les criture d un complexe .. Repr sentation angulaire de complexes de module1.. Module et argument d un complexe .. Argument d un complexe.

5 Module d un complexe ..71B Justification des galit s de Cas d un signal temps continu non-p riodique .. Cas d un signal temps continu et p riodique .. Cas d un signal temps discret non-p riodique .. Cas d un signal temps discret p riodique ..742C Exemple de Calcul de la transform e de Laplace inverse d une fonction de transfert dont le d nominateur contient une racinedouble .. Exemple de calcul de la transform e en Z inverse d une fonction de transfert dont le d nominateur contient uneracine double ..76D Trouver les param tres d un signal sinuso dal ajout une composante continue78E Exemple de correction d nonc .. Correction .. 1 .. 2 .. 3 ..81F Calcul avec les int grales et les fonctions caract ristiques83G Bibliographie843 Chapitre 1 Description d un signal : cours Classification discret/continuEn Traitement de signal , on cherche mod liser l volution de valeurs au cours du temps.

6 Cette volution est identifi e parunsignal. On appelle un instant une date particuli re de l histoire. Cette date est identifi e par une valeur det, positive si la datese trouve apr s le d but de l exp rimentation et n gative g n ralement le temps coul en secondes. on entendpar signal une succession de valeurs correspondant des instants diff le signal prend une valeur tous les instants, il s agit d un signal temps continuqui peut tre d crit par une fonctiond finie le signal prend des valeurs finies desinstants r guli rement r parties, il s agit d un signal temps discretqui peut tred crit par une suite not e indiff remmentsnous[n].Si le signal correspond une grandeur qui ne peut prendre qu un nombre fini de valeurs, on appellealphabetl ensemble deces valeurs.

7 Un tel signal est amplitude discr te et il peut tre d crit par une suite ou une le signal peut au contraire prendre n importe quelle valeur il est dit amplitude deux crit res temps continu/ temps discret et amplitude continu/ amplitude discr te d finissent une classification dessignaux en quatre cat gories. Le fait de mod liser un ph nom ne par un signal dans une certaine cat gorie est d abord un choixqui conditionne le fait de pouvoir utiliser tel ou tel outil, choix qui s av rera ensuite plus ou moins pertinent. On pourrait aussichoisir de mod liser au moyen d une de ces cat gories des signaux qui n appartiennent aucune de ces cat gories, il convientalors de v rifier si les outils de Traitement de signal qu on souhaiterait utiliser s tendent de tels qu un signal temps continus(t)peut tre vu comme une fonction deRdansR, o l abscisse repr sente letemps.

8 A ce titre on pourrait noter ce signals. De m me un signal temps discretsnpeut tre vu comme une suite, o l indicerepr sente une num rotation des instants. A ce titre, on pourrait noter ce signal (sn). Le choix qui est fait dans ce cours etqui semble tre utilis dans une part importante de la litt rature scientifique en Traitement du signal est justement de noter cessignauxs(t)etsnous[n], parce que ce choix permet de bien indiquer la notion de continu/discret. Avec cette notation il devientessentiel que la variable muette (tpour le signal temps continu, ounpour le signal temps discret) soit pr sent des deux c t s dusigne galit . Par exemples(t) =1t2+1a un sens alors ques(t) = 2kn a pas de sens. De m mesn= 2n+ 1a un sens alorsquesn=kn a pas de Signaux p riodiquesUn signal temps continu p riodique de p riodeTv rifie : t s(t+T) =s(t)( )On dit aussi qu un tel signal est T-p signal temps discret p riodique de p riodeNv rifie : n sn+N=sn( )On dit aussi qu un tel signal est N-p QuantificationLa quantification consiste approcher un signal amplitude continue par un signal amplitude discr te.

9 On appellealphabetouensemble de niveauxl ensemble des valeurs discr tes possibles. On appelleclasseassoci e une de ces valeurs discr tes,toutes les valeurs du signal qui quantifi es donnerait cette valeur discr te particuli re. Et il y a autant de classes qu il y a deniveaux. Ainsi une classe est en g n ral un intervalle. Les intervalles n ont aucune valeur en commun et recouvrent l ensembledes valeurs possibles du signal quantification est ditelin airesi les diff rentes classes sont de la m me taille, dans le cas contraire il s agit d unequantificationnon-lin aire. Mais la quantification n est jamais une transformation lin fait qu un signal quantifi surNniveaux peut tre stock sur un registre m moire contenantncases pouvant prendrela valeur0ou1, lorsquieN= 2n, il est d usage d appeler cela une quantification Pr sentation simplifi e de la quantificationDans cette pr sentation, le signal est suppos e temps continu, (mais une pr sentation tr s similaire pourrait tre faite avecun signal temps discret).

10 Le signal est suppos avoir des valeurs contenues dans un intervalle[a,b].s(t) [a,b]On noteNlenombre de classesetQlepas de aNLe signal quantifi estsq(t) =Q s(t)Q o bxcest une approximation enti re dex, plus pr cis ment il s agit de lapartie enti re, c est- -dire le plus grand entier inf rieurou gal Pr sentation plus d taill e de la quantificationLa quantification lin aire se simule en quatre tapes. On restreint les valeurs du signal un interval donn , cela peut se faire en cr tant le signal , c est- -dire que les valeursqui sortent de l intervalle sont remplac es par des valeurs extr mes de l intervalle. La transformation est d finie parx7 asix < axsix [a,b]bsix > bCette transformation peut aussi s crire de la fa on suivante :x7 max (a,min(x,b)) On d coupe l intervalle enNintervalles juxtapos s appel s classes.