Die Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt - Mathe-Seiten

1 Die Fibonacci-Zahlen und derGoldene SchnittThomas PetersThomas August 2003 Dieser Artikel beginnt mit der Definition der Fibonacci-Zahlen und des Goldenen beiden Begriffe ziehen sich dann wie ein roter Faden durch die folgenden Kapitel, umsich immer wieder auf wundersamste Art und Weise zu vemischen. Es werden explizite For-meln f r die Fibonacci-Zahlen angegeben, die benutzt werden, um den Begriff der Fibonacci-Zahl zu erweitern. Au erdem werden die Potenzen des Goldenen Schnitts untersucht. Dannwerden sowohl die Fibonacci-Zahlen als auch der Goldene Schnitt benutzt, um Stellenwertsys-teme zu definieren. Zwischendurch finden sich immer wieder mahematische Kuriosit ten wiedie Kaninchen-Konstante, die Fibonacci-hyperbolischen Funktionen oder das Was sind Fibonacci-Zahlen ?

2 62 Eigenschaften der Fibonacci-Zahlen73 Der Goldene Schnitt84 Potenzen von 95 Der Quotient sukzessiver Fibonacci-Zahlen106 Explizite Berechnung117 Ganze, reelle und komplexe Zahlen138 Nochmal Potenzen von 189 Stellenwertsystem zur Basis 2010 Die Kaninchen-Konstante2211 Ein merkw rdiger Bruch2412 Fibonacci-Polynome2613 Fibonaccimal2714 Fibonacci-hyperbolische Funktionen3015 Ein Zusammenhang von und 3216 Die Goldene Spirale3517 Fibonaccin-Schritt Zahlen3818 Das 4-Zahlen-Spiel39319 Fibonacci-Zahlen im Pascal schen f r f r von Binets rteil von Binets ber der komplexen rteil ber der komplexen ber der komplexen Zur Die Fibonacci-hyperbolischen F Definition der Goldenen Konstruktion der Goldenen 3751 Was sind

3 Fibonacci-Zahlen ?Betrachten wir einmal folgendes extrem einfaches Modell: Kaninchen bekommen jeden Mo-nat, nachdem sie 2 Monate alt sind, Nachwuchs in Form von gegengeschlechtlichen Zwil-lingen. Sie sterben nie, und sie h ren nie auf, sich fortzupflanzen. Dann ist die Anzahl derKaninchenpaare nachnMonaten, beginnend mit einem Paar, dien-te 7 Fn11235813 Wie man sieht, gehorcht diese Zahlenfolge derRekursionsgleichungFn=Fn 1+Fn 2mitF1=F2= diesem Wissen l sst sich jede beliebige Fibonacci-Zahl durch die Berechnung der voran-gegangenen Fibonacci-Zahlen warum ist die Anzahl der Paare imn-ten Monat gleich dern-ten Fibonacci-Zahl? Hierist der Beweis per vollst ndiger Induktion:Induktionsanfang: Im ersten Monat ist das erste Paar vorhanden (F1), im zweiten Monat immernoch nur das erste (F2).

4 Induktionsschritt: Im Monatn+1ist die Anzahl der Paare gleich der Anzahl der Paare, dieschon im letzten Monat gelebt haben (Fn), plus die Neugeborenen. Da jedes Paar sich nachzwei Monaten fortpflanzt, ist die Anzahl der Neugeborenen gleich der Anzahl der Paare, dievor zwei Monaten lebten (Fn 1). 62 Eigenschaften derFibonacci-ZahlenFibonacci-Zahlen treten bei allen erdenklichen Gelegenheiten in der Mathematik auf. Um nureine zu nennen, sei erw hnt, dass die Summe dern-ten schiefen Diagonalen imPascal schenDreieckgleich dern-ten Fibonacci-Zahl Beziehungen der Fibonacci-Zahlen untereinander sind vielf ltig. Hier ist eine kleineFormelsammlung:n k=1Fk=Fn+2 1n k=1F2k 1=F2nn k=1F2k=F2n+1 1n k=1F2k=FnFn+1F2n=F2n+1 F2n 1F3n=F3n+1+F3n+F3n 1Fn 1Fn+1 F2n=( 1)nF2n+1=4 FnFn 1+F2n 2 Abbildung : Die Fibonacci-Zahlen im Pascal schen Der Goldene SchnittDer Goldene Schnitt ist dasjenige Teilverh ltnis, bei dem sich die L nge der ganzen Streckezur l ngeren so verh lt wie die l ngere zur k rzeren.

5 Nennen wir die l ngere Seiteaund diek rzereb, so erhalten wira+ba=ab (a+b) b=a2 a2 a b b2=0 a=b 1+ 52 a=b 1 die Streckeanur eine positive L nge haben kann, kommt nur die erste L sung in Goldene Schnitt ist also(1 + 5)/2. Er ist damit L sung der Gleichungx2 x 1= Goldene Schnitt ist irrational. Es war f r die alten Griechen ein gro er Schock, alssie dies erkannten, da sie der festen berzeugung waren, jede Zahl sei als Bruch Irrationalit t l sst sich allein anhand der Definition beweisen: W re der Goldene Schnittrational, so m sstenp,qexistieren, so dass gilt(pq)2 pq 1=0,wobei der Bruchp/qso weit wie m glich gek rzt sein soll. Daraus folgtp (p q)= Gleichung besagt, dasspdie Zahlq2teilt.

6 Dapundqteilerfremd sein sollten, mussp=1sein. Addiert man stattdessenp qzu obiger Gleichung, so erh lt manp2=q (p+q),was hei t, dassqdie Zahlpteilt, also ist auchq=1. Aberp=q=1ist keine L sung f r diequadratische Gleichung am Anfang, was zu einem Widerspruch f hrt. Also ist der GoldeneSchnitt irrational!84 Potenzen von Der Goldene Schnitt ist also die positive L sung der Gleichungx2 x 1=0, oder andersgesagt 2= +1. Das hei t, um zu quadrieren, braucht man nur 1 zu zu addieren! hnliches gilt f r 3: 3= 2= ( +1)= 2+ =2 + 4? 4= 3= (2 +1)=2 2+ =2( +1)+ =3 + man die Differenzen der Potenzen, so erh lt man 2 =1, 3 2= und 4 3= +1= 2. Allgemein gilt n= n 1+ n per vollst ndiger Induktion:Induktionsanfang: 2= +1(w)Induktionsschritt: n+1=( n) =( n 1+ n 2) = n+ n 1.

7 95 Der Quotient sukzessiverFibonacci-ZahlenNach der Rekursionsgleichung l sst sich der Quotient sukzessiver Fibonacci-Zahlen wie folgtberechnen:Fn=Fn 1+Fn 2 FnFn 1=1+Fn 2Fn 1=1+1Fn 1Fn 2=1+11+Fn 3Fn 2=1+11+1Fn 2Fn 3=..=[1;1,1,1,..,F2F1]=[1;1,1,..,1] n ist aber nicht anderes als ein N herungswert f r den Goldenen Schnitt , wie wir ausdem Artikel berUnendliche Potenzenwissen. Daraus folgt, dass der Quotient sukzessiverFibonacci-Zahlen f rn gegen den Goldenen Schnitt konvergiert!Daher erh lt man ebenfallsFnausFn 1, indem manFn 1mit multipliziert und das Er-gebnis rundet, oder mathematisch formuliertFn=[ Fn 1+0,5],wobei[]die Gau klammer ist.

8 Doch braucht man nicht nur zur rekursiven, sondern auchzur expliziten Berechnung der Fibonacci-Zahlen !106 Explizite BerechnungBis jetzt mussten wir zur Berechnung einer Fibonacci-Zahl alle vorhergehenden Zahlen be-rechnen. Das ist nat rlich sehr unpraktisch. Jetzt werden wir uns berlegen, wie wir zu einerexpliziten Formelkommen k haben bereits gesehen, dass man (ungef hr) von einer Fibonacci-Zahl zur n chstenkommt, indem man den Vorg nger mit einem konstanten Faktor multipliziert. Das ist einewichtige Eigenschaft derExponentialfunktionen. Daher machen wir den Ansatzf(n)= gilt es, das unbekanntexzu bestimmen. Aus der Rekursionsgleichung folgtxn=xn 1+xn 2|:xn 2 x2=x+1 x1=1+ 52,x2=1 erhalten zwei L sungen, was f r unsere Funktionsgleichung hei tf(n)=a1xn1+ wir f rnWerte ein, so sehen wir, dass wir die Fibonacci-Zahlen noch nicht ganztreffen, daher m ssen zwei Korrekturfaktoren eingebaut werden, die es jetzt zu bestimmengilt.

9 Wir kennen aber zwei Bedingungen, so dass wir ein Gleichungssystem aufstellen k nnen:f(0) =a1+a2=0f(1) =a11+ 52+a21 52=1 a1=1 5,a2= 1 erhalten wir als explizite Funktionsgleichung f r dien-te Fibonacci-Zahlf(n)=1 5(1+ 52)n 1 5(1 52)n= n ( ) n erstaunlich, dass f r nat rlichenimmer ganze Zahlen herauskommen! Diese Formelhei tBinetsoderde Moivres gr er, so wird der zweite Summand immer kleiner. Es reicht schon, denersten Summanden zu berechnen und das Ergebnis zu runden. Damit erhalten wir eine weitereexplizite Formel:f(n)=[ n 5+0,5].Es gibt brigens auch eine M glichkeit, eine Fibonacci-Zahl anhand nur eines Vorg ngerszu berechnen, und zwar interessanter Weise ohne den Goldenen Schnitt !

10 Die entsprechendeFormel lautetFn=[Fn 1+1+ 5F2n 12].127 Ganze, reelle und komplexe ZahlenJetzt werden wir den Begriff der Fibonacci-Zahl etwas erweitern. Zun chst wenden wir unsden negativen ganzen Zahlen zu. Genauso, wie wir sagen k nnen, eine Fibonacci-Zahl seidie Summe seiner Vorg nger, k nnen wie behaupten, der Vorg nger sei die Differenz seinerNachfolger. Wir erhalten dann die RekursionsgleichungFn 1=Fn+1 bekommen wir die Folgen 7 6 5 4 3 2 1012 Fn 13 85 32 11011 .Die Folgenglieder sind f rn<0abwechselnd positiv (nungerade) und negativ (ngera-de). Die Werte stimmen mit denen der expliziten Funktionsgleichung berein. L sst man dieVorzeichen au er Betracht, so ergibt sich die gleiche Folge wie im positiven Erweiterung auf reelle Zahlen ist mit einer Rekursionsgleichung nicht zu leisten.