Fonction de repartition´ et densit´e - POLARIS

1 RICM 1 module probabilite FICHE 8. Se ance 8 : Variables ale atoires re elles Nous avons vu au chapitre sur les lois discre tes la de finition ge ne rale d'une variable ale atoire X. Dans ce chapitre nous avons aborde le cas - facile - quand lorsque l'espace X des valeurs de X e tait fini ou de nombrable. Dans le pre sent chapitre nous allons nous contenter de re soudre, sans de monstrations comple tes, le cas plus ge ne ral (et beaucoup plus difficile) de X = R. Fonction de re partition et densite . De finition 1 La Fonction de re partition ( ) de la variable ale atoire X sur R est la Fonction suivante : FX (x) = P(X ] , x]) = P(X 6 x).

2 Proprie te s : 1. la Fonction FX (x) est croissante, continue a droite, lim FX (x) = 0; lim FX (x) = 1. x x + . 2. Comme FX est croissante, elle admet une limite a gauche en chaque point, limite qu'on notera FX (x ). Nous avons : P (X ]x; y]) = FX (y) FX (x); P (X ]x; y[) = FX (y ) FX (x);. P (X [x; y]) = FX (y) FX (x ); P (X [x; y[) = FX (y ) F (x). En particulier, P (X = x) = FX (x) FX (x ) est le saut de la Fonction FX au point x. On a donc P (X = x) = 0 pour tout x si et seulement si la Fonction F X est continue en tout point. 1. 0. 2 1 0 1 2 3 4 5 6.

3 F IG . 1 Fonction de re partition d'une variable ale atoire a valeur dans [ 1, 1] [2, + [ et P(X = 4) =. Dans la suite on suppose qu'il existe une Fonction f X (x) borne e sur R telle que Z x FX (x) = f (t)dt.. On appelle une telle Fonction la densite de X et on dit que F X (x) admet une densite , bien e videmment, fX ve rifie fX (x) = FX0 (x) et Z y Z + . P(X [x, y]) = P(X ]x, y]) = fX (t)dt, f (t)dt = 1. x . UJF Polytech 2004 1/ 4. RICM 1 module probabilite FICHE 8. Remarque : il existe bien-su r des probabilite s sur R qui n'ont pas de densite : c'est le cas des pro- babilite s discre tes.

4 Voici une interpre tation intuitive de la densite f X de FX . Si dx est un petit . accroissement de la variable x, on a (si du moins f est continue en x) : P(X [x, x + dx[). fX (x) . dx En the orie des probabilite s on montre que si X 1 , X2 , .., Xm sont des variables ale atoires et g(x1 , .., xm ) une Fonction continue, alors Y = g(X 1 , .., Xm ) est, elle aussi, une variable ale atoire. Comme application de cet e nonce , on ve rifie que si (X i ), i = 1, .., m, X et Y sont des variables ale atoires re elles, alors X. X + Y, si Y 6= 0 sont des Y.]]

5 Max Xi , min Xi sont des 16i6m 16i6m Lois usuelles Loi uniforme U[a,b]. La loi uniforme sur [a, b] : on a ici deux re els a < b, et c'est la admettant la densite . 1. b a si a 6 x 6 b, f (x) =. 0 sinon . En vertu de la premie re remarque ci-dessus, on aurait aussi bien pu choisir f (a) = 0 ou f (b) = 0. Au vu de l'interpre tation, le fait que f soit constante sur [a, b] correspond au fait que si on choisit une point selon cette loi, on a autant de chances de tomber au voisinage de chaque point de l'intervalle [a, b], ce qui explique le nom uniforme.

6 Remarquer aussi que P (X = x) = 0 pour tout x (comme pour toutes les lois avec densite ) : on a donc une probabilite nulle de tomber exactement en un point x fixe a l'avance. Loi exponentielle E( ). La loi exponentielle de parame tre > 0 est la loi de densite .. 0 si x < 0, f (x) =. e x sinon . et de Fonction de re partition . 0 si x < 0, F (x) =. (1 e x ) sinon . Notons que la loi exponentielle jouit aussi d'une proprie te importante pour les applications (proprie te de non-vieillissement ) : soit X une variable ale atoire positive, telle que P (X > s) > 0 pour tout s R.

7 On a P(X > t + s|X > t) = P(X > s). pour tous s et t > 0 si et seulement si X suit une loi exponentielle. UJF Polytech 2004 2/ 4. RICM 1 module probabilite FICHE 8. Loi normale N (0, 1). La loi normale centre e re duite (ou loi de Gauss) : c'est la loi de densite . 1 2. f (x) = e x /2 . 2 . R + . Pour ve rifier que cette Fonction est d'inte grale 1, on remarque que I = f (t)dt ve rifie Z 2 Z + . 1. Z Z. 2 2. I = f (x)f (y)dxdy = d e /2 d . R2 0 2 0. En passant en coordonne es polaires dans l'inte grale double), et un calcul simple montre alors que I 2 = 1.

8 Espe rance de variables ale atoires de loi continue R + . De finition 2 (Espe rance) Si l'inte grale |x|fX (x)dx est finie, on appelle la valeur Z + . EX = xfX (x)dx, . l'espe rance mathe matique de la X. RRemarque : on de montre dans la the orie de probabilite s que si g(x) est une Fonction telle que |g(x)|fX (x)dx est finie, alors l'espe rance de la Y = g(X) est Z. EY = g(x)fX (x)dx Soit X et Y variables ale atoires d'espe rance bien de finie, et a, b des re els alors E(aX + b) = aE(X) + b et E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). ( line arite de l'esperance).

9 Ceci implique que si E(X) = et Y = X , alors EY = E(X ) = EX = 0. On dit que la variable ale atoire Y est centre e. Si la X est carre -integrable , x2 fX (dx) < , alors R. Z. E(X ) = x2 fX (x)dx. 2. De finition 3 (Variance) Si la X est carre -integrable, sa variance est l'espe rance de la variable ale atoire [X E(X)]2 , et on la note V ar(X) ou X 2 . Elle est positive, et sa racine carre e positive s'appelle l'e cart-type de X, qu'on note X . Notons que, comme dans le cas des discre tes, E((X E(X))2 ) = E(X 2 2XE(X) + E2 (X)) = E(X 2 ) 2E(X)E(X) + E2 (X) = E(X 2 ) E2 (X), et V ar(X) = E(X 2 ) E2 (X).

10 Notons que si Y = aX + b, V ar(Y ) = E((Y E(Y ))2 ) = E((aX + b [aE(X)+b ])2 ) = E(a2 (X E(X))2 ) = a2 V ar(X). X . Donc, si E(X) = et V ar(X) = 2 et Y = , EY = 0 et V ar(Y ) = 2 V ar(X E(X)) = 2 V ar(X) = 1. On dit que Y est centre e-re duite. UJF Polytech 2004 3/ 4. RICM 1 module probabilite FICHE 8. 1. Soit X est une de loi uniforme sur [a, b] Alors b a (b a)2. E(X) = et V ar(X) = . 2 12. 2. Si X suit la loi exponentielle de parame tre , alors 1 1. EX = et V ar(X) = 2 .. 3. Pour une normale centre e-re duite Y l'espe rance EY = 0 et V ar(Y ) = 1.