Mécanique RESISTANCE DES MATERIAUX - …

1 Lyc e Jean JAURES ARGENTEUIL RESISTANCE DES MATERIAUX Contenu du Dossier : 8 (wordXP) RESISTANCE DES MATERIAUX Version 01 M caniqueRESISTANCE DES MATERIAUX R f rence au programme R f rence au module4- R sistance de mat riaux. 4-1 Hypoth ses de la RDM 4-2 Etude d une poutre 4-3 Identification de la nature des sollicitations 4-4 Etude des sollicitations simples Module 4 : :R sistance des mat riaux 1- Objectifs de la s quence : D finir les efforts de coh sion, D finir la nature de sollicitations simples, D finir la d marche de dimensionnement, Mod liser les efforts de coh sion. 2- Situation p dagogique : pr requis Mod lisation des AM. connaissances vis es Mod lisation des efforts de coh sion. nature de la d marche Acquisition de connaissances. savoir Mod liser les actions subies par le syst me. 1- A quoi a sert ? La R sistance Des Mat riaux (RDM) permet de d terminer les formes, les dimensions et les mat riaux de pi ces m caniques de fa on ma triser leur r sistance et leur d formation afin de r pondre aux exigences du cahier des charges.

2 Cette science met en relation la statique, la cin matique (d formation) et les caract ristiques intrins ques du mat riau. Hypoth ses et sollicitations simples Page 2 / M_4(wordXP)R sistance Des Mat riaux Version 02 2- Hypoth ses. 2-1- Mat riaux. Les mat riaux seront consid r s comme : - continus : la structure fibreuse ou mol culaire des mat riaux tant tr s petite devant les dimensions des pi ces tudi es, on peut alors consid rer le mat riau comme continu. - homog nes : on dit qu un mat riau est homog ne, s il poss de les m mes caract ristiques en tous ses points (hypoth se grossi re pour des mat riaux tels que le bois ou le b ton). - isotropes : on dit qu un mat riau est isotrope, lorsqu il poss de les m mes caract ristiques dans toutes les directions (hypoth se non applicable pour des mat riaux tels que le bois ou les mat riaux composites).

3 2-2- G om trie des pi ces tudi es. La RDM est l tude de pi ces dont les formes sont relativement simples. On les appelle des poutres. - poutre : on appelle poutre un solide engendr par une surface plane ( ) dont le centre de surface G d crit une courbe plane (C ) appel e ligne moyenne. Les caract ristiques d une poutre sont : - ligne moyenne droite ou grand rayon de courbure, - surface plane ( ) constante ou variant progressivement, - grande longueur par rapport aux dimensions transversales, - existence d un plan de sym trie. 3- Torseur des efforts de coh sion. 3-1- D finition : Soit une poutre (S) en quilibre sous l'action de n actions m caniques ext rieures. On associe cette poutre un rep re R (Q,R,S) dont l'axe Q co ncide avec la ligne moyenne de la poutre. Coupons la poutre (S) par un plan ( ) orthogonal sa ligne moyenne, situ l'abscisse x.

4 On d finit ainsi deux portions de poutre (S-) et (S+). (S) tant en quilibre, nous pouvons crire : {}{}0 SS = (S-) tant en quilibre, nous pouvons crire : {}{}{}0 SS SS = + + (S+) tant en quilibre, nous pouvons crire : {}{}{}0 SS SS = + + + On en d duit que : {}{}{}+ + = = SS SS SS { + SS } est le torseur qui traduit l'action de contact de (S+) sur (S-). Cette action est due aux efforts de coh sion qui permettent la poutre de ne pas se "disloquer" sous l'effet d'actions ext rieures. La RDM vise en particulier v rifier qu'en aucun point de la poutre les efforts de coh sion "transmettre" ne soient sup rieurs aux capacit s du mat riau. On note : {}{}{}+ = =SS SS T cohG 3-2- Composantes du torseur de coh sion : La r sultante et le moment du torseur de coh sion d pendent alors de la position de la coupure et donc de l abscisse x. {}RGGcohG)x(M)x(RT = ComposantesD nominations Sollicitations N Effort normal Traction - compression TyEffort tranchant sur R TzEffort tranchant sur S Cisaillement MtMoment de torsion Torsion MfyMoment fl chissant sur R MfzMoment fl chissant sur S Flexion {}RfzzfyytGcohG)x(M)x(T)x(M)x(T)x(M)x(NT = Remarques : - Les diff rentes sollicitations d pendant de l abscisse x, nous pouvons les repr senter graphiquement l aide de diagrammes.

5 - Lorsque l on a une seule de ces sollicitation on parle de sollicitation simple, sinon on parle de sollicitations compos es. Hypoth ses et sollicitations simples Page 3 / M_4(wordXP)R sistance Des Mat riaux Version 02 3-3- Exemple d application : SS3R 01a xl Soit une poutre cylindrique, de 200 mm de long et de 5 mm de diam tre, soumise une action m canique mod lisable par un glisseur avecER 3 d'intensit 100 daN. mm 150 ; .==axaACr mm 200 ; .==lxlABr L tude s effectuera dans la plan de sym trie (Q, R). Objectif : d terminer le torseur de coh sion en fonction de x et tracer les diagrammes repr sentants les efforts de coh sion. D termination des actions m caniques en A et en B. Isolons (S). Bilan des Actions M caniques Ext rieures. PFS appliqu (S) en A. Conclusion. Hypoth ses et sollicitations simples Page 4 / M_4(wordXP)R sistance Des Mat riaux Version 02 D termination du torseur de coh sion.

6 Il faut tudier chaque portion de poutre comprise entre deux noeuds. Pour x [0 ; a]. Pour x [a ; l]. R capitulatif et diagrammes. Sollicitation0<x<a a<x<l N 0 0 Ty -25 75 Tz 0 0 Mt 0 0 Mfy 0 0 Mfz 75(l-x) Tracer ci-dessous les diagrammes repr sentants l effort tranchant et le moment de flexion. Effort tranchant Moment de flexion Ty (daN) x (mm)75 -25 0 A CB Mfz ( ) x (mm) 0AC B Hypoth ses et sollicitations simples Page 5 / M_4(wordXP)R sistance Des Mat riaux Version 02 4- Les diff rents types de sollicitation. Hypoth ses et sollicitations simples Page 6 / M_4(wordXP)R sistance Des Mat riaux Version 02 Traction ou Extension / Compression {}R00000 =NTSSGRcohG Cisaillement {}RGRcohGTzTyTSS =0000 Torsion {}RGRcohGMtTSS =00000 Flexion pure {}RGRcohGMfzTSS =00000 Flexion simple {}RGRcohGMfzTyTSS =0000 Flexion + traction {}RGRcohGMfzTyNTSS =000 Flexion + torsion {}RGRcohGMfzTyMtTSS =000 Flambage {}RGRcohGMfzNTSS =0000 Flexion d vi e {}RGRcohGMfzTyTSS =0000 {}RGRcohGTzMfyTSS =0000 5- Contrainte en un point M d une section.

7 La contrainte caract rise les liaisons m caniques internes au mat riau (repr sent es par le torseur de coh sion{}RcohGTS) sur chaque l ment de surface d de la section quelconque. La d termination des contraintes nous permettra le dimensionnement des pi ces m caniques tudi es. Unit : le N/mm2 soit le Mpa Rappel : 1 Mpa = 106 Pa = 1 N/mm = environ 10 bars 5-1- D finition. Le vecteur contrainte Cr est le rapport entre l'action m canique Fdr, qui s'exerce sur l' l ment de surface d de la section , sur la surface d . Mx + = =rr tel que letangentielnormale contrainte : contrainte : M + + = = 5-2- D termination des contraintes suivant le type de sollicitation. TRACTION D finition : Hypoth ses et sollicitations simples Page 7 / M_4(wordXP)R sistance Des Mat riaux Version 02 R - - % Q G Section R Q - % % {}RGRcohG00000NT = Contrainte normale : Chaque l ment de surface supporte un effort de traction d % parall le la ligne moyenne.

8 Il y a r partition uniforme des contraintes dans la section droite. D o : d % Condition de r sistance : G : contrainte normale en Mpa ou en N/mm2N : effort normal en N S : aire de la section droite en mm2SN= Re la r sistance lastique du mat riau (en Mpa) ; Alors, la condition de r sistance s crit : Rpe s un coefficient de s curit (s>1); Rpe la r sistance pratique l extension, avec Rpe=Res; Ph nom ne de concentration de contrainte. Lorsque les poutres tudi es pr sentent de brusques variations de sections (trous, gorges, ), la relation SN= n est plus applicable. En effet, au voisinage du changement de section, la r partition des contraintes n est plus uniforme et pr sente des extremums. Le maximum est atteint pour les points situ s proximit des variations : on dit qu il y a concentration de contraintes en ces points. La valeur de la contrainte est alors donn e par : 0tmaxK = avec SN0= Hypoth ses et sollicitations simples Page 8 / M_4(wordXP)R sistance Des Mat riaux Version 02 Kt est appel le coefficient de concentration de contraintes.

9 Kt d pend de la forme de la section et du type de la variation (voir tableaux suivants). CISAILLEMENT D finition : G+ 3 Section S {}RGRcohG0Tz0Ty00T = Dans nos probl mes, nous aurons souvent soit Ty=0 ou soit Tz=0. Contrainte de cisaillement : S ? ? ? Chaque l ment de surface supporte un effort de cisaillement ? contenu dans le plan ( ). Il y a r partition uniforme des contraintes dans la section droite. D o : =TS : contrainte tangentielle en Mpa ou N/mm2T : effort tranchant en N S : aire de la section droite cisaill e en mm2 Condition de r sistance : Alors, la condition de r sistance s crit : X Xadm Reg la r sistance lastique au cisaillement du mat riau (en Mpa) ; s un coefficient de s curit ; adm = Rpg la r sistance pratique au cisaillement, avec adm=Rpg=Regs; TORSION D finition : - ,ALm ,xxB L {}RGRcohG0000Mt0T = Contrainte tangentielle : MGRS(S)GM = maxi maxi GtIM = Mt : Moment de torsion en : rayon GM en mm IG : moment quadratique de la section par rapport au point G en mm4 Tableau des moments quadratiques des sections les plus courantes.

10 Hb(12bhI22G+= 6aI4G= 32dI4G = )dD(32I44G = a G S R dR S D G Hypoth ses et sollicitations simples Page 9 / M_4(wordXP)R sistance Des Mat riaux Version 02 Condition de r sistance : Reg la r sistance lastique au cisaillement du mat riau (en Mpa) ; s un coefficient de s curit ; Rpg la r sistance pratique au cisaillement, avec Rpg=Regs; b R dGS R h G S Alors, la condition de r sistance s crit : Xmax Rpg FLEXION PURE D finition : G+Section SWfz {}RGRcohGMfz0 Mfy000T = Dans nos probl mes nous aurons souvent Mfy ou Mfz nul. Contrainte normale : =MfzIGzy Hypoth ses et sollicitations simples Page 10 / M_4(wordXP)R sistance Des Mat riaux Version 02 Tableau des moments quadratiques des sections les plus courantes. 12bhI3Gz= 12aI4Gz= 64dI4Gz = )dD(64I44Gz = Condition de r sistance : Re la r sistance lastique du mat riau (en Mpa) ; s un coefficient de s curit (s>1); Rpe la r sistance pratique l extension, avec Rpe=Res; Notions sur les coefficients de s curit Pour qu une structure (machine, v ) puisse supporter en toute s curit les charges qui normalement la sollicitent, il suffit qu elle puisse r sister des charges plus lev es.)