RESISTANCE DES MATERIAUX - freddy.univ-tln.fr

1 RESISTANCE DES MATERIAUX - 2 - R sistance des Mat riaux - 3 - Ce cours de r sistance des mat riaux a pour objectif d'approfondir la m canique des solides lastiques, puis partir de la m canique des milieux continus, nous introduirons la th orie des poutres. Dans une premi re partie, nous tudierons la d marche qui nous permet l' tablissement des quations de la th orie des poutres (une d marche similaire pourrait tre utilis e pour les plaques et coques). Dans une deuxi me partie, nous nous attacherons exposer les outils classiques de la th orie des poutres: tude de cas simples, m thodes nerg tiques, .. La r sistance des mat riaux est un outil indispensable toute mod lisation en calcul des structures. M me si d'autres m thodes (par exemple les l ments finis) sont en g n ral utilis es, un calcul rapide de RDM permet de v rifier les ordres de grandeur et de juger de l'opportunit d'utiliser d'autres m thodes plus complexes.

2 Ce polycopi est en perp tuel correction (quand j en prends le temps). C'est pourquoi, je serai reconnaissant aux tudiants de m'exposer toute suggestion susceptible d'en am liorer le contenu. - 4 - SOMMAIRE RAPPELS DE MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS I - I - 1 Configuration, mouvement, d placement, ..7 I - 2 D formation ..8 I - 3 Cas des petites I - 4 Conditions de compatibilit ..10 II - II -1 II - 2 Contraintes ..11 II -3 II - 4 Quelques propri t s du tenseur des III - LOI DE COMPORTEMENT POUR LES SOLIDES III - 1 Approche exp rimentale: essai de traction ..21 III - 2 Loi de comportement lastique lin aire (en HPP) ..22 III - 3 Th or me de superposition ..24 III - 4 Crit res de limite d' lasticit pour les mat riaux isotropes ..24 III - 5 Thermo lasticit ..24 THEORIE DES POUTRES I - DEFINITIONS, HYPOTHESES DE I - 1 D finition d'une poutre.

3 25 I - 2 I - 3 Hypoth se de II - DEPLACEMENTS ET FORCES II - 1 D placement g n ralis ..27 II - 2 Puissance virtuelle des efforts ext rieurs ..28 II - 3 Forces g n ralis es ..28 III - DEFORMATION ET CONTRAINTES III - 1 D formations g n ralis es ..29 III - 2 Puissance Virtuelle des efforts int III - 3 Contraintes g n ralis es, quation d' quilibre ..32 IV - LOI DE COMPORTEMENT ELASTIQUE R sistance des Mat riaux - 5 - ETUDE DE SOLLICITATIONS SIMPLES I - TRACTION OU I - 1 D finition ..36 I - 2 D formations et II - II - 1 D II - 2 D placement, contraintes, d formations ..37 II - 3 Exemple ..39 III - III - 1 Flexion pure ..40 III - 2 Flexion pure plane ..40 III - 3 Flexion plane simple ..41 III - 4 Exemples ..42 III - 5 Etude de la d formation des poutres en flexion ..44 METHODES ENERGETIQUES I - THEOREMES DE L'ENERGIE EN ELASTICITE I - 1 Notations et d finitions.

4 49 I - 2 Th or me fondamental ..50 II - ENERGIE DE DEFORMATION EN RDM ..51 II - 1 Cas g n ral ..51 II - 2 Cas particulier de la Traction/Compression ..51 II - 3 Cas particulier de la flexion plane II - 4 Cas particulier de la III - THEOREME DE RECIPROCITE DE IV - THEOREME DE CASTIGLIANO ET IV - 1 Th or me de Castigliano ..54 IV - 2 Cons quence: Principe du travail minimum ou th or me de M nabr a ..55 IV - 3 Exemples ..56 V - EQUATION DE BERTRAND DE V - 1 Enonc ..58 V - 2 Application: Evaluation des r actions hyperstatiques surabondantes ..59 V - 3 Application: D termination des d placements et rotations ..60 FLAMBEMENT I - STABILITE D'UNE POUTRE EN II - ETUDE DE QUELQUES CAS II-1 Colonne Rotule-Rotule ..63 - 6 - II-2 Colonne Encastr II-3 Colonne Encastr III - GENERALISATION: FORMULE D' IV - COMPORTEMENT AU DELA DU DOMAINE ELASTIQUE - CHARGES LIMITES I - I-1 Crit res de d I-2 Comportement du mat riau.

5 70 II - ANALYSE LIMITE EN II-1 Analyse lastique ..71 II-2 Analyse lastique-plastique ..72 II-3 D charge ..73 III - ANALYSE LIMITE A LA III-1 G n ralit s ..74 III-2 IV - ANALYSE LIMITE A LA IV-1 G n ralit s ..76 IV-2 Exemple: M thode "pas pas"..77 IV-3 Th or me nerg tique ..79 R sistance des Mat riaux - 7 - RAPPELS DE MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS I - Cin matique I - 1 Configuration, mouvement, d placement, .. L'espace physique est rapport un rep re orthonorm direct O,1 e ,2 e ,3 e (). L'ensemble des particules ou points mat riels constituant le milieu continu tudi , occupe chaque instant t, un ensemble de positions dans l'espace: c'est la configuration du syst me l'instant t, not ( t) (d'int rieur (t) et de fronti re (t)). On introduit aussi la notion de configuration de r f rence: c'est la configuration particuli re du syst me un instant t0 fix.

6 Souvent on prendra 0= (0 ), et on parlera alors de configuration initiale. Toute particule M0 de 0 est rep r e par son vecteur position X ( t) dans la configuration de r f rence. Toute particule M de ( t) est rep r e par son vecteur position x (t) dans la configuration actuelle ( l'instant t). Figure 1 La position de chaque particule M sera donc d termin e si on conna t sa position dans la configuration de r f rence et une fonction telle que: ()t,X = (t)x (1) d finit le mouvement par rapport O,1 e ,2 e ,3 e (). Dire que le milieu est continu, c'est dire que est une fonction continue et biunivoque de X. X et t d finissent les variables de Lagrange x et t d finissent les variables d'Euler O1e 2e 3e Configuration de r f rence l instant t0 0000 MX Configuration actuelle l instant t M( , )x X t ( , )u X t (, )X t - 8 - Rappel de MMC Le d placement par rapport la configuration 0, l'instant t, de la particule M0 est le vecteur Xt)(X,xt)(X,u = (2) I - 2 D formation Consid rons deux particules voisines X et X+dX.

7 A l'instant t ces particules occupent la position x et x+dx avec ()()t,Xt,Xd+X = (t)xd Par d finition du gradient on crit: ()()() + = 2Xd+Xdt,XXt,Xt,Xd+X Soit ()Xd t,XFxd = avec ()()t,XXt,XF = (3) F est une application lin aire qui fait passer de l'espace vectoriel dans lequel peut varier d X dans l'espace vectoriel o varie priori d x . Cette application lin aire, appel e tenseur gradient, permet donc le passage de la configuration 0 la configuration ( t) . En notation indicielle, jijiijXxXF = = =332313322212312111 XxXxXxXxXxXxXxXxXxF Remarques: * Transformation d'un l ment de volume dV dans 0 en un l ment de volume dv dans ( t) . ()dVFdetdv= * Transformation d'un l ment de surface N dS dans 0 en un l ment de surface dans ( t) . dS NFFdetds n-T = Le tenseur gradient d crit la transformation locale au voisinage d'une particule donn e.

8 Afin de rendre compte des d formations, c'est dire des changements de forme autour de cette particule, on s'int resse l' volution du produit scalaire de deux vecteurs mat riels pris respectivement dans les deux configurations 0 et ( t) . Consid rons trois particules voisines X, X+dX, X+dX'. Apr s d formations, elles occupent dans ( t) les positions respectives x, x+dx, x+dx'. R sistance des Mat riaux - 9 - ()() = = jjkiikXdXxdXXxXd )t,X(FXd t),X(Fxdxd d'o sa variation autour de la transformation jiijjkikXddXXxXxXdXd-xdxd = soit XdXd2 XdXd-xdxd = en posant = 1)t,X(F)t,X(F21T (4) L'application lin aire est appel e tenseur des d formations. Cette application est sym trique mais d pend bien s r de la base O,1 e ,2 e ,3 e () initialement choisie. Autre criture: D'apr s (2) et (3) t)X,(Xu1=t)X,(Xxt)X,(F + = soit + + = t)X,(Xut)X,(Xut)X,(Xut)X,(Xu21TT (5) ou encore en notation indicielle + + = jkikijjiijXuXuXuXu21 I - 3 Cas des petites perturbations Cette hypoth se correspond au cas o )t,X(u et )t,X(Xu sont petits.

9 En reprenant (5) et en ne retenant que les termes d'ordre 1, on obtient: + = t)X,(Xut)X,(Xu21 THPP (6) ou encore en notation indicielle + = ijjiijXuXu21 - 10 - Rappel de MMC I - 4 Conditions de compatibilit A tout d placement u on fait correspondre une d formation . On peut aussi se poser le probl me inverse. Ce probl me est dit 'probl me de compatibilit g om trique d'un champ de d formation', ou encore 'probl me d'int grabilit d'un champ de d formation'. Les conditions de compatibilit peuvent tre tablies dans le cas g n ral, cependant nous ne les tablirons que dans le cas des petites perturbations. D composons maintenant le gradient des d placements en une partie sym trique et une partie antisym trique . )t,X()t,X(=t)X,(Xu + = t)X,(Xut)X,(Xu21T = ijjiijXuXu21 On a i,jkj,kik,ij = soit en d rivant une nouvelle fois ij, kl= ij, lk i,j,k,l dans {1,2,3} 0lk,j,i,ik,jljl,ikij,klkl,ij= + (7) R ciproquement, si v rifie (7), alors les formes diff rentielles ()ki,jkj,kiijxdd = sont exactes; elles permettent donc de construire le champ de tenseur antisym trique.

10 On v rifie ensuite que les formes diff rentielles ()kikikixdud + = sont exactes, d'o la possibilit de construire un champ de d placement u (X,t) d fini dans 0. R sistance des Mat riaux - 11 - II - Sth nique II -1 Forces Elles r sument les effets m caniques, autres que cin matiques, exerc s sur le milieu continu consid r par le reste du domaine physique. Leur sch matisation chaque instant repose sur la d finition d'un champ de vecteur (x, t) et d'une mesure positive , d finis sur la configuration actuelle ( t) . (x, t) est une densit de force pour la mesure . * Si est une mesure de volume, alors (x, t) est une force volumique (densit volumique de force) d finie dans (t) de la configuration actuelle, par la fonction f : x (t) f (x, t) 3 * Si est une mesure de surface, alors (x, t) est une force surfacique (densit surfacique de force) d finie sur F(t) de la configuration actuelle, par la fonction F : x F(t) F (x, t) 3 *.