Geometrie-Dossier Pyramiden und Kegel - Andi …

1 Geometrie-Dossier Pyramiden und Kegel Inhalt: Die gerade Pyramide (Eigenschaften, Definition, Begriffe, Volumen, Oberfl che) Aufgaben zur Berechnung und Konstruktion von geraden Pyramiden . Der gerade Kreiskegel (Eigenschaften, Definitionen, Begriffe, Volumen, Oberfl che) Aufgaben zur Berechnung und Konstruktion von geraden Kreiskegeln. Eine Version zum Download findest du im Internet unter Verwendung: Dieses Geometriedossier orientiert sich am Unterricht und liefert eine Theorie-Zusammenfassung. Bei Konstruktionen sind nat rlich viele Wege m glich, hier wurde als Musterl sung jeweils ein m glichst einfacher Weg gew hlt.

2 Einfache Aufgaben sind mit einem gekennzeichnet schwierigere Aufgaben sind mit einem gekennzeichnet. Die Aufgaben m ssen in der Freizeit (oder in der Hausaufgabenstunde) gel st werden. Sie k nnen jederzeit zur Kontrolle abgegeben werden, die L sungen k nnen aber auch selbst ndig verglichen werden. Fragen d rfen nat rlich auch immer gestellt werden. Achtung: Konstruktionen unbedingt mit Zirkel, Massstab, gespitztem Bleistift durchf hren. Feine Striche verwenden! Beachten: Konstruktionen: L sungen rot (weitere L sungen in hnlichen Farben, orange, gelb, etc.) Skizzen: Gegebenes GR N, Gesuchtes ROT.

3 Rest Bleistift oder schwarzer Fineliner. Sichtbarkeit: In Raumbildern alle nicht sichtbare Kanten gestrichelt darstellen. Name: Dossier Pyramide und z Seite 2 1. Die gerade Pyramide Definition Mit dem Begriff Pyramide bringen wir sofort die Pyramiden von Giseh (bei Kairo, gypten) als eines der sieben Weltwunder der Antike in Verbindung. Die Form der Pyramiden ist dabei typisch: Eine eckige Grundfl che und Seitenkanten, die auf eine Spitze zulaufen. Unter diesen Pyramiden gibt es die geraden Pyramiden , n genannt. Als Definition gilt: Als gerade Pyramide kommen nur K rper in Frage, deren Grundfl che einen eindeutigen Mittelpunkt (bei Dreiecken: Schwerpunkt) haben.

4 Die Pyramidenspitze steht dabei immer senkrecht ber diesem Mittelpunkt. Bei geraden Pyramiden sind zudem alle Seitenkanten gleich lang. Bezeichnungen bei der geraden Pyramide Eigenschaften der geraden Pyramide Wie oben anget nt hat die gerade Pyramide einige speziellen Eigenschaften: Die Grundfl che ist ein Dreieck, ein Viereck oder ein regelm ssiges n-Eck Die Spitze S liegt senkrecht ber dem Mittelpunkt der Grundfl che Die Seitenfl chen sind ausschliesslich Dreiecke. Zusammen bilden sie den Mantel der Pyramide Alle Seitenkanten laufen in der Spitze zusammen und sind gleich lang.

5 Spezielle Pyramiden In der untenstehenden bersicht finden sich mehrere gerade Pyramiden . Die Form ihrer Grundfl che f hrt zur Bezeichnung der Pyramide. Gerade, vierseitige Pyramide (nicht regelm ssig, weil die Grundfl che ein Rechteck ist, also nicht gleich lange Seiten hat) Regelm ssige vierseitige Pyramide (auch quadratische Pyramide genannt). Falls a = s k nnen zwei solche Pyramiden zusammengesetzt werden (Es entsteht ein K rper mit acht kongruenten Fl chen Oktaeder (Achtfl chner)) Spitze S Seitenkante k Seitenfl che (Alle Seitenfl chen zusammen bilden den Mantel M) Pyramidenh he h (kurz: H he).

6 Die H he steht senkrecht auf G Grundkante Grundfl che G (Mantel und Grundfl che bilden die Oberfl che S) Dossier Pyramide und z Seite 3 Regelm ssige dreiseitige Pyramide Die Grundfl che ist ein gleichseitiges Dreieck (Falls s = a besteht die Pyramide aus vier kongruenten gleichseitigen Dreiecken und heisst Tetraeder oder Vierfl chner) Schiefe Pyramiden (dies sind also keine geraden Pyramiden , weil die Spitze nicht senkrecht ber dem Mittelpunkt der Grundseite liegt.) Das Volumen der geraden Pyramide Das Volumen einer Pyramide kann durch verschiedene Methoden bestimmt werden: Messen des verdr ngten Wassers ( berlaufverfahren) Wasser in Pyramide einf llen Durch Zerlegung eines W rfels Durch Zerlegung eines W rfels in schiefe Pyramiden Hier wollen wird die oben festgehaltene Formel zur Berechnung des Volumens der Pyramide mittels W rfelzerlegung nachweisen: Durch die eingezeichnete Zerlegung k nnen wir aus einem W rfel genau 6 gleichgrosse quadratische Pyramiden erzeugen.

7 Alle sechs entsprechen der rot und dick eingezeichneten Pyramide ABCDS. Die Grundfl che des W rfels ist dabei auch die Grundfl che der Pyramide, also GW rfel = GPyramide = a2 Die H he der Pyramide ist genau die H lfte der W rfelh he, also hPyramide = a2 Und so gilt: VPyramide = VW rfel6 = a3 6 = a2 a6 = G h3 = G h3 a2 = G a2 = h, also ist a6 = h3 Dossier Pyramide und z Seite 4 Das Netz einer geraden Pyramide Bevor wir die Oberfl che bestimmen, zeichnen wir einmal ein Netz einer quadratischen Pyramide. Damit wir das Netz einer Pyramide zeichnen k nnen, brauchen wir neben der Grundkantenl nge (oder der Grundkantenl ngen bei einer nicht quadratischen Grundfl che) entweder die L nge der Seitenkante oder die H he der Seitenfl che.

8 Bei geraden Pyramiden sind die Seitenfl chen immer gleichschenklige Dreiecke, lassen sich also relativ einfach zeichnen. F r Berechnungen und Konstruktionen braucht man h ufig die Pyramidenh he. Pyramidenh he und Seitenfl chenh he (zusammen mit Teilstrecken der Grundfl che) k nnen mit Pythagoras berechnet werden. Zur Konstruktion der Pyramidenh he aus einem Pyramidennetz ist ebenfalls ein solches rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren. (Bei Unklarheit kannst du in der L sung der ersten bungsaufgabe nachschlagen) Die Oberfl che einer geraden Pyramide Die Oberfl che der Pyramide besteht wie beim Netz ersichtlich aus zwei Bestandteilen: Der Grundfl che und der Mantelfl che.

9 Also heisst die Formel f r die Oberfl chenberechnung bei allen Pyramiden (auch bei schiefen Pyramiden ) gleich: Oberfl che = Grundfl che + Mantel oder S = G + M Aufgaben Die gerade Pyramide : 1. Konstruiere aus den dargestellten Pyramiden -Netzen das Schr gbild der entsprechenden Pyramide (verwende die entsprechenden Streckenl ngen aus der Skizze. a) regelm ssige quadratische Pyramide (a s) Seitenkantenl nge H he der Seitenfl che Grundkantenl nge Dossier Pyramide und z Seite 5 b) dreiseitige Pyramide (Grundfl che ABC). Achtung, die Pyramide ist NICHT gerade, (Die Spitze steht also nicht ber dem Schwerpunkt der Grundfl che) c) regelm ssige, quadratische Pyramide (a = s) 2.

10 Konstruiere die eingezeichnete dick markierte Strecke in wahrer Gr sse (Tipp: Suche konstruierbare Dreiecke oder Ebenen, in die die gesuchte Strecke eingebettet werden kann.) a) regelm ssige quadratische Pyramide (AB = BC = 4cm, H he h = HS = 35mm) b) regelm ssige quadratische Pyramide (AB = BC = cm, H he h = 25mm) Dossier Pyramide und z Seite 6 c) dreiseitige, gerade Pyramide (AB = 3 cm, BC = , AC = 4cm. AS = BS = CS = ) 3. Eine quadratische gerade Pyramide hat eine Grundfl che von Ihre H he betr gt 4cm. Der Punkt Q liegt auf dem Mittelpunkt von AS.