Beispiele zur Kurvendiskussion ... - walter-fendt.de

1 Beispiele zur Kurvendiskussion (Gebrochen rationale Funktionen)Beispiel 1 Diskutiere die durchf(x) =x2 3x 4x+ 2gegebene ) Definitionsbereich:Der Nenner eines Bruches darf nicht gleich 0 sein. Daher istx= :D=R\{ 2}b) Verhalten an der Definitionsl cke:Was ist an der Definitionsl cke Besonderes los? Beim Einsetzen vonx= 2in die Funk-tionsgleichung erh lt man f r den Nenner 0 und f r den Z hler( 2)2 3 ( 2) 4 = 6(ungleich 0). Daher handelt es sich hier um eine Polstelle (Unendlichkeitsstelle).Den zugeh rigen Linearfaktor(x+ 2)k nnte man auch in der Form(x+ 2)1schreiben,also mit ungeradem 2ist demnach ein ungerader Pol, das hei t ein Polmit Asymptote:x= 2(ungerader Pol) Ungerader Pol bedeutet, dass hier ein Sprung zwischen+ und stattfindet.

2 Esfragt sich nur, ob dieser Sprung von unten nach oben oder von oben nach unten diese Frage zu kl ren, bildet man den linksseitigen und den rechtsseitigen Grenzwertvonfan der Stellex= der Z hler ungleich 0 und der Nenner gleich 0 ist, kann der Grenzwert nur+ oder sein. Beim linksseitigen Grenzwert (x< 2) geht der Z hler gegen 6 (positiv), derNenner gegen 0 (von der negativen Seite her). Daher muss der Grenzwert das Vorzeichen < 2f(x) = limx< 2 6z}|{x2 3x 4x+ 2|{z}< 0= Linksseitiger Grenzwert f rx 2:limx< 2f(x) = Beim rechtsseitigen Limes (x> 2) geht der Z hler ebenfalls gegen 6 (positiv), aberder Nenner n hert sich der Zahl 0 von der positiven Seite kommt f r diesenGrenzwert+ > 2f(x) = limx> 2 6z}|{x2 3x 4x+ 2|{z}> 0= + Rechtsseitiger Grenzwert f rx 2:limx> 2f(x) = + c) Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.

3 Um die Nullstellen der Funktionfund damit die Schnittpunkte mit derx-Achse zu finden,muss man den Z hler gleich 0 3x 4 = 0 Routinem ig verwendet man bei solchen quadratischen Gleichungen die beliebte Mitter-nachtsformel x= b b2 w re allerdings die Zerlegung in Linearfaktoren:x2 3x 4 = (x+ 1)(x 4)x= ( 3) p( 3)2 4 1 ( 4)2 1=3 52xN1=3 + 52= 4xN2=3 52= 12 Hier ist noch zu berpr fen, ob diesex-Werte nicht mit der Definitionsl ckex= 2zusammenfallen. Dies ist nicht der Fall. Damit sind die Schnittpunkte mit mit derx-Achse:(4|0);( 1|0)Der Schnittpunkt mit dery-Achse ist festgelegt durch den Funktionswertf(0).f(0) =02 3 0 40 + 2= 42= 2 Schnittpunkt mit dery-Achse:(0| 2)d) Verhalten im Unendlichen:Der Z hler des Funktionsterms ist ein Polynom vom Grad 2, derNenner ein Polynom vomGrad 1.

4 (Der Grad eines Polynoms ist der h chste vorkommendeExponent der Potenzenvonx.)Wenn wie hier der Z hlergrad um 1 gr er ist als der Nennergrad, dann hat derFunktionsgraph eine schiefe Asymptote. Die Asymptotengleichung erh lt man durch Po-lynomdivision, wobei ein sorgf ltiger Umgang mit Plus- undMinuszeichen angebracht ist.(x2 3x 4) : (x+ 2) =x 5 +6x+ 2x2+ 2x 5x 4 5x 106 Der Restbruch6x+2im Ergebnis geht f rx + undx gegen 0. Das bedeutet,dass der Funktionswertf(x)f rx-Werte mit sehr gro em Absolutbetrag nur noch sehrwenig vonx 5abweicht. Geometrisch ausgedr ckt: Der Graph der Funktionn hert sichimmer mehr der Geraden, die durch den Rechenausdruckx 5gegeben Asymptote:y=x 5 Aus dem Verlauf dieser Asymptote ergeben sich unmittelbar die Grenzwerte der Funktionff rx.

5 3 Grenzwert f rx :limx f(x) = Grenzwert f rx + :limx + f(x) = + e) Ableitungen:F r Aussagen ber Monotonie, Extrempunkte, Kr mmungsverhalten und Wendepunkteben tigt man die ersten beiden Ableitungsfunktionen. Da der Funktionsterm ein Bruchist, kommt die Quotientenregel zum Zuge. Der Nenner der Ableitung ist der bisherigeNenner hoch 2. Den Z hler der Ableitung erh lt man nach dem Schema NAZ ZAN(Nenner mal Ableitung des Z hlers minus Z hler mal Ableitung des Nenners).f (x) =(x+ 2) (2x 3) (x2 3x 4) 1(x+ 2)2=2x2 3x+ 4x 6 x2+ 3x+ 4(x+ 2)2=x2+ 4x 2(x+ 2)21. Ableitung:f (x) =x2+ 4x 2(x+ 2)2 Auch die zweite Ableitung ist mit Hilfe der Quotientenregelzu berechnen.

6 An der Stelle,an der die Ableitung des Nenners(x+ 2)2ben tigt wird, muss man zus tzlich die Ket-tenregel ber cksichtigen. (Nachdifferenzieren vonx+ 2ergibt den Faktor 1.)Bei der weiteren Vereinfachung w re es ausgesprochen ungeschickt, einfach stur auszumul-tiplizieren. Stattdessen sollte man unbedingt im Z hler(x+ 2)ausklammern, um diesengemeinsamen Faktor von Z hler und Nenner herausk rzen zu k (x) =(x+ 2)2 (2x+ 4) (x2+ 4x 2) 2(x+ 2) 1(x+ 2)4=(x+ 2)[(x+ 2)(2x+ 4) (x2+ 4x 2) 2](x+ 2)4=(x+ 2)(2x+ 4) (x2+ 4x 2) 2(x+ 2)3=2x2+ 4x+ 4x+ 8 2x2 8x+ 4(x+ 2)3=12(x+ 2)342. Ableitung:f (x) =12(x+ 2)3f ) Monotonie und Extrempunkte:Extrempunkte soweit vorhanden findet man, indem man die erste Ableitung gleich + 4x 2(x+ 2)2= 0 Ein Bruch kann nur dann gleich 0 sein, wenn sein Z hler gleich0 + 4x 2 = 0 Diese quadratische Gleichung l sst sich wieder mit der (hoffentlich) bekannten L sungs-formel aufl sen.

7 Beim Vereinfachen wendet man das Verfahrendes teilweisen Radizierensan, um den Faktor 2 ausklammern und herausk rzen zu k nnen: 24 = 4 6 = 4 6 = 2 6x= 4 p42 4 1 ( 2)2 1= 4 242= 4 2 62=2( 2 6)2= 2 6Es wird nun eine Monotonietabelle aufgestellt. In der ersten Zeile stehen die Bereiche derx-Achse, in denen die Ableitung einheitliches Vorzeichen hat. Grunds tzlich k nnte sichdas Vorzeichen der Ableitung nicht nur an den gerade gefundenen Stellenx= 2 + 6undx= 2 6 ndern, sondern auch an der Definitionsl ckex= < 2 6 2 6< x < 2 2< x < 2 + 6x > 2 + 6f (x)>0<0<0>0f(x)str. mon. mon. mon. mon. w re nicht korrekt, die zweite und die dritte Spalte der Tabelle ausgedr ckt springt der Funktionswertf(x)an der Stellex= 2von auf+ hoch.

8 Daher ist hier die streng abnehmende Monotonie ist inzwischen, dass die Funktionfan der Stellex= 2 6ein Maximum annimmtund an der Stellex= 2 + 6ein Minimum. Im Folgenden werden die Koordinaten derbeiden Extrempunkte n herungsweise berechnet. (Die exakten Rechenausdr cke f r diey-Werte w ren relativ kompliziert.)xE1= 2 6 4,45xE2= 2 + 6 0,45yE1 11,90yE2 2,10 Hochpunkt:( 4,45| 11,90)Tiefpunkt:(0,45| 2,10)g) Kr mmungsverhalten:f (x) =12(x+ 2)3 Wie man am Z hler sieht, kann die zweite Ableitungf (x)nicht den Wert 0 Vorzeichen vonf (x)kann also h chstens an der Definitionsl cke wechseln. Dahertreten in der Tabelle zum Kr mmungsverhalten nur zwei Bereiche < 2x > 2f (x)<0>0 Graph vonfrechtsgekr mmtlinksgekr mmtAn der Stellex= 2 ndert sich das Kr mmungsverhalten.

9 Dennoch liegt kein Wende-punkt vor, da der Funktionswertf( 2)nicht definiert : Keine!6h) Symmetrie:Auf den ersten Blick ist keine Symmetrie erkennbar. Da die Grenzwerte f rx undx + verschieden sind, kommt h chstens Punktsymmetrie in Frage, und zwar nurdann, wenn das Symmetriezentrum zugleich auf beiden Asymptoten (mit den Gleichungenx= 2undy=x 5) liegt. Daher wird zun chst der Schnittpunkt dieser 2eingesetzt iny=x 5:y= 2 5 = 7 Schnittpunkt der Asymptoten:( 2| 7)Allgemeine Bedingung f r Punktsymmetrie bez glich(x0|y0):f(x0 h) +f(x0+h) = 2y0 Diese Bedingung wird nun f rx0= 2undy0= 7 berpr ft. Zweckm igerweiseverwendet man hier das Ergebnis der Polynomdivisionf(x) =x 5 +6x+2.

10 Andernfallsw re die folgende Rechnung ( 2 h) +f( 2 +h)= ( 2 h) 5 +6( 2 h) + 2+ ( 2 +h) 5 +6( 2 +h) + 2= 14 6h+6h= 14 = 2 ( 7)Punktsymmetrie bez glich des Punktes( 2| 7)i) Wertetabelle f r 14<=x<= +10:x 14 13 12 11 10 9 8 7 6y 19,5 18,55 17,6 16,67 15,75 14,86 14 13,2 12,5x 5 4 3 2,5 2 1,5 101y 12 12 14 19,5 5,50 2 2x2345678910y 1,5 0,800,861,752,673,64,555,57j) Graph der Funktion:-12 -10 -8 -6 -4 -22468x-22-20-18-16-14-12-10-8-6-4-22468 ybbbbbf(x) =x2 3x 4x+ 28 Beispiel 2 Diskutiere die durchf(x) =|x+ 1||x| 1gegebene ) Definitionsbereich:|x|darf nicht gleich 1 sein, da sonst der Nenner den Wert 0 h sindx= 1undx= + :D=R\{ 1; 1}b) Verhalten an der Definitionsl ckex= +1:F rx +1konvergiert der Z hler gegen 2, der Nenner gegen 0.