Jürgen Dankert: Numerische Integration von ...

1 J rgen Dankert: Numerische Integrationvon AnfangswertproblemenTeil 1: GrundlagenDieses Skript geh rt zu den Internet-Erg nzungen desLehrbuchs Dankert/Dankert: Technische Mechanik J. Dankert: Numerische Integration von Anfangswertproblemen, Teil 1 (Grundlagen)2 Inhaltsverzeichnis1 Anfangswertprobleme32 Das Verfahren von Euler-Cauchy33 Differenzialgleichungen h herer Ordnung, Differenzialgleichungssysteme84 Verifizieren der Berechnungsergebnisse105 Verbesserte Pr diktor-Korrektor-Verfahren, das Verfahren von Heun.. Klassisches Runge-Kutta-Verfahren.. Verlagerung des Algorithmus in eine Matlab-Function.. Schrittweitenproblem, Richardson-Extrapolation.

2 236 Runge-Kutta-Familie, Butcher-Array.. Eingebettete Verfahren.. Dormand-Prince-Verfahren, Standardsolver in Matlab..307 Methoden von Adams-Bashforth (explizite Verfahren).. Adams-Moulton- und Adams-Bashforth-Moulton-Verfahren (implizite Ver-fahren).. Verfahren von Gear..378 Verfahrenswahl38J. Dankert: Numerische Integration von Anfangswertproblemen, Teil 1 (Grundlagen)31 AnfangswertproblemeBei einergew hnlichen Differenzialgleichungn-ter Ordnungy(n)=f(x,y,y ,y ,..,y(n 1))( )enth lt die allgemeine L sungnIntegrationskonstanten. Es k nnennzus tzliche Bedingun-gen formuliert werden, mit denen diese Integrationskonstanten zu bestimmen sind, so dasssich die spezielle L sung des durch Differenzialgleichung und Zusatzbedingungen beschrie-benen Problems alle Zusatzbedingungen f r die gleichen Stellex0gegeben sind (der Funktionswertyund die Ableitungen bis zur(n 1)-ten Ordnung sind an dieser Stelle vorgeschrieben), dannspricht man von einemAnfangswertproblem(im Gegensatz zumRandwertproblem, bei demdiese Bedingungen f r unterschiedlichex-Werte gegeben sind).

3 Die mit demDifferenzenver-fahrenzu l senden Aufgaben der Biegetheorie sind z. B. typische lineare Randwertaufgaben(Differenzialgleichungen und Randbedingungen sind linear), f r die eine geschlossene L -sung prinzipiell m glich ist, auch wenn komplizierte praxisnahe Probleme eine numerischeL sung nahe rnichtlineare Differenzialgleichungenist eine geschlossene L sung nur in ganz selte-nen Ausnahmef llen m glich. Auch N herungsmethoden wie das Differenzenverfahren sindnicht praktikabel, weil sich sehr gro e nichtlineare Gleichungssysteme ergeben w die Aufgabe jedoch als Anfangswertproblem formuliert ist, lassen sich auf numeri-schem Wege brauchbare N herungsl sungen gewinnen.

4 Gl cklicherweise sind gerade vielenichtlineare Probleme der Ingenieur-Mathematik Anfangswertprobleme, f r die hier geeig-nete N herungsverfahren behandelt Das Verfahren von Euler-CauchyDie Idee der numerischen Integration soll zun chst am einfachsten Anfangswertproblem mitdem einfachsten Verfahren vorgestellt werden. F r das Anfangswertproblem 1. Ordnungy =f(x,y),y(x0)=y0( )(eine Differenzialgleichung 1. Ordnung und diedazugeh rige Anfangsbedingung) ist die Funktiony(x)gesucht, die die Differenzialgleichung und dieAnfangsbedingung erf llt (nebenstehende Skizze).Ausgehend vom einzigenx-Wert, f r den der ge-suchtey-Wert bekannt ist, dem Anfangspunkt x0mit dem Werty0, sucht man einen Werty1f r dieStellex1=x0+h(hist die Schrittweite ), um an-schlie end auf gleiche Weise zum n chsten Punktzu kommen ()yyyxx00 Anfangswertproblem 1.

5 Ordnung: EinPunkt der L sungsfunktion ist gegebenJ. Dankert: Numerische Integration von Anfangswertproblemen, Teil 1 (Grundlagen)4 Dieser Prozess sei bis zur Stellexiabgelaufen,yiist also bekannt. Dann ist das Berechnenvonyi+1f rxi+1=xi+hder typische Integrationsschritt des Seiten der Differenzialgleichung des An-fangswertproblems werden ber das Intervallhin-tegriert:xi+1 x=xiy (x)dx=xi+1 x=xif(x,y)dx,[y(x)]xi+1xi=yi+1 yi=xi+1 x=xif(x,y)dx,yi+1=yi+xi+1 x=xif(x,y) +1ii+1()yyyyxxxhIntegrationsschritt f ry(x)Das verbleibende Integral auf der rechten Seite, das den Zuwachs des Funktionswertes vomPunktizum Punkti+1 repr sentiert, muss n herungsweise gel st werden, weil die im Inte-granden enthaltene Funktiony(x)nicht bekannt ist.

6 Die verschiedenen Verfahren der nume-rischen Integration von Anfangswertproblemen unterscheiden sich im Wesentlichen in derArt und Qualit t, wie dieses Integral angen hert gr bste N herung f r das Integral ist die Annahme, der Integrandf(x,y)sei im gesamtenIntegrationsintervallxi x xi+1konstant und kann durch den Wertf(xi,yi)am linken Randdes Integrationsintervalls ersetzt werden (xiundyisind bekannt). Mitxi+1 x=xif(x,y)dx xi+1 x=xif(xi,yi)dx=[x f(xi,yi)]xi+1xi=f(xi,yi)(xi+1 xi)=y ih( )erh lt man dieIntegrationsformel von Euler-Cauchy:yi+1=yi+y ih,xi+1=xi+h.( )Dies ist die einfachste N herungsformel f r die Numerische Integration eines Anfangswert-problems, die L sungy(x)wird durch einen Polygonzug approximiert.

7 Die einfache Berech-nungsvorschrift verdeutlicht in besonderer Sch rfe das Problem aller Integrationsformeln f rAnfangswertprobleme: Die N herungsl sung f r das Integral erzeugt einen Fehler ( Qua-draturfehler ), der in die Berechnung vony f r den n chsten Integrationsschritt eingeht unddabei einen weiteren Fehler (Steigungsfehler) wird auch die St rke dieser Verfahren deutlich: Eine einfache, immer wieder aufdie gerade berechneten Werte angewendete Formel kommt der Programmierung in hohemMa e entgegen. Weil jeder Schritt nur die Ergebnisse seines Vorg ngers kennen muss, istder Speicherplatzbedarf au erordentlich gering, wenn nicht alle berechneten Werte f r einenachfolgende Auswertung gespeichert werden m Dankert: Numerische Integration von Anfangswertproblemen, Teil 1 (Grundlagen)5 Beispiel.

8 Das Problem, die Funktiony(x)zu bestimmen, die einen Spiegel definiert, derparalleles Licht so ablenkt, dass sich alle Lichtstrahlen in einem Punkt (Fokus) treffen, kannohne Einschr nkung der Allgemeinheit f r Lichtstrahlen parallel zurx-Achse und mit demNullpunkt als Fokus formuliert einfache geometrische berlegungen (nachfolgende Skizze) f hren auf die Differen-zialgleichungy =yx+ x2+y2,f r die (mit einiger M he) die allgemeineL sung berechnet werden kann, so dass sichdie nichtlineare Differenzialgleichung vor-z glich f r eine Absch tzung der Genauig-keit einer numerischen L sung der Internet-Seite"Differenzialglei-chungen 1.

9 Ordnung, Beispiel: Parabolspie-gel"wird die allgemeine L sung hergeleitet:y2=C2+2 Cxbeschreibt eine Schar quadratischer ()yyyxxLichtstrahl2xy2+(gleichschenklige s Dreieck)Einfallswinkel = AusfallswinkelaaaTangenteZurx-Achse paralleler Lichtstrahl wird an derFunktiony(x)so gespiegelt, dass er durch denNullpunkt verl uftDie IntegrationskonstanteCkann ziemlich willk rlich festgelegt werden. W hlt man zumBeispiel als Anfangsbedingungy(0)=1, dann erh lt man mitC=1 als spezielle L sung diequadratische Parabely= 1+ nebenstehende Tabelle zeigt die nume-rische L sung nach Euler-Cauchy f r dasnichtlineare Anfangswertproblemy =yx+ x2+y2,y(0)=1mit der sehr groben Schrittweiteh=0,1 imVergleich mit der exakten L iyi,exakt00,01,00001,00001,000010,11,100 00,91321,095420,21,19130,84611,183230,31 ,27590,79211,2649.

10 101,01,75601,7321 Schon am Ende des sehr kurzen Integrationsintervallsx= zeigt sich eine sichtbare Ab-weichung, die bei gr eren Integrationsintervallen st rker wird, sich durch kleinere Schritt-weiten jedoch verringern l sst. Die nachfolgende Tabelle zeigt die Ergebnisse, die sich beiverschiedenen Schrittweiten am Ende des Integrationsintervallsx= ergeben:Schrittweiteh=1,00,10,010,001 Exakte L sungIntegrationsschritten=5505005000y(5) 3,91633,37233,32213,31723,3166J. Dankert: Numerische Integration von Anfangswertproblemen, Teil 1 (Grundlagen)6 Nat rlich kann man die Anzahl der Integrationsschritte nicht beliebig erh hen, weil mit derAnzahl der Rechenoperationen auch der mit jeder Operation unvermeidlich verkn pfte Run-dungsfehler das Ergebnis verf lschen nachfolgend angegebene kleine Matlab-Script ( Download verf g-bar), mit dem diese Berechnung realisiert werden kann, zeigt, wie einfach das Verfahren zuprogrammieren ist:1% Euler Cauchy Verfahren f u e r D i f f e r e n z i a l g l e i c h u n g y = f ( x , y ) ,2% h i e r " Spiegel Problem ".