Varianz einer Summe diskreter Zufallsvariabler - …

1 Varianz einer Summe diskreter Zufallsvariabler - 1 - nSei X eine diskrete Zufallsvariable, welche die Werte i1xxx=..mit der Wahrscheinlichkeit annehmen kann. Der Erwartungswert einer solchen Zufallsvariablen ist definiert als (iPX x=)ii(1) ()( )nXii1 EXx PX x== = = Die Varianz ist der Erwartungswert der quadrierten Abweichungen vom Erwartungswert der Zufallsvariablen: (2) () ( )() ( )n22 XiXi1 Var XE XxP X x= = = = F r eine andere diskrete Zufallsvariable Y mit den m glichen Werten j1yyym=.., die mit der Wahrscheinlichkeit ()jPY y=eintreten, ist der Erwartungswert entsprechend (3) ()()mYjj1 EYy PY y== = = j)jund die Varianz (4) () ( )()(m22 YjYj1 Var YE YyP Yy= = = = Wenn die beiden Zufallsvariablen unabh ngig voneinander sind, gilt f r die Varianz der Summe : XY+(5) ()()()Var X YVar XVar Y+= + Beweis: Entsprechend der Definition der Varianz gilt ()() ( )( )()22 XYXYVar X YE X YEXY += + = + Die rechte Seite dieser Gleichung wird ausmultipliziert.

2 (6) ()()()()22 XXYVar(X Y) E X2 XYY += + + YF r Erwartungswerte gilt, dass diese entsprechend ()()()EX Y EX EY+= + addiert werden k nnen. Dies auf die rechte Seite von Gleichung (6) angewandt: ()()() ()(22 XYXVar X YE XE YE 2 XY)Y + = + + Hierin Gleichung (2) und Gleichung (4) eingesetzt: (7) ()()()()()XYVar X YVar XVar YE 2 XY += + + Der in Gleichung (7) enthaltene Ausdruck ()()XE2 XYY wird gesondert betrachtet. Zun chst wird untersucht, ob der konstante Faktor 2, mit dem das Produkt ()()XYXY zu multiplizieren ist, auch erst nach der Ermittlung des Erwartungswertes angewandt werden kann.

3 Dies w re dann der Fall, wenn ()()()()XYXYE2XY 2 EXY = Varianz einer Summe diskreter Zufallsvariabler Zur Vereinfachung und Verallgemeinerung wird gefragt, ob die folgende Gleichung g ltig ist: (8) ()()Ea X aEX = Dabei stellt a einen konstanten Faktor dar. Die m glichen Auspr gungen der Zufallsvariablen sind damit {. F r }12nax,ax ax ..()Eagilt, dass diese Auspr gungen mit ihrer Wahrscheinlichkeit multipliziert und addiert werden, sodass X ()( )()()() () ()()()112 2n112 2n nniii1 EaX axPXx axPXxaxPXxa x PX xx PX xx PX xaxPXxaEX= = = + = + = = = + = + = = == ..n Gleichung (8) ist also g ltig.

4 Damit kann Gleichung (7) folgenderma en geschrieben werden: (9) ()()()()()XYVarXY VarXVarY2 EXY += + + Der in Gleichung (9) enthaltene Ausdruck ()()XXYY wird ausmultipliziert: ()()()()( )( )(XYYXXYYXXEXYEXYXYEXY EX EY E = + )Y= + Da und hier konstante Faktoren sind, k nnen diese Faktoren nach Gleichung X Y (8) vor den Erwartungswert gesetzt werden, sodass ()()()()()(XYYXXYEXYEXYEXEYE1 = + ) Hierin sind und X ()EX sowie und Y ()EY identisch, und der Erwartungswert von 1 ist 1: ()()()()()()()()()XYE XYEXY EX EY EX EY EX EY = + (10) ()()()()()XYEXYEXY EXEY = Gleichung (10) in Gleichung (9) eingesetzt: (11) ()()()()()()Var X YVar XVar Y2 E X YE X E Y += + + Gleichung (11) w rde mit Gleichung (5) bereinstimmen und die aufgestellte Behauptung w re bewiesen, wenn (12) ()()()EXY EX EY = Dass diese Gleichung f r unabh ngige Zufallsvariable gilt, sei im Folgenden bewiesen.

5 Die m glichen Werte der Zufallsvariablen XY bestehen aus allen m glichen Produkten . Jedes xixy ji muss mit jedem yj kombiniert werden. So gibt es f r x1 folgende Kombinationen: 111 2131mxy,xy,xy, ,xy .. Ebenso kann x2 mit allen Auspr gungen von Y kombiniert werden: 2122232mxy,xy,xy,,xy .. - 2 - Varianz einer Summe diskreter Zufallsvariabler Entsprechend m ssen die Produkte mit x3 bis xn gebildet werden, sodass sich als letzte Kombination ergibt: n1n2n3nmxy,xy,xy,,xy .. Alle diese Kombinationen von Ereignissen sind mit der Wahrscheinlichkeit ihres Eintritts zu multi-plizieren und zum Erwartungswert zu addieren. Wenn die Ereignisse xi und yj unabh ngig voneinander sind, ist die Wahrscheinlichkeit ihres gemeinsamen Eintretens das Produkt ihrer Wahrscheinlichkeiten ()( )iPX x PY y= =i.

6 Damit gilt ()EXY = ()()1111xyPX x PY y = = + ()()1212xyPX x PY y = = + ()()1313xyPX x PY y = = # + ()()1m1mxy PX x PY y = = + ()()2121xyPXx PYy = = + ()()2222xyPXx PYy = = # + ()()2m2mxyPXx PYy = = # + ()()n1n1xyPXx PY y = = + ()()n2n2xyPXx PY y = = # + ()()nmnmxyPXx PY y = = Die Faktoren ()()()112 2nxPX x,x PX x x PX x = = =..n k nnen jeweils ausgeklammert werden: ()EXY = ()()()(11112 2mxPXx yPYy yPYyyPYy)m = =+ = + = .. + ()()()(221122mxPXx yPYy yPYyyPYy)m = =+ = + = .. + ()()()(331122mxPXx yPYy yPYyyPYy)m = =+ = + = .. # + ()()()(nn1122mxPXx yPYy yPYyyPYy)m = =+ = + =.

7 Hieraus wiederum ()()()112 2myPYy yPYyyPYy =+ = + = ..m ausgeklammert: () ( ) ( )()()()()112 2n n112 2mEXYx PX xx PX xx PX xy PY yy PY yy PY y = = + = = = + = + = ..m j Die beiden Ausdr cke in den eckigen Klammern k nnen mithilfe des Summationszeichens geschrieben werden: ()( )()nmiiji1j1 EXYx PX xy PY y== = = = Hierin Gleichung (1) und (3) eingesetzt: ()()()EXY EX EY = Das ist Gleichung (12), womit diese bewiesen ist. Aus (12) folgt ohne Weiteres ()()()EXY EX EY 0 = - 3 - Varianz einer Summe diskreter Zufallsvariabler Dies in Gleichung (11) eingesetzt ergibt den Additionssatz f r die Varianzen einer Summe unabh ngiger Zufallsvariabler : (13) ()()()Var X YVar XVar Y+= + Die Varianzen der Zufallsvariablen X und Y k nnen zur Varianz der gemeinsamen Zufallsvariablen ihrer Summe addiert werden, wenn die Zufallsvariablen unabh ngig voneinander sind.

8 Eine weitere Bedingung f r die Additivit t der Varianzen l sst sich aus Gleichung (9) ableiten. Wenn in dieser Gleichung der Ausdruck ()()XEXY Y ))Y ) den Wert null annimmt, ergibt sich ebenfalls . () () (Var X YVar XVar Y+= +Der Ausdruck nun ist nichts anderes als die Kovarianz von X und Y, denn hierf r gilt ()(XEXY (14) ()()()()(nmiX jYijXYi1 j1 Cov(X, Y)xyP Xx , YyE XY== = = = = Der Zusammenhang von Gleichung (9) l sst sich also auch folgenderma en formulieren: (15) ()()()()Var X YVar XVar Y2 Cov X, Y+= + + Gleichung (9) und damit auch Gleichung (15) sind allgemeing ltig, sie gelten f r unabh ngige wie f r abh ngige Ereignisse.

9 Die Voraussetzung unabh ngiger Ereignisse war f r die Ableitung dieser Gleichungen nicht notwendig. Wenn nun die Kovarianz gleich null sein kann, obwohl die beiden Zufallsvariablen nicht unabh ngig sind, ist auch in diesem Fall die Additivit t der Varianzen gem Gleichung (13) gegeben. Tats chlich lassen sich Beispiele daf r finden, dass Zufallsvariable zwar abh ngig voneinander sind, aber trotz-dem nicht korrelieren1, was durch eine Kovarianz von null angezeigt wird. Auch f r diesen speziellen Fall abh ngiger Ereignisse gilt ()()()Var X YVar XVar Y+= +. Subtrahiert man die Gleichungen (11) und (15) voneinander, erh lt man eine weitere allgemeing ltige Definition der Kovarianz, n mlich (16) ()()()()Cov X, YE X YE X E Y= Dass die rechte Seite dieser Gleichung und damit die Kovarianz gleich null ist, wenn die Zufalls-variablen X und Y unabh ngig voneinander sind, wurde bereits gezeigt.

10 Die Kovarianz kann aber auch gleich null sein, wenn die Ereignisse zwar abh ngig voneinander sind, aber nicht korrelieren. Anders ausgedr ckt: die Bedingung f r die Additivit t der Varianzen ()()()EXY EX EY = ist stets erf llt f r unabh ngige Ereignisse, sie kann aber auch erf llt sein f r abh ngige Ereignisse, wenn diese nicht korrelieren. - 4 - 1 Vgl. K. Bosch, Gro es Lehrbuch der Statistik, M nchen / Wien 1996, S. 215