Calcul des structures par éléments finis

1 Calcul des structures par l ments finisAntoine LegayCnam-Paris2019 Table des mati resI Introduction Outil d aide au Du r el au mod le math matique m Probl me r Mod le math matique m Espace vectoriel associ au mod le math matique m Ensemble des champs de d Espace vectoriel des champs de d D finitions et propri t s d un espace Vers le mod le l ments Les sources d Erreur entre le probl me r el et le mod le math Erreur entre le mod le math matique et le mod le l ments l ment fini de barre pour le Calcul des Introduction l l ment de quilibre de l l ment tude de deux l ment barre pour le Calcul des treillis plans13II Probl me de r f rence Rappel de m canique des milieux Champ de d placement cin matiquement Espace vectoriel des champs de d Espace des champs de d placements cin matiquement Champ de contrainte statiquement Espace vectoriel des champs de Espace des champs de contraintes statiquement criture du probl me de r f rence20 III criture variationnelle criture variationnelle de l ensemble des champs de contraintes Formulation

2 Variationnelle en d Loi de comportement en notations de Op rateur gradient sym tris en notations de Formulation variationnelle en d placement, criture en notations de quivalence nerg Formes bilin aire et lin aire, norme en Forme lin Forme bilin criture du probl me de r f Norme en nergie28IV Espace d approximation Fonction une Fonction deux Fonction vectorielle deux Fonction trois Fonction vectorielle trois variables37V Construction de la base Construction des fonctions de forme dans un l Fonctions de forme dans un l ment Fonctions de forme dans un l ment du Fonctions de forme dans un l ment Table de connectivit et coordonn es des n uds45VI Probl me discr tis

3 D finition de l erreur de discr criture du probl me discr tis Rappel des diff rents espaces Solution en d criture matricielle du probl me discr tis R solution du probl me discr tis S paration des R solution en d R actions aux Syst me matriciel Blocage des mouvements de solides Construction du probl me discr tis Calcul de la matrice de rigidit Calcul des forces aux n uds55 VII Calculs au niveau l mentaire l ment de r f N cessit d un l ment de r f G om trie de l l ment de r f Fonctions de forme d un l ment de r f rence 2 Passage de l l ment de r f rence l l ment Matrice de rigidit dans l l ment de r f Cas du quadrangle63 VIII Int gration num rique Int gration num rique de la matrice de rigidit Int gration des fonctions une Polyn mes de M thode de Newton-C M thode de Int gration des fonctions deux Cas des l ments Cas des l ments Int gration des fonctions trois Cas des l ments hexa Cas des l ments t tra Crit res de qualit du maillage74IX Analyse des r sultats Post-traitement.

4 Lissage des Propri t s de la solution l ments Contrainte liss Impl mentation et r Application au triangle 3 n Estimateur d Rappel sur l erreur en d Estimateur Estimateur Maillage adaptatif84X l ment fini de plaque Mod le de Mod le g om Hypoth se cin criture de la relation d formations-d Relation de comportement entre les d formations et les nergie de d Hypoth ses sur les d formations l ment fini de type Espace discr tis Op rateur gradient discr tis Matrice de rigidit Forces ext rieures g n ralis Assemblage de plaques dans l espace93XI l ments finis de barre et poutre Mod le de Mod le g om Hypoth ses cin criture de la relation d formations-d Relation de nergie de d Hypoth ses sur les d formations l ment fini de traction-compression.

5 L ment Espace discr tis Op rateur gradient discr tis Matrice de rigidit Calcul de treillis de l ment fini de flexion de type Espace discr tis Op rateur gradient discr tis Matrice de rigidit 104 XII D composition de domaine M thode de Schur Strat gie de r solution G n ralisation plusieurs Calcul du compl ment de M thode de Schur Discr Couplage de maillages incompatibles112 XIII Initiation la programmation Langage de Le langage Les bases du langage Python et son Les conditions et boucles en Les fonctions en Le Calcul matriciel en Le langage Les bases du langage Fortran et son Les conditions et boucles en Les fonctions en Le Calcul matriciel en Utilisation de routines Fortran dans un programme enPython126vXIV Code SILEX Pr C ur crit en Fortran de SILEX pour le t tra dre 4 n Matrice de rigidit l Matrice de rigidit Programme principal en Gmsh.

6 Un logiciel libre de maillage et de Un exemple de Calcul men avec G om trie et conditions aux Analyse des r Conclusions de l tude145I d aide au dimensionnementLe but du dimensionnement des structures est de d terminer les formes, dimensions, mat riauxafin de satisfaire la fonction demand peut distinguer deux grands types de chargement sur une structure :1. chargement en fonctionnement normal,2. chargement en situation extr les situations extr mes, l tude est souvent dynamique en non-lin aire. Les crit res dedimensionnement sont souvent li s la s curit , par exemple : les passagers d un v hicule automobile sont-ils bien prot g s en cas de choc ? suite un s isme et en fonction de son intensit , combien detemps un barrage va t-il tenir ?

7 Concernant les chargements en fonctionnement normal ( tude lin aire le plus souvent), onpeut r pertorier les cas suivants : Statique : Les contraintes sont-elles dans le domaine lastique ? Les d placements sont-ils acceptables? Y-a-t-il un risque de flambage? Dynamique, analyse modale : Les fr quences propres sont-elles proches des fr quencesd excitation ? Les formes des modes sont-elles acceptables par rapport l utilisation ?2 IntroductionFigure Probl me r el : dimensionnement des pieds d une table. Dynamique, analyse fr quentielle : Comment la structure r pond une sollicitation harmonique? Que valent les amortissements? Quelle est la dur e de vie de la structure en fatigue ?

8 Dynamique, transitoire, domaine temporel : Comment la structure r pond un choc ?La m thode des l ments finis peut tre utilis e dans tous cescas comme aide au r el au mod le math matique m me r elOn se place dans le cadre d un probl me de statique, lastique et lin aire. Le probl me r el faitintervenir (Fig. ) : Une structure, comprenant des incertitudes sur sa g om trie et son mat riau ; Des liaisons avec l ext rieur, souvent assez mal ma tris es ; Des efforts appliqu s, parfois assez de la phase de conception, la solution de ce probl me n est pas accessible. Une fois la struc-ture fabriqu e et plac e dans son environnement, la solution est partiellement accessible par desmesures (jauges de d formation, photo lasticit.)

9 Le math matique m caniqueAfin de trouver une solution approch e math matique du probl me r el, on utilise un mod lemath matique du probl me r el. Les mod les g n ralement utilis s en m canique sont : le mod le de poutre, le mod le de plaque, le mod le de coque, Espace vectoriel associ au mod le math matique m canique3 a) poutreb) coquec) tridimensionnel1 variable2 variables3 variablesFigure Trois mod les du pied de table. le mod le plan en contraintes planes, le mod le plan en d formations planes, le mod le axisym trique, le mod le l exemple pr c dent d un pied de table, on peut par exemple choisir : Le mod le de poutre (Fig. a) : hypoth se cin matique de poutre 1 variable le long de l axe de la poutre d crit le probl me encastrement de type poutre torseurs d efforts quivalents Le mod le de coque (Fig.

10 B) : hypoth se cin matique de coque 2 variables sur la surface moyenne de la coque d crivent le probl me encastrement de type coque torseurs d efforts quivalents distribu s Le mod le tri-dimensionnel (Fig. c) : encastrement tri-dimensionnel 3 variables dans les 3 directions de l espace d crivent le probl me forces surfaciques distribu esPour les trois mod les propos s, l encastrement est mod lis de fa on parfaite alors que laliaison r elle est r alis e par une pi ce interm diaire souple. Ces mod les ne permettent pas dedimensionner cette pi ce interm diaire. C est au concepteur de choisir le mod le le plus adapt par rapport aux crit res de dimensionnement qu il pense tre les plus vectoriel associ au mod le math matique m des champs de d placementsQuelque-soit le mod le math matique m canique choisi, on cherche un champ de d placement ud fini sur le domaine id alis.