1Einf¨uhrung - Verallgemeinerte Technische …

1 Wenn ein Wissen reif ist, Wissenschaft zu werden, so mu notwendig eine Krise entstehen; denn es wird die Differenzoffenbar zwischen denen, die das einzelne trennen undgetrennt darstellen und solchen, die das Allgemeine imAuge haben und gern das besondere an- und einf ugenm ochten. Wie nun aber die wissenschaftliche, ideelle,umgreifendere Behandlung sich mehr und mehr Freunde,G onner und Mitarbeiter wirbt, so bleibt auf der h oherenStufe jene Trennung zwar nicht so entschieden, aber dochgenugsam merklich. J. W. v. Goethe1 Einf Historische EntwicklungDie Entwicklung der Technischen Biegetheorie beginnt erst im 18.

2 Verwendet zun achst nur die sinnlich erfahrbaren physikalischen Gr o en zurBeschreibung des Biegevorganges. So konnte Euler [1] allein mit den Lasten,Hebelarmen und Kr ummungen unter Verwendung eines pauschalen Elastizi-t atsgesetzes f ur die Beziehung zwischen Biegemoment und Kr ummung seinekomplizierten, statisch und geometrisch nichtlinearen elastischen Kurven beibeliebig gro er Verformung beschreiben. Eine einigerma en zutreffende Kennt-nis der Spannungsverteilung im Querschnitt gab es nicht, und daher war dieAufspaltung der Biegesteifigkeit in einen Material und Querschnittsformanteilebensowenig m oglich wie eine Trennung zwischen Biegemoment und Nor-malkraft.

3 Die Schnittgr o en wurden nur aus der Lastwirkung, also au erlich,und nicht auch als Spannungsresultanten erste zutreffende Darstellung einer stetigen Spannungsverteilung uber dieQuerschnittsh ohe und die Trennung von Normalkraft und Biegemoment auchim Spannungsbild, die erste Orthogonalisierung, verdanken wir Coulomb[2]. Es brauchte aber mehrere Jahrzehnte, bis seine 1776 ver offentlichtenErkenntnisse in der Fachwelt angenommen wurden. Wer sich ein Bild vonden Schwierigkeiten der Anfangsphase machen will, in der noch fast alle unsvertrauten Begriffe fehlten, der findet in [3] eine interessante Zusammenstellungund der zweiten H alfte des 19.

4 Jahrhunderts wurde die Theorie der Biegungmit den Begriffen der Hauptachsen und der Tr agheitsellipse vollendet. Die Zeit21 Einf uhrungdaf ur war offensichtlich uberreif, denn eine ganze Reihe von Wissenschaftlernhat fast gleichzeitig Beitr age hierzu geliefert, so da das Verdienst derzweiten Orthogonalisierung schwer einem einzigen Namen zuzuordnen ist. Diemathematischen Beziehungen fanden in der grafischen Darstellung von Landund Mohr [4] als Tr agheitskreis ihre konzentrierteste angig davon entwickelte St. Venant seine nach ihm benannte Torsions-theorie, die den zur 1.

5 Ableitung der Verdrehung geh orenden Spannungsanteilerfa te. Analogien aus der Str omungs und Membrantheorie (Stromlinien undSeifenhautgleichnis) unterst utzten die Anschaulichkeit. Erst 1909 ist C. v. Bach[5] durch die Ergebnisse von Biegeversuchen an U Profilen auf Beziehungengesto en, die zwischen dem Biege- und Torsionsvorgang bestehen m ussen. Vorallem C. Weber ist neben A. Eggenschwyler und R. Maillart die theoretischeDurchdringung dieser Beziehungen und die Bedeutung des Schubmittelpunktesals Drillruhepunkt bei reiner Torsion und als Querkraftmittelpunkt bei reinerBiegung zu verdanken.

6 Damit war auch die dritte Orthogonalisierung Bestrebungen waren aber st arker darauf gerichtet, die einzelnen Vorg an-ge zu trennen, als gemeinsame Eigenschaften aufzudecken und in einem Systemzu ordnen. Letzteres begann Bornscheuer in seiner Systematischen Darstellungdes Biege und Verdrehvorgangs [6]. Er f uhrte einheitliche BezeichnungenFf ur Fl achenintegrale ein und kennzeichnete sie mit den Indizes des entstehen Fl achenintegrale nullter (F), erster (Fy,FzundFw) und zweiterOrdnung (Fyy,Fzz,Fww,Fyz,FywundFzw). Die Dimensionsunterschiedezwischen den entsprechenden Widerst anden der Biegung und der Verdrehungbleiben erhalten.

7 Die Differentialgleichung zur Beschreibung der Beziehungzwischen Verformung und Belastung ist im Falle der L angung von 2. Ordnung,in den ubrigen Vorg angen von 4. Gebiet der Fl achentragwerke entstand ebenfalls eine ganz unabh angigeTheorie f ur prismatische Faltwerke. Die ebenen Teile des Querschnitts werdenals Balken behandelt, die an den Kanten Ubergangsbedingungen erf ullenm ussen. Die erste Stufe, die Gelenkfaltwerkstheorie, fordert die Gleichheitder Totalverschiebung f ur die angrenzenden Scheiben an jedem den Kantenschubfl ussen als Unbekannten kann diese Bedingung erf ulltwerden.

8 Die Entwicklung der Last in Reihen ist nicht notwendig, da sich derQuerkraftverlauf aus einer Kantenlast affin in die anderen Scheiben ubertr Stufe wurde 1930 von Ehlers [8] und Craemer [9] vorgestellt. DerGeltungsbereich ist sehr klein und beschr ankt sich auf mittellange d nahmen Gr uning [10] und Gruber [11] eine Erweiterung vor, die mitHilfe der Kantenbiegemomente auch die gegenseitigen Tangentenverdrehun-gen an den Kanten zu Null machten. Wegen der nichtaffinen Wirkung derSchubfl usse und Querbiegemomente war aber nun eine Reihenentwicklung derLasten n otig.

9 Das schr ankte die Anwendungsm oglichkeiten auf andere Historische Entwicklung3ein. Plattendrill und l angsbiegesteifigkeit sowie die Membranschubverzer-rungen und umfangsdehnungen blieben unber ucksichtigt. Die klassische Falt-werkstheorie fand eine moderne Fassung in der Finite Stri pMethod [12]. Hierin kann auch die Drillsteifigkeit und die L angsbiegesteifigkeitber ucksichtigt werden. Auch Theorie II. Ordnung ist m oglich. In allen dreiStufen tritt aber die Balkenwirkung des Gesamtquerschnitts nicht in [13] suchte den Zugang f ur offene prismatische Schalen von derBalkenl osung her.

10 Das Ungleichgewicht zwischen dem Schubflu des Balkensund der Belastung wird als Zusatzlast auf den als Bogen behandelten Quer-schnitt gebracht und so werden die Querbiegemomente und die Profilverfor-mung iterativ gefunden. Das Verfahren eignet sich f ur die Schalenbereiche, indenen die Profilverformung sich in L angsrichtung nicht wesentlich andert, alsonicht f ur die Auflagerbereiche und konzentrierte einer Vielzahl von Arbeiten wird die Profilverformung von Kastentr agernals eine weitere Verformungsm oglichkeit untersucht. Eine umfangreiche Schrift-tumsauswertung hierzu findet sich in [16].