Etude du pendule simple - Site web Ahmed LESFARI

1 Etude du pendule simple A. LESFARI E. mail : La r solution de l' quation di rentielle du mouvement du pendule simple n'est tudi e ordinairement que dans le cas de petites oscillations car la r solu- tion dans le cas g n ral n'est pas ais e. Nous allons voir que dans le cas g n ral cette quation est r soluble sous forme explicite au moyen d'int grales ellip- tiques, donc sa solution s'obtient l'aide de fonctions elliptiques. Ces derni res sont des fonctions m romorphes doublement p riodiques (pour de plus amples informations sur les fonctions et int grales elliptiques, on pourra consulter avec pro t notre article [4] ou l'un des ouvrages propos s en bibliographie).

2 Le pendule simple est constitu par un point mat riel suspendu l'extr - mit d'un l (ou une tige th oriquement sans masse) astreint se mouvoir sans frottement sur un cercle vertical. On d signe par l la longueur du l ( , le rayon du cercle), g l'acc l ration de la pesanteur et x l'angle instantan du l avec la verticale. L' quation du mouvement est d2 x g + sin x = 0. (1). dt2 l 1. A. LESFARI 2. Posons dx = , dt l' quation (1) s' crit g d + sin xdx = 0. l En int grant, on obtient 2 g = cos x + C, 2 l o C est une constante. Lorsque t = 0, x = x0 (angle initial), alors = 0 (la vitesse est nulle), d'o . g C = cos x0.

3 L Par cons quent 2. l dx l 2. = , 2g dt 2g = cos x cos x0 . (2). Nous allons tudier plusieurs cas : a) Consid rons le cas d'un mouvement oscillatoire, , le cas o la masse passe de x = x0 (le plus grand angle atteint par le pendule ; il y correspond une vitesse = 0) x = 0 (vitesse maximale). Comme x cos x = 1 2 sin2 , 2. alors l' quation (2) devient 2. l dx x0 x = sin2 sin2 . (3). 4g dt 2 2. Posons x x0. sin = sin sin , 2 2. d'o . 1 x x0. cos dx = sin cos d , 2 2 2. r 1 2 x x0. q 1 sin dx = sin 1 sin2 d , 2 2 2. r 1 x0 x0. q 1 sin2 sin2 dx = sin 1 sin2 d , 2 2 2. et donc p 2 sin x20 1 sin2 . dx = q d . 1 sin2 x20 sin2.

4 A. LESFARI 3. Par substitution dans (3), on obtient 2. d g 1 k 2 sin2 , . =. dt l x x o k = sin 0 est le module et 0 l'angle modulaire. Notons que pour x = 0. 2 2. on a = 0 et d s lors s Z. l d . t= p . g 0 1 k 2 sin2 . D'apr s la th orie des fonctions et int grales elliptiques, on a donc r g = am t, l r r g g sin = sin am t = sn t, l l r r r g g g o am t est l'amplitude de t et sn t est la fonction elliptique de l l l Jacobi (pour les d nitions et propri t s concernant ces fonctions, voir par exemple [4]). Par cons quent r x x0 g sin = sin sn t. 2 2 l b)Consid rons le cas d'un mouvement circulaire. On crit l' quation (2).

5 Sous la forme 2. l dx x = 1 2 sin2 cos x0 , 2g dt 2. 2 x . 2. = (1 cos x0 ) 1 k sin , 2. o . 2. k2 = , 1 cos x0. avec 0 < k < 1. En tenant compte de la condition initiale x(0) = 0, on obtient s Z . 2l d x dt = p , = . g(1 cos x0 ) 0 1 k 2 sin2 2. Donc r g(1 cos x0 ). = am t, 2l A. LESFARI 4. et r g(1 cos x0 ). x = 2am t. 2l Consid rons en n le cas d'un mouvement asymptotique. C'est le cas o . c). x0 = et l' quation (2) s' crit 2. l dx x = cos x + 1 = 2 cos2 . 2g dt 2. D'o s Z s x 1 l dx l x . t= = ln tan + , 2 g 0 cos x2 g 4. et g s t x = 4 arctan e l . On v ri e que x quand t . Remarque 1 Pour des petites oscillations, on peut approcher sin x par x et l' quation (1) se ram ne une quation lin aire, d2 x g + x = 0, dt2 l dont la solution g n rale est imm diate : r s r g l g x(t) = C1 cos t + C2 sin t, l g l o.

6 Dx C1 = x(0), C2 = (0). dt Pour des petites oscillations la p riode T du pendule (le temps n cessit pour une oscillation compl te ; un aller-retour) est s l T = 2 . g Par contre, dans le cas des oscillations qui ne sont pas n cessairement petites, la p riode vaut s Z . l 2 dx T =4 p , g 0 1 k 2 sin2 x x0. avec k = sin . 2. A. LESFARI 5. R f rences [1] Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, AMS Trans- lations of mathematical monographs, 79 (1990). [2] Armitage and Eberlein, Elliptic Functions, London Mathema- tical Society Student Texts vol. 67, Cambridge University Press 2006. [3] Lawden, Elliptic Functions and Applications, Applied Mathematical Sciences, Vol.

7 80, Springer-Verlag, 1989. [4] A. LESFARI , Fonctions et Int grales elliptiques, Surv. Math. Appl., 3 (2008), 27-65. [5] V. Prasolov and Y. Sobolovyev, Elliptic Functions and Elliptic Integrals, AMS Translations of mathematical monographs, 170 (1997).