Fórmula Luderiana Racional para Extração de Raízes …

1 F rmula Luderiana Racional para Extra o de Ra zes C bicas Assim como existe a f rmula de Bhaskara para resolver a equa o do 2o grau, existe a f rmula de Tartaglia para resolver a equa o de 3o grau (equa o c bica). oportuno dizer que a f rmula de Bhaskara p ra na raiz quadrada, ou seja, ela n o resolve a raiz quadrada, isto , depende de um algoritmo ou da calculadora para extrair a raiz quadrada. Analogamente, a f rmula de Tartaglia tamb m n o resolve a raiz c bica. Ent o o leitor pode perguntar: e a Segunda F rmula de Moivre ? Bem, o mesmo acontece com esta f rmula. Esta f rmula, utilizando-se de trigonometria, permite chegarmos nas raizes complexas mas, ainda assim, depende da extra o da raiz n- sima do m dulo do complexo.

2 Portanto, embora existam alguns algoritmos e m todos num ricos, n o existem f rmulas para extrair a raiz n- sima de um n mero. Isto , n o existia. Heis a F rmula Luderiana Racional para Extra o de Raiz C bica: 29z 3 + 261z 2 + 255z + 22.. 3. c k. 7z 3 + 165z 2 +324z +71. Onde, . 3. 3. c = k , k C . Observe que os valores de c, k, z s o conhecidos. c o radicando, ou seja, o n mero para o qual desejamos saber o valor da raiz c bica;. k a base do cubo perfeito mais pr ximo de c ;.. 3 3. D igualdade 3. c= k .z , tem-se: c = k c Logo, z=. k3. O valor de z deve ser o mais pr ximo poss vel de 1. k n o precisa ser, obrigatoriamente, um inteiro.

3 Esta vers o da f rmula Luderiana Racional possui desempenho semelhante disponibilizada na Wikip dia, no t pico Raiz C bica e, devido a sua simplicidade, permite-nos o c lculo das raizes c bicas manualmente ou, se preferir, utilizando uma calculadora comum. Com o intuito de fazer menos c lculos, podemos reescrever a f rmula, vide mais abaixo. Com a F rmula Luderiana Racional , sem necessitar da segunda f rmula de Moivre, poderemos calcular as ra zes do com- plexo c'. Os passos s o os seguintes: . 3. Seja calcularmos c 1o) Deve-se conhecer o valor de k . c 2o) Deve-se calcular z=. k3. 88. 3o) Calcula-se a primeira raiz.

4 3 ((29z + 261)z + 255)z + 22. c k. (( 7z + 165) z + 324)z + 71. 4o) Calcula-se a segunda raiz .. ! . 3 ((29z + 261)z + 255)z + 22 1 3 .i c k.. +. (( 7z + 165) z + 324)z + 71 2 2. 5o) Calcula-se a terceira raiz .. ! . 3 ((29z + 261)z + 255)z + 22 1 3 .i c k.. (( 7z + 165) z + 324)z + 71 2 2. Exemplo: 3.. Calcular 61 (utilizando a nova f rmula).. 3. c c = 61. 27<61<64. 3 <61<4 . k 3 = 43 k = 4.. 3 c 61. 3. c = k c = k z = 3 z = z = k 64. Aplica-se o valor de z na f rmula Luderiana , abaixo. 29z 3 + 261z 2 + 255z + 22.. 3. c k. 7z 3 + 165z 2 +324z +71.. 29 ( )3 + 261 ( )2 + 255 ( ) + 22.. 3. 61 4. 7 ( )3 +165 ( )2 + 324 ( )z +71.

5 3. 61 4 . 3. 61 x1 = Multiplicando a raiz encontrada pelas ra zes complexas da unidade, teremos as outras duas ra zes: x2 = + x3 = 89. Estimando o valor de "k" para Reais Separe os digitos do radicando em grupos de 3 digitos, do final para o in cio. Encontre a raiz c bica aproximada, apenas para o 1o grupo. Para cada um dos demais grupos, adotar zero. No exemplo 3 podemos considerar k = 300.. Onde, O "3" substitui o 1o grupo porque a base do cubo perfeito mais pr ximo de "33", ou seja, 3^3=27. Um "0" para substituir o 2o grupo que, no caso, "143". Outro "0" para substituir o 3o grupo que, no caso, "428". Normalmente, esta estimativa retorna a raiz com cerca de 3 casas decimais de precis o.

6 Se isto n o for suficiente, precisaremos recalcular a f rmula considerando agora que o valor de k igual ao resultado deste primeiro c lculo. Finalmente, ter a raiz com cerca de 12 casas decimais de precis o. A F rmula Luderiana Racional para Extra o de Raiz C bica, apresentada neste documento, de autoria de Ludenir Santos de Rio Grande, RS. Professor Walter Tadeu Nogueira da Silveira, obrigado por permitir a publica o deste documento no seu site, na internet. 90.