Corrigé du sujet de Mathématiques et propositions …

1 Corrig s AIX-MARSEILLE, CORSE, MONTPELLIER, NICE, LA MARTINIQUE .. 148 AMIENS .. 158 BESAN ON .. 168 BORDEAUX, CAEN, CLERMONT, NANTES, ORL ANS-TOURS, POITIERS, 177 CRETEIL, PARIS, 189 DIJON .. 195 GRENOBLE, LYON .. 208 GUADELOUPE-GUYANE .. 224 LILLE .. 241 LIMOGES .. 251 NANCY-METZ, REIMS, STRASBOURG .. 264 R UNION .. 273 ROUEN 1 .. 282 ROUEN 2 .. 290 TOULOUSE.. 298 INDEX DE MOTS CL S : .. 308 Acad mies d'Aix-Marseille, Corse, Montpellier, Nice, La Martinique - mai 2001 ( sujet page 10) Annales 2001 COPIRELEM Page 148 AIX -MARSEILLE, CORSE, MONTPELLIER, NICE, La Martinique PREMIER VOLET (12 POINTS) PREMIERE EPREUVE (8 POINTS) MAITRISE DE CONNAISSANCES MATHEMATIQUES. EXERCICE 1 (1,5 POINTS) a) Pour d terminer si un prix P est une r ponse possible au probl me pos , on calcule 100 et on compare avec P.

2 Si 0 100 < P, alors la r ponse P est possible ; c est le cas pour les r ponses : 11,50F ; 12F et 12,50F ; en effet : 100 = 8 x 12,50 100 8 x 11,50 = 8 100 8 x 12 = 4 Si 100 P, alors P n est pas une solution du probl me, car il est possible d acheter un neuvi me cahier ; c est le cas pour P= 11F, car 100 8 x 11 = 12. Si 100 < 0, alors P n est pas une solution du probl me, car la somme de 100F est insuffisante pour l achat de 8 cahiers ; c est le cas pour P = 13F, car 8 x 13 = 104 En r sum , trois r ponses possibles : 11,50F ; 12F et 12,50F et deux r ponses impossibles : 11F et 13F. Remarque : il aurait t possible de r soudre le syst me d in quations : 100 < et de retenir les valeurs ad hoc parmi 11,50F ; 12F, 12,50F, 11F et 13F. b) Soit P le prix d un cahier, on doit avoir : 100 = + r avec 0 r < P d o 100 < soit 5,12P9100 Donc les prix P possibles pour un cahier (si on consid re que la pr cision d un prix se limite 2 chiffres apr s la virgule) sont de la forme : 100N avec N entier v rifiant 1112 N 1250 Acad mies d'Aix-Marseille, Corse, Montpellier, Nice, La Martinique - mai 2001 ( sujet page 10) Annales 2001 COPIRELEM Page 149 Autres formulations possibles pour la r ponse : Les prix P possibles sont 11,15F ; 11,20F ; 11,25F.

3 ; 12,45F ; 12,50F (si on consid re qu actuellement tous les prix sont arrondis 5 centimes pr s) Les prix P possibles sont les d cimaux P tels que : 5,12P9100 et entier EXERCICE 2 (4,5 POINTS) 1 ) On peut appliquer le th or me de Pythagore au triangle ABD rectangle en A, d o : AB + AD = BD soit BD = 3 + 4 = 25 d o : BD = 5 cm On peut alors exprimer l aire du triangle ABD de deux fa ons : Aire (ABD) = 2 ADAB = 6 cm Aire (ABD) = 2h52 BDh cm avec h longueur de la hauteur relative l hypot nuse BD d o : h = 2,4 cm Remarque : On peut retrouver les formules de la mani re suivante : L aire de ABD est la moiti de celle du rectangle ABED, donc : Aire (ABD) = 2 ADAB L aire de ABD est la moiti de celle du rectangle DBYX, donc : Aire (ABD) = 2 BDAH 2 )a) a) BDIJ est un trap ze En effet, dans le plan (ABCD), la droite (IJ) passe par les milieux I et J des c t s [AD] et [AB] du triangle ABD ; on a donc, en utilisant le th or me de la droite des milieux : (IJ) // (BD) et 2 BDIJ.

4 On a calcul la longueur BD au 1 ), d o : (Le triangle ABD est rectangle en A car ABCD qui est une face du parall l pip de rectangle est un rectangle.) D A B H h Acad mies d'Aix-Marseille, Corse, Montpellier, Nice, La Martinique - mai 2001 ( sujet page 10) Annales 2001 COPIRELEM Page 150 BD = 5 cm IJ = 2,5 cm De plus : ID = 2AD = 1,5 cm JB = 2AB = 2 cm DBB D est un rectangle En effet : la droite (BB ) (ar te du parall l pip de rectangle) est perpendiculaire au plan (ABCD) (face du parall l pip de rectangle) ; elle est donc perpendiculaire toutes les droites de ce plan qui passent par le point B ; en particulier, on a : (BB ) (BD) De la m me mani re on peut tablir que : (BB ) (B D ) ; (DD ) (BD) et (DD ) (B D ) Les angles du quadrilat re DBB D tant droits, c est donc un rectangle. Variante : On peut montrer que DBB D est un parall logramme ayant un angle droit ; pour cela, on peut s appuyer sur le fait que dans le parall l pip de rectangle ABCDD C B A , les ar tes [BB ] et [DD ] sont parall les et de m me longueur.

5 Les dimensions de ce rectangle sont : BD =B D = 5 (calcul pr c demment) et BB = DD =AA = 6 par hypoth se. b) Sur la page suivante, on a repr sent en vraie grandeur deux des patrons du compartiment qu il est possible de construire. Nous n avons pas tenu compte du fait que la boite est sans couvercle, car l nonc ne pr cise pas quelle face du parall l pip de rectangle fait fonction de couvercle c) On regarde le compartiment comme un prisme droit de base le trap ze BDIJ et de hauteur BB . Soit V le volume de ce compartiment : V = Aire (BDJI) x BB Calcul de l aire du trap ze BDJI : On peut calculer cette aire par diff rence des aires des deux triangles rectangles ABD et AIJ ; le triangle AIJ tant une r duction l chelle 1/2 du triangle ABD, on a : Aire(AIJ) = 4 ABDAire soit Aire(BDIJ) = ABDAire43 On peut aussi utiliser la formule : 5,422,155,22hBDIJ Avec h hauteur du trap ze BDIJ ; 24,2h (la moiti de la hauteur relative l hypot nuse BD dans le triangle ABD, que l on peut calculer l aide du th or me de Thal s).

6 D o : V = 27 cm 3 Autre m thode : Le volume du compartiment est la diff rence entre le volume du prisme droit de base le triangle ABD et de hauteur BB et celui du prisme droit de base le triangle AIJ et de hauteur JJ . Acad mies d'Aix-Marseille, Corse, Montpellier, Nice, La Martinique - mai 2001 ( sujet page 10) Annales 2001 COPIRELEM Page 151 Deux exemples de patrons du compartiment IJBDD B J I Acad mies d'Aix-Marseille, Corse, Montpellier, Nice, La Martinique - mai 2001 ( sujet page 10) Annales 2001 COPIRELEM Page 152 EXERCICE 3 (2 points) 1 ) PROPOSITION A Si l' criture d'un nombre entier se termine par 2 alors l' criture du carr de ce nombre se termine par 4. Cette proposition est VRAIE ; en effet : SOLUTION 1 D apr s l algorithme classique de la multiplication, le chiffre des unit s du produit est le chiffre des unit s du produit des chiffres des unit s de chaque facteur.

7 2 X .. 2 ( .. ) 4 ( .. ) . ( .. ) . 4 SOLUTION 2 Tout nombre entier dont l criture se termine par 2 est de la forme 10n + 2, avec n entier naturel ; d o son carr : (10n + 2) = (10n) + 2 x 2 x 10n + 4 = 100n + 40n + 4 = 10 x (10n + 4n) + 4 On reconna t l criture d un nombre dont le chiffre des unit s est 4. PROPOSITION B Si l' criture d'un nombre entier se termine par 4 alors l' criture du carr de ce nombre se termine par 16. Cette proposition est FAUSSE. Un contre-exemple suffit pour le prouver : L criture de 14 = 196 ne se termine pas par 16. 2 ) SOLUTION 1 Le nombre n est strictement inf rieur 100 et la fonction carr est une fonction croissante sur l intervalle [0 ; 100], donc : n < 10000 En cons quence, son criture a quatre chiffres au plus. SOLUTION 2 15 a5 95 Les carr s sont rang s dans le m me ordre que les nombres de d part (croissance de la fonction carr sur l intervalle [15 ; 95]), Donc : 15 (a5) 95 soit : 225 (a5) 9025 L criture du carr de d un nombre de deux chiffres se terminant par 5 comporte donc au plus 4 chiffres.

8 SOLUTION 3 On pourrait aussi calculer les 9 carr s : 15 , 25 , .. , 95 et v rifier. G n ralis , ce calcul fournit aussi la r ponse la question suivante. On a : n = (10a + 5) = 100a + 100a + 25 = 100(a + a) + 25 Donc : l criture de n se termine par 25 et le nombre de centaines de n est a + a, c est dire a(a+1) Acad mies d'Aix-Marseille, Corse, Montpellier, Nice, La Martinique - mai 2001 ( sujet page 10) Annales 2001 COPIRELEM Page 153 DEUXIEME EPREUVE (4 POINTS) ANALYSE DE TRAVAUX D ELEVES 1 ) La principale comp tence math matique valu e dans cet exercice : Savoir r soudre un probl me de type soustractif. Selon la typologie de G. Vergnaud, il s agit d un probl me du champ additif : - de type transformation d tat , dans lequel l tat initial et l tat final sont connus ; on recherche la transformation, - ou de type partie-partie-tout dans lequel le tout et une partie est connue ; on recherche le compl ment.

9 La seule technique op ratoire exigible la fin du cycle 2 est celle de l addition ; on n attend donc pas des l ves, lors de cette valuation au d but du CE2, qu ils r solvent ce probl me en utilisant la soustraction (proc dure experte de r solution). Cependant, pour les l ves qui auront utilis la soustraction pour r soudre ce probl me, on pourra aussi valuer leur capacit la calculer. 2 ) Le probl me peut tre mis en quation de plusieurs mani res diff rentes : Si x d signe le nombre de coureurs ayant abandonn , on peut crire : 108 x = 85 Le nombre coureurs au d part diminu des coureurs ayant abandonn est gal au nombre de coureurs l arriv e 85 + x =108 Le nombre de coureurs l arriv e ajout aux coureurs ayant abandonn est gal au nombre de coureurs coureurs au d part 108 85 = x Le nombre de coureurs au d part diminu des coureurs l arriv e est gal aux coureurs ayant abandonn Remarque : Si y d signe la transformation subie par le nombre des coureurs : 108 + y = 85 (dans ce cas, on recherche un nombre relatif).

10 3 ) Il ne faut pas perdre de vue qu un enseignant ne classe pas des proc dures pour le plaisir de classer mais pour r guler son travail dans la classe. Un trop grand nombre de classes ne peut tre efficace. On peut distinguer : - Les proc dures non apparentes de Melvin et de Nabila (le premier ne donne pas de r ponse, la deuxi me donne la r ponse exacte) ; - Les proc dures traduisant une mauvaise compr hension de la situation : Camille qui fait une mod lisation erron e de la situation. - Les proc dures (abouties ou non) qui traduisent une bonne compr hension de la situation. Celles-ci se r partissent en : - Mime de la situation avec recours des repr sentations (Driss et Siham) ou avec utilisation des nombres (le d comptage d Hild a) : on peut remarquer le caract re plus labor de la repr sentation utilis e par Siham ; les coureurs sont repr sent s par paquets de dix ; c est plus rapide et plus efficace pour d nombrer.