CHAPITRE 8. MOUVEMENT COMPOSE DU POINT

1 CHAPITRE 8. MOUVEMENT COMPOSE DU MOUVEMENT relatif, d entra nement et D -A) Le MOUVEMENT -B) Le MOUVEMENT -C) Le MOUVEMENT d entra Composition des Etude Expression Conseils pour le choix du tri dre Composition des acc l Etude analytique et Cas MOUVEMENT par rapport la Description du r f rentiel li la Acc l ration centrifuge ..- Acc l ration de -A) Chute d un -B) MOUVEMENT parall le la surface -C) Pendule de Foucault (Exp rience de 1851).

2 - -Version du 8 octobre 2020 (20h19) CHAPITRE 8. MOUVEMENT COMPOSE DU MOUVEMENT relatif, d entra nement et IntroductionLa pratique nous montre que les mouvements usuels sont loin d tre des mouvements simples rectilignes ou circulaires. Ils sont, dans la plupart des cas, la r sultante de plusieurs mouvementssimultan exemple, le MOUVEMENT (complexe !) d crit par un insecte gravissant le levier d un pendule,r sulte de la combinaison d un MOUVEMENT circulaire du pendule avec un MOUVEMENT rectiligne del insecte par rapport au levier du pendule.

3 Quant au MOUVEMENT de l extr mit d une pale d h liced avion, il peut galement s tudier partir du MOUVEMENT rectiligne de l avion, et du mouvementcirculaire de l h lice, par rapport l avion, mais suivant une autre combinaison que dans le , on peut envisager de d composer le MOUVEMENT d un POINT en deux mouvements plussimples et d tude plus facile, gr ce l introduction d un tri dre de r f rence suppl mentaire, mobile, quise d place de fa on d termin e par rapport au tri dre initial, consid r conventionnellement comme fixe(la possibilit de d finir un tri dre absolument fixe devra tre approfondie dans le cadre de ladynamique du POINT ).

4 D finitionsConsid rons un tri dre fixe Oxyz, dans lequel se trouve un observateur P (fig. ).Soit un POINT M anim d un MOUVEMENT complexe (trajectoire C) que P d sire tudier. Prenonsun tri dre mobile O1x1y1z1, anim d un MOUVEMENT quelconque mais que nous choisirons de mani re y d terminer plus facilement le MOUVEMENT C1 de M que s il fallait le d terminer directement dans dans O1x1y1z1 un observateur - MOUVEMENT compos du POINT . J-P. Bauche - R. ItterbeekM canique - MOUVEMENT compos du POINT - -Application Soit un POINT li une circonf rencequi roule sans glisser sur un sol horizontal.

5 Lesyst me d axes fixes Oxy est li au sol. Le tri dremobile O1x1y1 est li au centre de la circonf rence etreste parall le Oxy. Le MOUVEMENT absolu est lacyclo de d crite par M dans Oxy. Le mouvementrelatif est un MOUVEMENT circulaire de M centr surO1 .Le MOUVEMENT d entra nement est le MOUVEMENT deM consid r immobile dans O1x1y1; il d crirait alorsune droite parall le l axe ) Le MOUVEMENT absoluC est le MOUVEMENT de M par rapport Oxyz. C est le MOUVEMENT C que voit l observateur P, l exclusion de tout autre MOUVEMENT .

6 Pour utiliser une image, supposons que O1x1y1z1 soit devenu transparent : P ne voit que le MOUVEMENT absolu de ) Le MOUVEMENT relatifC est le MOUVEMENT de M par rapport au tri dre mobile (ou relatif) O1x1y1z1. C est le mouvementC1 que voit l observateur P1 l exclusion de tout autre MOUVEMENT (celui de O1x1y1z1 par exemple). Toutse passe comme si P1 en observant le MOUVEMENT ignore l existence de P et ne se rend pas compte qu ilest lui-m me en ) Le MOUVEMENT d entra nementC est le MOUVEMENT , par rapport au tri dre absolu Oxyz, du POINT M, immobilis dans le tri dremobile O1x1y1z1, et participant par cons quent au MOUVEMENT du tri dre mobile.

7 Supposons pour cela quele POINT M soit li rigidement au tri dre O1x1y1z1 (il devient en quelque sorte un POINT du solide O1x1y1z1 ). Le POINT M est d s lors entra n par O1x1y1z1 dans son MOUVEMENT . (C est en quelque sorteun MOUVEMENT absolu fictif puisque par la pens e nous immobilisons le POINT dans le tri dre mobile etnous le faisons participer au MOUVEMENT de O1x1y1z1).Nous aurons donc AU MOINS d finir les notions de vitesse absolue (vitesse de M dans son vMamouvement absolu), vitesse relative (vitesse de M dans son MOUVEMENT relatif), vitesse vMrd entra nement (vitesse du POINT dans son MOUVEMENT d entra nement), ainsi que les acc l rations vMeabsolue , relative , d entra nement.

8 AMa aMr aMefig. - Application J-P. Bauche - R. ItterbeekM canique - MOUVEMENT compos du POINT - Composition des Etude analytiqueSoit M, POINT mobile dans O1x1y1z1 tri dre lui-m me en MOUVEMENT par rapport Oxyz (fig. )Par d finition, on a :() rOO OMOO xyzxyz=+=+ + + 1111 1 1111111 () vvitesseabsoluerOO xyzvitesse d entrainementxyzvitesse relativeMaxyzxyz==+++ +++ ' 11 1 1 1 1 1111 111111 111 Vitesse d entra nement :correspond la vitesse du POINT , immobile par rapport ausyst me d axe mobile O1x1y1z1, par rapport au rep re fixe OxyzVitesse relative.

9 Correspondant la vitesse telle qu elle serait observ e sur C1par un spectateur fix dans Expression vectorielleDans l criture de la vitesse d entra nement interviennent les vecteurs , et traduisant 11x 11y 11zle fait que O1 x1y1z1 est un tri dre mobile dont l orientation change (syst me d axes tournant).Par analogies avec les quations q. et q. , on recherche un vecteur tel que :() P PxPyPz,,fig. - Composition des vitesses. J-P. Bauche - R. ItterbeekM canique - MOUVEMENT compos du POINT - - 111111111111xPxyPyzPz= = = Concentrons-nous sur la premi re quation : 11111111xPxPzyPyz= = Cette expression a du sens puisque est perpendiculaire , donc est une combinaison 11x 11x 11xlin aire de et.

10 On voit que est la composante de selon , ce qui s crit : 11y 11z Pz 11x 11y Pzxy= 1111De mani re analogue, on d finit : PxyzPyzx= = 11111111Le vecteur ainsi d fini s appelle Vecteur de Poisson . Il nous permet de simplifier l criture : P()()()()xyzxyzxyzOMxyz PxPyPzPxyzP1111111111111 11 1111111111111 ++= + + = ++= D s lors l criture de la vitesse absolue devient :() vv OMvvitesse d entrai nementxyzvvitesse relativeMaOPMexyzMr=+ +++ 11111111111 ' On peut galement d montrer que :Cette affirmation ne sera pas d montr e ici.