FONCTIONS D'UNE VARIABLE RÉELLE 1 - ginoux.univ-tln.fr

1 1 FONCTIONS D'UNE VARIABLE R ELLE 1 A. D finitions 1- Introduction Soient A et B deux parties de \. On dit que f est une fonction de A vers B si tout nombre r el x de A a pour image par f au plus un ( un ou z ro) nombre r el de B. f ainsi d finie est une fonction de la VARIABLE r elle x. 2- Ensemble de d finition L'ensemble de d finition fD de f, est la partie de A dont les l ments ont une image dans B. Le mot d fini signifie d termin . Le mot ind fini signifie infini. Rechercher l'ensemble de d finition D'UNE fonction c'est d terminer le domaine (resp. l'intervalle) l'int rieur duquel cette fonction n'admet que des valeurs finies. 3- Notation et repr sentation graphique La fonction f de A vers B est une application de A dans B qui x fait correspondre y tel que : (): fABxyfx =6 Soit (),,Oi jGG un ( un rep re orthonorm direct) du plan P.

2 2La repr sentation graphique de f consiste en l'ensemble des points M de coordonn es ()(),xfx fxD . Le point M d crit la courbe repr sentative ()C de f lorsque x d crit fD. 4- D termination pratique de l'ensemble de d finition Trois cas g n riques : Soient ()Px et ()Qx deux FONCTIONS 1er cas : fonction du type ()PfxQ= f est d finie pour tout 0Q 2 me cas : fonction du type ()fxQ= f est d finie pour tout 0Q 3 me cas : fonction du type ()PfxQ= f est d finie pour tout 0Q> : Ensemble et intervalle de d finition. La fonction ()1yfxx== admet pour ensemble de d finition *fD=\ Elle admet pour intervalle de d finition l'intervalle : ][][,00, + 3B. Continuit Une fonction ()yfx= est continue en un point 0x o elle est d finie si et seulement si elle admet en ce point une limite l finie On dit que f est continue en 0xssi 0, 0 > > tels que xI ()()00 xxfx fx < < C.

3 Limites 1- D finition Notation Soit f une fonction ()yfx= d finie sur un intervalle I contenant le point 0x. On dit que f admet pour limite en ce point 0x le nombre r el L ssi : 0, 0 > > tels que xI ()00 xxfx L < < < On note : ()0limxxfxL = 2- Th or mes Th1 : Limite D'UNE fraction rationnelle En , la limite D'UNE fraction rationnelle est gale au quotient de ses termes de plus haut degr . 4Th2 : Limite gauche, droite d'un point 0x: x x x + Limite gauche : ()()0000limlimxxxxfxfx < = Limite gauche : ()()0000limlimxxxxfxfx > =+ Formes ind termin es : ; 0 ; 00 ; Th3 : R gle de L'Hospital Guillaume de L'Hospital (1661-1704), marquis de Saint Mesme, est un l ve de Jean Bernoulli qui lui apprend le calcul diff rentiel.

4 C'est ainsi que L'Hospital est le premier crire un trait sur ce nouvel outil, le livre Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1696). C'est dans ce livre qu'apparait la c l bre r gle de L'Hospital, qui permet parfois de lever des formes ind termin es du type 0/0. En 1707, L'Hospital publie galement un trait sur les coniques (Trait analytique des sections coniques), qui sera pendant un si cle un classique du genre. La connaissance du calcul diff rentiel fait que L'Hospital est un de ceux qui r soud le probl me de la brachistochrone, ind pendamment de math maticiens prestigieux comme Newton ou Leibniz. Toutefois, ce m rite est ent ch par les d clarations, apr s la mort de son l ve, de Jean Bernoulli : la suite d'un arrangement financier, L'Hospital aurait publi sous son propre nom des r sultats dus Bernoulli. Lien hypertexte : 5R gle de L'Hospital : Soient f et g deux FONCTIONS continues et d rivables respectivement sur un intervalle [],ab et ][,ab.

5 Si pour tout ][0,xab , ()0'0gx et si ()()00lim0xxfxgx == Alors ()()()()00'limlim'xxxxfxfxgxgx = Si cette limite tend de nouveau vers 00 ou on r it re la r gle. D. Parit P riodicit Si ()()fxfx =alors la fonction f est paire et sa repr sentation graphique admet l'axe (y'y) comme axe de sym trie. Si ()()fxfx = alors la fonction f est impaire et sa repr sentation graphique admet le point O (0,0) comme centre de sym trie. Si ()()fxTfx+=alors la fonction f est p riodique de p riode T et sa repr sentation graphique se d duit par translation de vecteur TiG. 6E. D riv es 1- Taux de variation Le taux de variation D'UNE fonction f continue d finie sur un intervalle [],ab est gale : ()()fbfaTba = T repr sente le coefficient directeur ( la pente) de la droite (AB) Si 0T>, f est croissante ; 0T<, f est d croissante. 2- D rivabilit en un point 0x Soient f une fonction continue et d finie sur fD et 0fxD.

6 On dit que f est d rivable en 0xssi : ()()()0000lim'xxfx fxfxLxx == avec L finie Notation : ()()()00000limlim'xxxfx fxfdfdyfxxxxdx dx ==== Th or me : Toute fonction d rivable en un point est continue en ce point. (ATTENTION ! la r ciproque est FAUSSE !!!) Contre-exemple : la fonction ()fxx= est continue et d finie en 0x= mais n'y est absolument pas d rivable ()1'2fxx= 73- Interpr tation g om trique Soir (C) la repr sentation graphique de f dans un (),,Oi jGG. Si f est d rivable en 0x, (C) admet une tangente en ()()000,Mxfx, de coefficient directeur : ()0'fx . L' quation de cette tangent s' crit : ()()000'yfxfxxx = 4- Op rations sur les FONCTIONS d rivables D riv es de la somme, du produit, du quotient, de l'inverse et D'UNE fonction de fonction. Soient ()Ux et ()Vx deux FONCTIONS d rivables sur un intervalle I. Op rations sur les FONCTIONS d rivables (U + V)' U' + V' (k U)' k U' (U V)' U'V+V'U ()'nU 1'nnU U 'UV 2''UV VUV '1V 2'VV ()'U '2UU 8D riv e D'UNE fonction de fonction Soient f et g deux FONCTIONS d rivables sur un intervalle I, la fonction compos e f o g, not e galement ()fgx est aussi d rivable sur I.

7 ()()() ()'' 'fgxgxfgx = Exemple : ()()() () Cos ax ba Sin ax bSin ax ba Cos ax b+= ++=+ 5- D riv es d'ordre sup rieur Le lieu des points o la d riv e de la fonction f s'annule correspond au lieu des points o la fonction f pr sente des extrema, , points o la fonction est maximum (respectivement minimum). Le signe de la d riv e seconde de la fonction f valu e en un extremum local permet de statuer sur la concavit (respectivement la convexit ) de la courbe. En effet, si la fonction f admet en 0xun extremum local, , si ()0'0fx= et si ()0"0fx> , la courbe (C) repr sentative de f admet en 0xun minimum local, , elle est concave (creux). Si, au contraire ()0"0fx< , la courbe (C) repr sentative de f admet en 0xun maximum local, , elle est convexe (bosse). Si ()0'0fx= et si ()0"0fx= , la courbe (C) repr sentative de f admet en 0xun point d'inflexion horizontale.

8 9F. Fonction r ciproque (inverse) Bijection Si f est une fonction continue et strictement monotone (strictement croissante ou strictement d croissante) sur un intervalle [],ab alors la fonction r ciproque (inverse) de f not e1f appel e galement bijection de [],ab dans ()(),fafb a les propri t s suivantes : Elle est strictement monotone sur ()(),fafb et varie dans le m me sens que f Elle est continue sur ()(),fafb Les repr sentations graphiques de f et de1f sont sym triques par rapport la premi re bissectrice ( , la droite d' quation y=x). Exemple : Soit la fonction f d finie par : ()2:fxyfxx ==\\6 Il est ais de d montrer que cette fonction est continue et strictement croissante sur l'intervalle [[0,+ , , sur +\. Par cons quent, on peut d finir la fonction r ciproque de f ainsi : ()11:fyxfy y + + ==\\6 10 Application la d termination des racines D'UNE quation Peut-on r soudre par la m thode des radicaux (discriminant pour une quation du second degr ) n'importe quelle quation de degr n ?]]

9 La r ponse cette question fut donn e par l'un des plus grands math maticiens au monde : le fran ais variste Galois mort tragiquement en duel l' ge de 20 ans ! variste Galois (Bourg-la-Reine, 25 octobre 1811 - Paris, 31 mai 1832) tait un math maticien fran ais. Alors qu'il tait encore l ve au lyc e Louis-le-Grand, il d termina une condition n cessaire et suffisante pour qu'un polyn me soit r soluble par radicaux, et r solut ainsi un tr s vieux probl me. En d pit de ce don exceptionnel pour les math matiques et de l' tendue de ses connaissances, il choua deux reprises au concours d'entr e l' cole polytechnique. En 1829, il est finalement admis l' cole pr paratoire. Il mourut lors d'un duel l' ge de vingt ans. Il fut le premier utiliser le mot groupe comme un terme math matique pour d signer un groupe de permutations . Son travail sur la th orie des quations fut soumis l'Acad mie des Sciences et fut examin par Poisson qui ne le comprit pas.

10 Il fut nouveau pr sent sous une forme condens e, mais sans plus de succ s. L'importance et la port e de son travail ne furent pas reconnues pendant sa courte vie. Son travail posait les fondements de l'actuelle th orie de Galois, branche majeure de l'alg bre g n rale, ceux des suites pseudo-al atoires (PN) et de la correction des erreurs dans le codage des applications. Galois tait un r publicain convaincu et en 1831, au cours d'un banquet, il porta un toast, avec un couteau la main au-dessus de son verre, Louis-Philippe, ce qui lui valut dix mois de prison. Certains pensent que sa mort dans un duel a t organis e par la police secr te. Dans la nuit du 29 mai 1832, qui pr c da le duel qui l'opposait un officier pour d fendre l'honneur D'UNE femme, il pressentit que sa mort tait imminente, et veilla toute la nuit pour crire plusieurs lettres son ami r publicain Auguste Chevalier, et composa ce qui devint son testament math matique.