LE THÉORÈME DE L’INDICE D’ATIYAH–SINGER

1 LE TH OR ME DE L INDICED ATIYAH SINGERP eter JossenDavid KohlerCaroline LassueurMargherita GonzatoXavier AlexandreAnthony ArnoldMarcos CarballoMathieu GlardonIsma l HaddaouiOlivier IselyMichele KlausOlivier KneussLaurent LandryOliver ProsperiJuin 2005 Table des mati resTable des notationsivpartie 1. Introduction1 Chapitre 1. Description du projet de l Le choix du Un projet Bilan du projet8 Chapitre 2. Notes informelles et historiquessur le th or me de l Notes Notes historiques15 Chapitre 3. Organisation du travail et conventions principales19partie 2. Pr paratifs divers21 Chapitre 4. Th orie des cat Cat gories et Cat gories ab Formes Cat gories Limites et colimites37 Chapitre 5. Alg bres de Alg bres Alg bre de Groupes orthogonaux et groupes spin66 Chapitre 6. Espaces Polyn mes invariants71partie 3.

2 Topologie diff rentielle77 Chapitre 7. Groupes et alg bres de Th orie classique des groupes de Alg bres de Lie et lien avec les groupes de Lie102 Chapitre 8. Fibr s vectoriels111iiiTABLE DES MATI Fibr s Le th or me de Serre Swan142 Chapitre 9. K-th orie Le premier groupe de K th orie topologique,K(X) Le premier groupe de K th orie d une paire,K(X,Y) La K th orie ne s arr te pas l !199 Chapitre 10. Cohomologie de de La cohomologie de de Alg bre Le th or me de de Rham244 Chapitre 11. Classes caract Classes caract La cohomologie des vari t Le principe du scindage Connexions dans un fibr Connexions D finition des lasses caract Les classes de La classe d Euler et l isomorphisme de Calcul de quelques classes caract ristiques273partie 4. Analyse globale277 Chapitre 12.

3 Th or me de Vari t s et calcul diff Th or me de Transversalit 298 Chapitre 13. Analyse de Notions pr Transformation de Fourier Formule de Inversion de la transformation de Th or me de Plancherel318 Chapitre 14. Op rateurs de Prol gom Concepts li s aux op rateurs de Op rateurs de Vers le th or me d Atiyah J 15. Espaces de Les espaces de Sobolev Les espaces de Sobolev sur les vari t Les espaces de Sobolev sur les fibr s vectoriels423 TABLE DES MATI Annexe426 Chapitre 16. Op rateurs aux d riv es partielles (1) Pr Probl me fondamental du calcul des variations et r gularit 450 Chapitre 17. Op rateurs aux d riv es partielles (2) Pr Les espaces de Le probl me de Dirichlet474 Chapitre 18. Op rateurs pseudo-diff G n ralit s sur les Amplitudes : D finition et r sultats t Distributions et op rateurs de D finition et exemples d op rateurs pseudo diff Expansion asymptotique d un Op rateurs proprement support Transpos , adjoint et produit d op rateurs pseudo diff Op rateurs pseudo diff rentiels sur une vari t G n ralisation des fonctions valeurs Op rateurs hypo elliptiques et Prolongement L2d op rateurs d ordre L action sur les espaces de La propri t de Symboles avec partie Le symbole du point de vueK th orique568partie 5.

4 Synth se571 Chapitre 19. Le th or me de l Conventions et r sultats L indice Ennonc du th or me de l indice581 Bibliographie583 Index587ivTABLE DES MATI REST able des notationsNous utiliserons les notations suivantes tout au long du travail :0 Cat gorie vide0baLa fl che nulle deaversb1 Cat gorie un l ment1aFl che identit de a2 Cat gorie deux l ments3 Cat gorie trois l ments(X, . X)Espace norm |.|Module complexe/valeur absolue . XApplication norme sur l ensembleX<x,t>Prod. scalaire usuel dansCn p(V)ensemble des p-formes altern es sur V4nn- me simplexe standard uGradient deu (V)Alg bre exterieure deV Connexion Le diagramme commute =( 1,.., n) multi-indice avec i Npour touti=1,..,n| |longueur du multi-indice (X,E)= (E) l ensemble des sections continues sur le fibr (E,p,X) uLaplacien deu nle fibr trivial de rangn |X ouEX la r striction de X X fonction r gularisante p-simplexe singulier kLek me polyn me invariant sym trique mOp rateurs pseudo diff rentiels d ordrem x( )Caract re deRn (C)Mono de des classes d isomorphies des objets d une cat gorieC (X)Mono de des classes d isomorphies de fibr s vectoriels surX (X)Le complexe de deRham associ X (E)Le complexe de deRham associ au fibr E| |mesure (de Lebesgue) de l ensemble ouvert fortement inclus dans , c est- -dire compact et p-forme diff rentielle p(M)ensemble des p-formes diff rentiellesAbCat gorie des groupes ab liensAmplmAmplitudes d ordremAnLe groupe altern avecn!

5 2 l mentsTABLE DES NOTATIONSvB(X,Y)Espace des op rateurs lin aires et born s deXversYB(X)Alg bre des op rateurs lin aires et born s de l espaceXBXLa boule unit ferm e de l espace m triqueXCatCat gorie des cat gories concr teschj(E)j me caract re de Cherncj(E)j me classe de CherncokerConoyaucodimCodimensioncodCodo mainecolimColimiteC(X)La cat gorie desC fibr s surXC (X)Fonctions ind finiment d rivables surXC 0(X)Fonctions ind finiment d rivables surXqui tendent vers 0C 00(X)Fonctions ind finiment d rivables surX support compactC(E,F)les morphismes deEversFdans la cat gorieCCn(X)groupe ab lien libre de baseSn(X)CK(X)l anneau des fonctions continues valeur dansKdetD terminantDerm(M)ensemble des d rivations en mdimDimensiondomDomained(.,.)Application de distanceD(f)Domaine de d finition de l applicationfD (X)Distributions surX(dual deC 00(X))D Op rateur diff rentiel l mentaireDi f fCat gorie des vari t s diff rentiablesDnLe groupe dih dral avec 2n l mentsd Mesure normalis e surRndpd rivation ext rieure de p(M)D u -i me d riv e partielleE (X)Distributions support compact surX(dual deC (X))Ell(X)Op rateurs elliptiques surXEnsLa cat gorie des ensemblesFCorps tant soitC, soitRF(X,Y)Ensemble des op rateurs de Fredholm deXversYF(X)Ensemble des op rateurs de Fredholm deXdansXF(X)Groupe ab lien libre engendr par l ensembleX fTransform e de Fourier defFqLe corps fini q l mentsf ( )laK-famille induite par f de f =d fapplication tangentef gproduit de convolutionGL(V)

6 Groupe lin aire de l espace vectorielVviTABLE DES MATI RESGrpCat gorie des groupesHell(X)Op rateurs hypo elliptiques surXhom(X;Y)Ensemble des applications lin aires de l espaceXdans l espaceYHomC(E,F) les morphismes deEversFdans la cat gorieCH0(X,N)Ensemble des fonctions continues deXdansNH0(X,Z)Premier groupe de cohomologie de CechH1(X,G)l ensemble des classes d quivalence desG-cocylcesHn(X,A;G)n- me groupe d homologie singuli re coefficients dans GHn(X,A;G)n- me groupe de cohomologie singuli re coefficients dans GH (X,A)Cohomologie coefficients dansAdeXH dR(X)Cohomologie de deRham deXH c(X)Cohomologie support compact deX H c(X,F)Cohomologie de Cech coefficients dansFdeXIEA pplication identit de l ensembleEidaFl che identit de aimImage d une applicationindIndicekerNoyauKCorps quelconqueKfamla cat gorie desK-famillesKfam(X)la cat gorie desK-familles surXK(X,Y)Ensemble des op rateurs lin aires compacts deXdansYK(X,Y)K th orie de la paire d espaces (X,Y)K(X)Id al des op rateurs lin aires compacts de l espaceXK(X)Premier groupe de K th orie topologique de l espaceXK(X)Groupe de GrothendickK(C)Groupe de Grothendieck d une cat gorie additiveCK0(A)Premier groupe de K th orie alg brique de l anneauA K(X)K th orie r duite de l espaceXK( )

7 Groupe de Grothendieck d un foncteur additif limy 0+limy 0lorsquey>0limy 0 limy 0lorsquey<0L(V,W)Ensemble des applications lin aires entre deux espaces vectorielsMonCat gorie des mono desMorC(a,b)L ensemble des morphismes deaversbNp(f){ |f(x)|pdx} partoutPkVEspace projectif de dimensionkassoci l espace vectorielVRModCat gorie desR-modules gaucheTABLE DES NOTATIONSviiRngCat gorie des anneauxSL espace de SchwarzSetCat gorie des ensemblessing suppSupport singulierskLek me polyn me invariant de NewtonSL(V)Groupe lin aire sp cial deVS(M)Sym tris du mono de ab lienMSngroupe sym trique sur n lettresSn(X)ensemble des n-simplexes singuliers sur XSnLa sph re de dimensionnsnf(x)n-i me somme de Fourier defSO(V)Groupe orthogonal sp cial deVsuppSupportSXLa sph re unit de l espace m triqueXSymbmSymboles d ordremTETopologie sur l ensembleET.

8 Topologie engendr e par la norme . Tm(M)espace tangent M en mT m(M)espace cotangent M en mT(M)fibr tangent sur MTopCat gorie des espaces topologiquesTop Cat gorie des espaces topologiques point strTraceu r gularisation de la fonctionuUXLa boule unit ouverte de l espace m triqueXvect(v1,v2,..) Espace vectoriel engendr par les vecteursv1,v2,..Vect(X)Ensemble des classes d isomorphie de fibr s vectoriels Dual topologique de l espaceXX+Compactifi d Alexandroffde l espaceXPremi re partieIntroduction3 Par Milen Poenaru,d di aux fondateurs de la th orie de l 1 Description du projet de l IndexCe chapitre tente de r pondre aux questions du type : qu est-ce que le projetde l Index, quels sont ses objectifs et quelles conclusions tire-t-on de ce projetmaintenant qu il est termin ? MotivationsLes projets de semestre constituent une partie fondamentale de l enseignementdonn par l EPFL.

9 En rupture totale avec le concept de cours ex-cathedra, ces pro-jets permettent aux tudiants d effectuer un travail de recherche important. Bienentendu, ce niveau de formation, il est rare que cette recherche soit novatrice,ses objectifs principaux consistant favoriser un travail de recherche autonome etpermettre la r daction de premiers rapports est l ann e pass e que l IGAT1a lanc le concept d un s minaire pour tu-diants faisant office de projet de semestre. Le principe de ce s minaire consiste r unir plusieurs tudiants pour travailler en groupe sur un sujet sp cifique. Lesujet en question est alors subdivis en morceaux que se r partissent les semaine, le groupe de travail se r unit pour que les tudiants pr sententla section qu ils ont tudi e. En fin de semestre, chacun r dige un rapport sur l en-semble du sujet, en s attachant plus particuli rement sur les sections qui lui sontattribu et moi avons suivi ce premier s minaire et en avons appr ci le conceptqui ajoute aux objectifs d un simple projet de semestre des pr sentations orales et lapossibilit de travail en groupes.

10 Il nous est cependant apparu que certains pointsne permettent pas de profiter pleinement du potentiel offert par un s rement, le travail collaboratif n est pas exploit de mani re m thode de division des sujets favorise un travail autonome, chacun travaillantsa partie sans pouvoir r ellement entrer dans celle des autres. En effet, les parties tant trop petites, leur contenu est principalement constitu de propri t s non-c es et d montr es. Les probl mes rencontr s sont donc plus souvent techniques1 Institut de g om trie, alg bre et topologie, http DESCRIPTION DU PROJET DE L INDEXque conceptuels. Deuxi mement, les redondances sont trop abondantes. L o l onpourrait obtenir une r daction finale d taill e o chacun contribue par le travaileffectu individuellement, on demande chaque tudiant de r diger un rapport dus minaire.