Lino Alvarez - Aurea Martinez |||||||||||| METODOS ...

1 Lino Alvarez - Aurea Martinez METODOS NUMERICOSTEMA 8: ECUACIONESEN DIFERENCIAS1 CONCEPTOS BASICOSU naecuaci on en diferenciases una expresi on deltipo:G(n, f(n), f(n+ 1), .. , f(n+k)) = 0, n Z,dondefes una funci on definida despu es de simplificar esta expresi on quedan los t ermi-nosf(n+k1) yf(n+k2) como el mayor y el menor,respectivamente, se dice que la ecuaci on es deordenk=k1 La ecuaci on:5f(n+ 4) 4f(n+ 2) +f(n+ 1) + (n 2)3= 0es de orden4 1 = ecuaci on en diferencias de ordenkse dicelinealsipuede expresarse de la forma:p0(n)f(n+k)+p1(n)f(n+k 1)+..+pk(n)f(n) =g(n),donde los coeficientespison funciones definidas caso m as sencillo es cuando los coeficientes son cons-tantespi(n) =ai:a0f(n+k) +a1f(n+k 1) +.

2 +akf(n) =g(n).La ecuaci on en diferencias se dicehomog eneaen elcaso de queg(n) = 0,ycompletaen el caso Dada la ecuaci on en diferencias linealde coeficientes constantes y de ordenk:a0f(n+k) +a1f(n+k 1) +..+akf(n) =g(n),el problema de hallar una funci onfdefinida enZ,que verifique la ecuaci on, y tal que en loskenterosconsecutivosn0, n0+1, .. , n0+k 1tome los valoresdadosc0, c1, .. , ck 1,tiene soluci on Dada una ecuaci on en diferencias li-neal homog enea de coeficientes constantes y de ordenkentonces, si una soluci onfen nula enkenterosconsecutivos, es id enticamente Toda combinaci on lineal de solucionesde una ecuaci on en diferencias lineal homog enea decoeficientes constantes y de ordenkes tambi en solu-ci on de dicha ecuaci llamasistema fundamental de solucionesdeuna ecuaci on en diferencias lineal homog enea de ordenka todo conjunto{f1, f2.}

3 , fk}de soluciones de dichaecuaci on que verifica para alg unn0 Zque lamatrizfundamentales inversible, esto es:D(n0) = f1(n0)f2(n0)..fk(n0)f1(n0+ 1)f2(n0+ 1).. fk(n0+ 1)..f1(n0+k 1)f2(n0+k 1).. fk(n0+k 1) 6= Sea{f1, f2, .. , fk}un sistema fun-damental de soluciones de una ecuaci on en diferen-cias lineal. (n)6= 0, n Toda soluci on de la ecuaci on homog enea es com-binaci on lineal def1, f2, .. , fk,es decir:f(n) =k i=1cifi(n).1833. Siz(n)es una soluci on de la ecuaci on completa,entonces toda soluci on de dicha ecuaci on se pue-de escribir como la suma dez(n)y de la soluci ongeneral de la ecuaci on homog enea, esto es:f(n) =z(n) +k i=1cifi(n).Observaci on Frecuentemente se suele denotaryn+j=f(n+j),con lo cual la ecuaci on en diferencias se escribe:a0yn+k+a1yn+k 1+.

4 +akyn=gn, n Hallar la ecuaci on en diferencias quesatisface la familia de funciones:f(n) =c12n+ (n) =c12n+c2f(n+ 1) = 2c12n+c2f(n+ 2) = 4c12n+c2 c12n=f(n+ 1) f(n)c2= 2f(n+ 1) f(n+ 2) f(n) =f(n+ 1) f(n) + 2f(n+ 1) f(n+ 2) f(n+ 2) 3f(n+ 1) + 2f(n) = Hallar la soluci on de la ecuaci on endiferencias no lineal:ynyn 1+yn yn 1= 0, n Z,que verificay0= tiene:yn=yn 1yn 1+ 1, n tanto, sustituyendo:yn=yn 1yn 1+ 1=yn 22yn 2+ 1=..=y0ny0+ decir:yn=ccn+ SOLUCION DE LA ECUACION HOMO-GENEASea la ecuaci on en diferencias lineal homog enea de coe-ficientes constantes y de ordenk:a0f(n+k)+a1f(n+k 1)+..+akf(n) = 0, n soluciones del tipof(n) = :rn(a0rk+a1rk 1+..+ak) = 0 a0rk+a1rk 1+..+ak= tanto,res ra z de laecuaci on caracter sticaa0rk+a1rk 1+.

5 +ak= estudio de la soluci on depender a de si las ra ces de laecuaci on caracter stica son simples o m Ra ces simplesSeanr1, r2, .. , rklaskra ces de la ecuaci on carac-ter stica. Se definen entonces las funciones:fj(n) =rnj, j= 1, .. , {f1, .. , fk}es un sistema fundamental desoluciones, lo cual nos permite resolver la ecuaci alguna ra zres compleja, tambi en su conjugada res ra z. Dado que toda combinaci on lineal derny rnessoluci on de la ecuaci on, en particular lo son:Re(rn) =12(rn+ rn),Im(rn) =12i(rn rn).Entonces, a fin de evitar trabajar con soluciones com-plejas, en el sistema fundamental se pueden sustituirlos t erminos complejosrny rnpor los correspondientest erminos realesRe(rn) eIm(rn).

6 186 Observaci on A la hora del c alculo de la soluci ondebe tenerse en cuenta que:r= (cos( )+i sen( )) rn= n(cos(n )+i sen(n )) Re(rn) = ncos(n ), Im(rn) = nsen(n ). Ra ces m ultiplesSearuna ra z de multiplicidadmde la ecuaci on carac-ter stica. Esta ra z proporcionamsoluciones diferentesdel tipo:fj(n) =njrn, j= 0, .. , m tanto, pasar an a formar parte del sistema funda-mental de soluciones las funcionesf0, .. , fm 1,estoes:rn, nrn, n2rn, .. , nm Hallar la soluci on de:f(n+ 2) 4f(n+ 1) + 3f(n) = 0, n Z,f(0) = 0, f(1) = ecuaci on caracter stica es:r2 4r+ 3 = 0 r1= 3, r2= tanto:f(n) =c13n+c21n=c13n+ otra parte:f(0) =c1+c2= 0f(1) = 3c1+c2= 1 c1=12, c2= donde:f(n) =123n 12=3n Hallar la soluci on de:f(n+ 2) f(n+ 1) +f(n) = 0, n Z,f(0) = 0, f(1) = ecuaci on caracter stica es:r2 r+ 1 = 0 r1=12+ 32i, r2=12 equivalentemente:r1=cos( 3) +i sen( 3), r2= tanto:f(n) =c11ncos(n 3) +c21nsen(n 3)=c1cos(n 3) +c2sen(n 3).

7 188 Por otra parte:f(0) =c1= 0f(1) =12c1+ 32c2= 1 c1= 0, c2=2 donde:f(n) =2 3sen(n 3).Ejemplo Hallar la soluci on de:f(n+3) 7f(n+2)+15f(n+1) 9f(n) = 0, n Z,f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = ecuaci on caracter stica es:r3 7r2+ 15r 9 = 0 r1= 1, r2=r3= tanto:f(n) =c11n+c23n+c3n3n=c1+c23n+ otra parte:f(0) =c1+c2= 1f(1) =c1+ 3c2+ 3c3= 2f(2) =c1+ 9c2+ 18c3= 17 c1= 1, c2= 0, c3= donde:f(n) =n3n SOLUCION DE LA ECUACION COM-PLETAPara encontrar una soluci on de la ecuaci on en diferenciaslineal completa de coeficientes constantes y de ordenk:a0f(n+k)+a1f(n+k 1)+..+akf(n) =g(n), n Z,debemos buscar una soluci on particular y sumarle lasoluci on general de la ecuaci on homog enea correspon-diente (que ya sabemos calcular).

8 Por tanto, s olo necesitamos una soluci on particular de laecuaci on completa. Para buscarla procederemos seg unla naturaleza de la funci ong(n).Veremos el caso m as simple:g(n) =anp(n),dondeaesuna constante ypes un polinomio de prueba como soluci on particular:z(n) =anq(n),dondeqes un polinomio del mismo grado sizno tienefactores comunes con la soluci on general de la ecuaci onhomog enea (o un polinomio del mismo grado multipli-cado por una potencia denen caso contrario).Observaci on Para el caso de una funci ong(n)general existe el m etodo de variaci on de constantes(completamente an alogo al explicado para ecuacionesdiferenciales ordinarias).190 Ejemplo Hallar la soluci on general de:f(n+ 2) f(n+ 1) +f(n) =n, n ya hemos visto, la soluci on general de la ecua-ci on homog enea es:y(n) =c1cos(n 3) +c2sen(n 3).

9 Una soluci on particular de la completa ser a de laformaz(n) =an+ determinar el valor deaybse sustituye en la ecuaci on:a(n+ 2) +b a(n+ 1) b+an+b=n an+a+b=n a= 1a+b= 0 b= 1 z(n) =n tanto, la soluci on general de la ecuaci on com-pleta es:f(n) =c1cos(n 3) +c2sen(n 3) +n Hallar la soluci on general de:f(n+ 2) 2f(n+ 1) +f(n) =n+ 1, n ecuaci on caracter stica es:r2 2r+ 1 = 0 r1=r2= tanto, la soluci on general de la ecuaci on ho-mog enea es:y(n) =c1+ soluci on particular de la completa ser a de laformaz(n) =n (an+b),puesy(n)yan+btienenfactores en com un. Se tomar a como el menor na-tural tal quey(n)yz(n)ya no tengan factores encom un. Por tanto, debemos tomar = 2:z(n) =an3+ determinar el valor deaybse sustituye en laecuaci on:a(n+2)3+b(n+2)2 2a(n+1)3 2b(n+1)2+an3+bn2=n+1 6an+ 6a+ 2b=n+ 1 6a= 1 a=166a+ 2b= 1 b= 0 z(n) = tanto, la soluci on general de la ecuaci on com-pleta es:f(n) =c1+c2n+ Hallar la soluci on general de:yn+2+ 2yn+1+yn= 3n, n ecuaci on caracter stica es:r2+ 2r+ 1 = 0 r1=r2= tanto, la soluci on general de la ecuaci on ho-mog enea es:c1( 1)n+c2n( 1) soluci on particular de la completa ser a de laformazn= determinar el valor deasesustituye en la ecuaci on:a3n+2+ 2a3n+1+a3n= 3n (9a+ 6a+a)3n= 3n 16a= 1 a= tanto, la soluci on general de la ecuaci on com-pleta es.

10 Yn=c1( 1)n+c2n( 1)n+ Hallar la soluci on de:f(n+ 1) 2f(n) = 2n, n Z,f(0) = ecuaci on caracter stica es:r 2 = 0 r1= tanto, la soluci on general de la ecuaci on ho-mog enea es:y(n) = soluci on particular de la completa ser a de laformaz(n) = determinar el valor dease sustituye en la ecuaci on:a(n+ 1)2n+1 2an2n= 2n 2a2n= 2n a=12 z(n) =12n2n=n2n tanto, la soluci on general de la ecuaci on com-pleta es:f(n) =c12n+n2n la condici on:f(0) = 1 c1= pues, la soluci on del problema es:f(n) = 2n+n2n Hallar la soluci on de:f(n+ 1) 2f(n) =n, n Z,f(0) = ecuaci on caracter stica es:r 2 = 0 r1= tanto, la soluci on general de la ecuaci on ho-mog enea es:y(n) = soluci on particular de la completa ser a de laformaz(n) =an+ determinar el valor dease sustituye en la ecuaci on:a(n+ 1) +b 2an 2b=n an+a b=n a= 1 a= 1a b= 0 b= 1 z(n) = n tanto, la soluci on general de la ecuaci on com-pleta es:f(n) =c12n n la condici on:f(0) = 0 c1 1 = 0 c1= pues, la soluci on del problema es:f(n) = 2n (n+ 1).