Cinématique et dynamique exercices et corrigé - owl-ge.ch

1 Cin matique et dynamique : exercicesExercice 1A la surface de la Terre, on peut consid rer que l acc l ration d un objet en chute libre estconstante et qu elle vaut 10 )Construisez un mod le donnant la vitesse et la position d un objet en chute libre la surface de la Terre en fonction du ) Indiquez les dimensions de chaque l ment de votre mod ) Donnez l horaire du 2 Vous l chez une bille de rayon ret de masse md une hauteur h. Lors de la chute, la bille subitune force de frottement donn e par:Ffrott = 12 SCxv2o est la masse volumique du milieu, Sla section apparente de l objet, Cxson coefficient deforme (sans dimension) et vla norme de la vitesse de ) Indiquez sur un sch ma les forces qui agissent sur la ) Peut-on, dans ce cas, donner l horaire du mobile ?

2 C)Construisez un mod le permettant d obtenir l acc l ration de l objet, sa vitesse et sa position en fonction du temps. Etablissez un graphique pour chacune de ces )Pr cisez les dimensions de chaque l ment de votre mod )Comparez les r sultats obtenus sous c) ceux correspondant une chute sans frottement(en tablissant un graphique pour chacune des grandeurs dans le cas o la bille ne subit pas de frottement).f)Que valent les temps de chute dans chaque cas ? (r ponses au 100ede seconde, )Donn es num riquesQuelques valeurs du Cxmasse de la bille m= 50 gsph re: de la bille r= 1 cmdemi-sph re avec convexit l'avant: de chute h= 200 mdemi-sph re avec convexit l'arri re: volumique de l air = kg/m3forme de goutte: de forme de la bille Cx= plat: : l acc l ration de l objet est gale la somme des forces qui agissent sur l objet di-vis e par la masse de l ge de Gen ve.

3 R gion des D licesIntroduction la mod lisation_____1 Exercice 3En dynamique , on d finit la quantit de mouvement d un mobile pcomme tant le produit de samasse mpar sa vitesse v:p = mvLorsqu une force agit pendant un certain temps sur un mobile, elle provoque une variation de laquantit de mouvement de ce dernier:F t = pCe qui peut s crire:F = p tOn donne le diagramme suivant dans lequel le r servoir repr sente la quantit de mouvementd un mobile se d pla ant en ligne )Que repr sentent les flux dans ce diagramme. b)Compl tez le mod le de fa on obtenir la vitesse de chute d une bille de rayon ret de masse mtombant d une hauteur het subissant une force de frottement donn e par:Ffrott = 12 SCxv2c)Indiquez les dimensions et les unit s des l ments de votre mod )Comparez les r sultats ceux obtenus l aide du mod le de l exercice es num riquesVoir exercice 4 Vous tirez un projectile la vitesse v0sous un angle.

4 Construisez un mod le permettant d obte-nir la trajectoire du projectile:a)dans le videb)dans un fluide de masse volumique .Indication: il faut exprimer l acc l ration du projectile en composantes selon un syst med axes ge de Gen ve. R gion des D licesIntroduction la mod lisation_____2 Exercice 5Un parachutiste de masse msaute d une hauteur x. Il ouvre son parachute lorsqu il se trouve xouverturem tres du sol. La section apparente du parachutiste et son coefficient de forme valentrespectivement Sminet Cminlorsque le parachute est ferm , Smaxet Cmaxlorsqu il est ouvert. Leparachute se d ploie en un temps gal la dur e d ) Construisez un mod le permettant d obtenir l acc l ration, la vitesse et la position du parachutiste en fonction du temps.

5 Etablissez un graphique pour chacune de ces )A quelle vitesse le parachutiste touche-t-il le sol ?c)A quelle altitude doit-il ouvrir son parachute s il veut toucher le sol cette vitesse et minimiser son temps de chute ?Exercice 6La fus e Saturne V a une masse totale de 2800 tonnes. Sa hauteur vaut 110 m tres et son dia-m tre 6 m tres. Le premier tage contient 1500 tonnes d oxyg ne liquide et 650 tonnes de k ro-s ne. Ses moteurs consomment 15 tonnes de carburant par seconde. Ils produisent une pouss ede 35 millions de newtons et propulsent la fus e 65 km d altitude en moins de 2 minutes. a)Etablissez un mod le permettant d obtenir l acc l ration, la vitesse et la position de la fus e Saturne V entre la mise feu et le moment o le premier tage est largu.

6 B)Estimez la vitesse d jection des gaz durant cette premi re phase du : Vous supposerez que le mouvement de la fus e est rectiligne durant cette premi rephase du vol. Dans un premier temps vous admettrez que l acc l ration terrestre et la massevolumique de l air sont rappelsLoi de la dynamique :la somme des forces exerc es sur la fus e est gale au produit de sa masse par son acc l de pouss e:la force de pouss e exerc e sur la fus e est gale au produit du d bit de masse (gaz ject s) par le vitesse d jection des de pesanteur:le poids de la fus e est gal au produit de la masse de la fus e par (poids)l acc l ration de frottement.

7 La force de frottement subie par la fus e fait intervenir la massevolumique de l air, le coefficient de forme, la section et la vitesse de la fus ge de Gen ve. R gion des D licesIntroduction la mod lisation_____3 Cin matique et dynamique : corrig Exercice 1 Pour une chute libre, l acc l ration est constante. La vitesse s obtient en int grant l acc l ration,et la position en int grant la vitesse:a)Mod le et quationsPOSITIONVITESSEVITESSE ACCELERATIONPOSITION(t) = POSITION(t - dt) + (VITESSE) * dtINIT POSITION = 0 VITESSE = VITESSE_VITESSE_(t) = VITESSE_(t - dt) + (ACCELERATION) * dtINIT VITESSE_ = 0 ACCELERATION = 10b)Dimensions des l ments du mod le: POSITION: longueurVITESSE: longueur/tempsACCELERATION: longueur/temps2c)Horaire du mobile: at2/2 + v0t+ x0 Exercice 2a)La force de frottement d pend de la vitesse et varie donc au cours du = mgxN.

8 B. Les deux forces ne sont gales que lorsque la bille atteint une vitesse de chute stationnaire. b)On ne peut pas, dans ce cas, donner la position du mobile en fonction du ge de Gen ve. R gion des D licesIntroduction la mod lisation_____4c)Ici, l acc l ration n est plus constante. En effet, la bille subit, en plus de son poids, une forcede frottement variable. Son acc l ration sera donc gale l acc l ration g plus l acc l ration due la force de frottement. Choisissons un axe Ox et exprimons les diff rentes grandeurs selon Ox:vx axxvxgmFfrott xrhoSCxrvx_(t) = vx_(t - dt) + (ax) * dtINIT vx_ = 0ax = g-Ffrott_x/mx(t) = x(t - dt) + (vx) * dtINIT x = 0vx = vx_Cx = = *rho*S*Cx*vx_^2g = 10m = = = = PI*r^2d)Dimensions des l ments du mod le: ax: longueur/temps2r: longueurCx: sans dimensionrho: masse/longueur3F frott: masse longueur/temps2S: longueur2g: longueur/temps2vitesse_x = vx: longueur/tempsm: massex: longueure) et f) l aide des mod ge de Gen ve.

9 R gion des D licesIntroduction la mod lisation_____5 Exercice 3a)Les flux repr sentent des forces. Le flux entrant (poids) provoque une augmentation de laquantit de mouvement palors que le flux sortant (force de frottement) provoque une diminutionde )pPoidsgmFfrottrhoSrCxvp(t) = p(t - dt) + (Poids - Ffrott) * dtINIT p = 0 Poids = m*gFfrott = *rho*S*Cx*v^2g = 10m = = p/m Cx = = = PI*r^2r = )Dimensions et unit s des l ments du mod le:DimensionsUnit sCx: sans dimensionsans unit Ffrott: masse longueur/temps2kilogramme m tre/seconde2g: longueur/temps2m tre/seconde2m: massekilogrammePoids: masse longueur/temps2kilogramme m tre/seconde2p: masse longueur/tempskilogramme m tre/seconder.

10 Longueurm trerho: masse/longueur3kilogramme /m tre3S: longueur2m tre2v: longueur/tempsm tre/seconded)Ce mod le fournit des r sultats identiques ceux obtenus l aide du mod le de l exercice ge de Gen ve. R gion des D licesIntroduction la mod lisation_____6 Exercice 4Si on exprime l acc l ration du mobile selon un syst me d axes Oxy, on obtient la structure debase suivante:axayvxvyxv xyv yEn int grant les composantes axet ayde l acc l ration du projectile, on obtient les composantesvxet vyde sa vitesse. On int gre ensuite vxet vypour obtenir les coordonn es x et y de la posi-tion du mobile. Les flux sont des biflow - les grandeurs qu ils repr sentent peuvent tre po-sitives ou n gatives - ce qui signifie qu ils peuvent contribuer remplir ou vider les r servoirsauxquels ils sont associ s.