Trekants- beregning - Matematik i gymnasiet og hf

1 Trekants- beregning2009 Karsten Juul 13 250,7 ABCDD ette h fte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes p C-niveau i gymnasiet (stx) og sommer 2011 kr ves undg r at foruds tte en indsigt hos eleverne som de ikke kan forventes at af ' s af sider og vinkler i retvinklet h fter: udgave 2009 2009 Karsten JuulDette h fte kan downloades fra ftet m benyttes i undervisningen hvis l reren med det samme sender en e-mail til som dels oplyser at dette h fte benyttes, dels oplyser om klasse/hold, l rer og 32009 Karsten JuulAfsnit af trekant. velse arealet afhver af de tretrekanterABC, DEFog H jde og grundlinjeEn h jdei en trekant er et linjestykke der g rfra en vinkelspids og vinkelret ned p den modst ende sideellerfra en vinkelspids og vinkelret ned p forl ngelsen af den modst ende er tre h jder i en kan selv bestemme hvilken af trekantens sider vi kalder r vi taler om trekantens h jde, s er det den af h jderne der ervinkelret p den side som vi har valgt at kalde 42009 Karsten JuulEksempel viser en vi v lger siden med l ngde 8 som grundlinje, s er h jden vi v lger siden med l ngde 14 som grundlinje, s er h jden 4.

2 Velse det linjestykke som er h jde hvis vi v lgerBCsom det linjestykke som er h jde hvis vi v lgerACsom grundlinje.(Se definition ).S TNING af trekantN rT= arealet af trekanteng= grundlinjen (dvs. en side i trekanten)h= h jden (dvs. den af h jderne der st r vinkelret p den valgte grundlinje)g lderghT 52009 Karsten Juul velse viser et firkantet bur set fra burets areal p den nemmest mulige m de. velse arealet af trekant arealet af trekant arealet af trekant 62009 Karsten JuulAfsnit 2. Pythagoras' s og en retvinklet trekant er de to sider der danner den rette en retvinklet trekant er den side der ligger over for den rette viser en retvinklet er 6 og 8.

3 Hypotenusen er TNING ' s en retvinklet trekant g lder:Hvispog qer kateterne, ogrer hypotenusens er222rqp .Bem rkning :En sprogbrugHvis der st ri trekant DEFer 14 fg lderdet ersiden over for vinkelspidsen Fder er er nemlig s dan at n ret stort bogstav er en vinkelspids i en trekant,g lderdet tilsvarende lille bogstav er siden over for vinkelspidsen,hvis der ikke fremg r sprogbrug er brugt her:I en trekant ABChvor vinkel Cer ret, er 222cba .6810pqrDEFdefBem rkning om sprogbrug forts tter p n ste 72009 Karsten JuulAdvarselSe figuren til h dur det ikke hvis du skriver 6,2 seren kan ikke vide om det er ABeller BCder er 6, mp den side du skal altid tegne en figur i en geometriopgave.

4 Velse r for hver ligning om den er korrekt.(1)222rqp (2)222qrp (3)222pqr velse r for hver ligning om den er korrekt.(1)2221,86,3x (2)2221,86,3 x(3)2226,31,8 x velse r for hver ligning om den er korrekt. (1)2226372t (2)2227263 t(3)22213072 a(4)22272130 aABCMpqr6,31,8x7263130atTrekantsberegnin gSide 82009 Karsten JuulOpgave :Udregne hypotenusen n r kateterne er trekant CDEer vinkel Dret, l ngden af siden CDer 3,4 , og l ngden af siden DEer 2,1 .Bestem l ngden af siden :F rst tegner vi en skitse af Pythagoras' s tning f r vi at2221,24,3 m 221,24,3 udregner dette p lommeregner:99625,3 :L ngden af siden CEer 0, :Udregne en katete n r hypotenusen og den anden katete er trekant ABCer vinkel Cret,l ngden af siden ACer 84,og l ngden af siden ABer l ngden af siden :F rst tegner vi en skitse af Pythagoras' s tning f r vi at2228584 tr kker 284fra begge sider:2228485 f r viat228485 udregner dette p lommeregner:13 :L ngden af siden BCer ,31,2 ABC8485aTrekantsberegningSide 92009 Karsten JuulOpgave.

5 Udregne areal n r kateterne er trekant ABCer vinkel Cret, l ngden af siden ACer 5 ,og l ngden af siden BCer 9 .Bestem arealet af trekant :F rst tegner vi en skitse af v lger ACsom er BCh er5,229521 .Konklusion:Arealet af trekant ABCer 5, :Udregne arealn r hypotenusen og en af kateterne er trekant DEFer vinkel Dret, l ngden af siden EFer 11,og l ngden af siden DFer 5 .Bestem arealet af trekant :F rst tegner vi en skitse af v lger DEsom er DFh bestemmer grundlinjen:Vi bruger Pythagoras' s tning:222115 fHeraf f r vi22511 bestemmer arealet:Arealet er521 .Vi udregner dette p lommeregner og f r24,4949 .Konklusion:Arealet af trekant DEFer 5, 102009 Karsten JuulAfsnit trekanter.

6 Velse (a)Hvilket tal skal vi gange siderne i trekant (1)med for at f siderne i trekant (2)?Da alle sider skal ganges med samme tal, er (2) en forst rrelse eller enformindskelse af (1). Det tal vi ganger med, er st rrelsesforholdet og kaldes skalafaktoren.(b)For hver af trekanterne (3), (4), (5) og (6) skal du afg re om der findes en skalafaktor som ganget med sidederne i (1) giver siderne i den p g ldende trekant. Angiv skalafaktoren hvis den ,22,55,64,38,65,84,18,25,35,38,28,16,78, 25,9)1()2()3()4()5()6(TrekantsberegningS ide 112009 Karsten JuulEksempel figuren nedenfor bruger vi buer, dobbelte buerogtredobbelte buertil at vise hvilke vinkler der er lige har samme vinkler, s de har samme form.

7 Den store er alts en forst rrelseaf den den lille trekant er der en side med l ngde 4, og i den store trekant er der en side med l ngde 8 . Disse to sider ligger over for vinkler der er lige store. Da vi skal gange den lille side med 2for at f den store, er over for vinklen med dobbelt bue i den store trekant er alts 2 gange 5, velse f r nu en ny oplysning omden store trekant fra eksempel : Siden over for vinklen med tredobbelt bue har l ngden lang er den side i den lille trekant som ligger over for vinklen med tredobbelt bue?S TNING trekanterN r en trekanthar samme vinkler som en anden trekant, s findes et tal k(skalafaktoren) s vived at gange siderne i den f rste trekantmed kf r siderne i den anden skal se p om en side i den f rste trekant og en side i den anden trekant ligger over for vinkler der er lige store.

8 Hvis de g r det, vil kgange den f rste side v re lig den anden side. velse to trekanter til h jre er ensvinklede s der findeset tal ksom ganget med siderne i f rste trekant giver siderne i anden r for hver af f lgende ligninger om den er gyldig:(1)75 k(2)nkp (3)7 kp(4)qkm (5)mkq .458p5q7nmTrekantsberegningSide 122009 Karsten JuulOpgave :Udregne sider i ensvinklede viser to ensvinklede trekanter ABCog l ngderneafsiderneEFog :Da trekanterne er ensvinklede, findes der en skalafaktor k:Skalafaktoren:Sidenmed l ngde15fra den f rste trekant og sidenmed l ngde21fra den andenligger over for vinkler som er lige store. Derfor g lder2115 f r vi1521 k4,1 EF:Sidenmed l ngde10i den f rste trekant og sidenmed l ngdedi den anden ligger over for vinkler der er lige store.

9 Derfor g lderd 4,11014 AB:Sidenmed l ngdeci den f rste trekant og sidenmed l ngde28i den andenligger over for vinkler der er lige store. Derfor g lder284,1 f r vi4,128 c20 :L ngden af siden EFer 14ogl ngden af siden ABer 132009 Karsten JuulAfsnit kateteForestil dig at du sidder i den spidse vinkel uog holder i deto af de sider duholder i, er en side kaldes vinklens hosliggende kaldes katetens den viste trekantg lder alts :Vinkel u's hosliggende katete har l ngden 52. velse metoden fra definition til at finde svarene p f lgende sp rgsm l:(1)Hvor lang er vinkel A's hosliggende katete?(2)Hvor lang er vinkel D's hosliggende katete?

10 (3)Hvor lang er vinkel B's hosliggende katete?(4)Hvor lang er vinkel E's hosliggende katete? velse (1)Hvor mange grader er kateten AC's hosliggende spidse vinkel?(2)Hvor mange grader er den spidse vinkel der er hosliggende til siden med l ngde e?(3)Hvor mange grader er kateten BC's hosliggende spidse vinkel?(4)Hvor mange grader er den spidse vinkel der er hosliggende til siden med l ngde 14?u655239 ABC09,012,015,0 DEF6,35,19,3 ABC 57 3314ef 40 50 TrekantsberegningSide 142009 Karsten JuulDEFINITION lommeregnerkan vi udregne cosinusog omvendt viser en retvinklet trekant hvor hypotenusen er vi udregner:cosinustil gradtallet for en af de spidse vinkler,s f r vi:l ngden af denne vinkelshosliggende skriver:tv )cos(.