A.O. Partie 3 – circuits logiques - phmartin.info

1 Partie 3 circuits logiques ( TDs, QCMs, corrig s, ..)Plan (+ 0. D finitions, 3. "TD ( Partie ) 3", "Corrig s QCMs 1+2 et TD 2")1. circuits Fonctions 1 ou 2 Fonctions 2 Axiomes et th or mes fondamentaux de l'alg bre de L'op rateur XOR (OU exclusif) Les op rateurs complets: le NAND et le Synth se d'un circuit Analyse d'un circuit D multiplexeur et Codeur, d codeur, transcodeur2. circuits s quentiels (non sujet valuation partir de 2014-2015) D Exemple d'automate Bistables et bascules: types (D, SR, T, JK) et Synth se d'un circuit s Analyse d'un circuit s quentiel1/390. D finitionsFonction logique: fonction utilisant des variables logiques , , desvariables pouvant prendre 2 valeurs (0 et 1, faux ou vrai, ..). Fonction logique incompl tement d finie: quand sa valeur de sortie estindiff rente ou non sp cifi e pour certaines combinaisons des variablesd'entr es; on utilise alors X au lieu de 0 ou 1.

2 Circuit logique: circuit ( lectronique/optique/..) compos de porteslogiques ( , porte ET, OU, ..) et r alisant une ou plusieurs fonctionslogiques; deux types: circuit combinatoire et circuit s quentiel. Exemple de question d' valuation (rappel: 1 seule r ponse s lectionner):Qu'est-ce qu'une fonction logique incompl tement d finie ? A) une fonction qui peut tre impl ment e par diff rents circuits logiques non quivalents B) une fonction dont la valeur de sortie est indiff rente ou non sp cifi e pour certaines combinaisons des variables d'entr es C) une fonction dont la valeur de sortie peut tre une variable (au lieu de 0 ou 1) pour certaines combinaisons des variables d'entr es D) les 3 derni res r ponses sont justes E) aucune des 4 derni res r ponses n'est juste 2/390. D finitionsCircuit combinatoire: circuit o le temps de propagation des signaux n'estpas pris en compte -> les signaux de sortie ne d pendent que des signauxd'entr e -> tude via l'alg bre de Boole.

3 Circuit s quentiel: circuit o le temps de propagation des signaux et lam moire du circuit sont pris en compte-> les signaux de sortie d pendent de signaux d'entr e pr c dents (-> notions d' tats, de m moire et de temps) et donc de r troactions (retours des sorties dans les entr es)-> tude via la th orie des automates finis. Fonction logique d'un circuit combinatoire: peut se repr senter via undiagramme (logigramme), une expression alg brique, ou une table de v rit . Table de v rit : tableau de correspondance entre les tats d'entr e et les tats de sortie; s'il y a V variables en entr es, comme chacune des variables peut prendre2 valeurs (0 et 1), il y a N=2V combinaisons (et donc lignes dans la table), etune table de v rit N variables peut repr senter 2N fonctions; exemples dans les pages de question d' valuation: Qu'est-ce qu'un circuit s quentiel ?

4 A) un circuit o le temps de propagation des signaux et la m moire du circuit sont pris en compte B) un circuit dont les sorties peuvent aussi tre ses entr es C) un circuit qui s' tudie via la th orie des automates finis D) les 3 derni res r ponses sont justes E) aucune des 4 derni res r ponses n'est juste 3 circuits combinatoires - fonctions 1 ou 2 variablesIl y a 4 (= 2(2 puissance 1) fonctions 1 variable: identit , NON [NOT] (compl mentation, inversion), constante 1 (renvoie toujours 1), constante nulle. Symboles pour le NON (ici, sur une variable "a"): ,aa a, !a,Table de v rit pour le NON: a | aa ---+---- 0 | 1 1 | 0Il y 16 (= 2(2 puissance 2)) fonctions 2 variables (cf.

5 Liste page suivante). Exemples: le ET et le OU ET [AND]. Symboles: a . b, a b, a b, OU [OR]. Symboles: a + b, a b, Table de v rit du ET et du OU: a b | a+b ------+------------ 0 0 | 0 0 0 1 | 0 1 1 0 | 0 1 1 1 | 1 14 circuits combinatoires - fonctions 2 y 16 (= 2(2 puissance 2)) fonctions 2 variables: Exemple de question d' valuation: Combien de fonctions logiques peuvent tre repr sent es avec destables de v rit V variables d'entr e ?

6 A) 2*V fonctions B) 2V fonctions C) 2N fonctions, avec N = 2V D) les 3 derni res r ponses sont justes E) aucune des 4 derni res r ponses n'est juste 5 Axiomes et th or mes fondamentaux de l'alg bre de BooleOp rateurs de cet alg bre (par ordre d croissant de priorit ): NON, ET, OU; ils sont suffisants pour synth tiser toute fonction logique. Axiomes:Commutativit : a+b = b+a, = : a.(b+c) = ( )+( ), a+( ) = (a+b).(a+c)Associativit : a+(b+c) = (a+b)+c = a+b+c, a.( ) = ( ).c = mentation/Compl mentarit : a+ = 1, a. = 0aaaaTh or mes:Th or me des constantes: a+0 = a, = 0, a+1 = 1, = aIdempotence: a+a = a, = aTh or mes de De Morgan: non (a+b) = . non ( ) = + aabaaabaAutres relations: non( ) = non(non a) = a, a.(a+b) = a, (a+b).

7 (a+ ) = aaabaExemples de question d' valuation: L'expression a+( )=a est vraie .. A) seulement quand a est vrai B) par exemple quand a est vrai C) toujours D) par exemple quand a + ( . b) = a + baaE) les 3 derni res r ponses sont justes 6 L'op rateur XOR (OU exclusif)OU exclusif [eXclusive OR (XOR)]. Symboles: a xor b, Table de v rit etpropri t s du XOR: a b | a xor b -------+---------- 0 0 | 0 0 1 | 1 1 0 | 1 1 1 | 0 Exemple de question d' valuation: a b | f(a,b)La table de v rit suivante est celle du .. ? -------+----------A) XOR B) NAND C) NOR D) OR 0 0 | 0E) aucune des 4 derni res r ponses n'est juste 0 1 | 1 1 0 | 0 1 1 | 0 7 Les op rateurs complets: le NAND et le NORNON ET [NAND].

8 Symboles: a nand b, , NON OU [NOR]. Symboles: a nor b, , Toutes les fonctions logiques peuvent tre exprim es avec NAND ou NOR,et cela est souvent int ressant conomiquement et pour les performances. Exemples: Note: ET, OU, NAND et NOR peuvent en fait avoir plus de deux entr es mais pas XOR8 Synth se d'un circuit combinatoire Synth se d'un circuit combinatoire: d terminer un logigramme partir dela d finition d'une fonction logique ->1. construire (sa table de v rit et en d river) une expression alg brique2. la simplifier, , via les th or mes de l'alg bre de Boole ou les tables de Karnaugh3. r aliser la fonction logique l'aide d'op rateurs (NAND, NOR, ..). Forme normale (alias "canonique") d'une expression:minterm ou maxterm.

9 Minterm: produit logique ou somme de produits logiques (alias, disjonctionde conjonctions), , a xor b = .b + a. aabaMaxterm: somme logique ou produit de sommes logiques (alias,conjonction de disjonctions), , a xor b = (a + b).( + ) aabaTables de Karnaugh: m thode visuelle pour simplifier des fonctions logiques , en particulier avec moins de 6 variables;exemples dans les pages suivantes. Exemple de question d' valuation: Qu'est-ce qu'un "maxterm" ? A) une somme de produits logiques B) quelque chose que l'expression suivante illustre: .b + a. aabaC) une fonction prenant le maximum des termes d'une expression D) les 3 derni res r ponses sont justes E) aucune des 4 derni res r ponses n'est juste 9 Exemples de table de Karnaugh 2 ou 3 variablesSoit la fonction Z = .b + a. + aaba Table de Karnaugh 2 variables: Table de v rit a b | Z -------+---- 0 0 | 0 0 1 | 1 1 0 | 1 1 1 | 1 Toutes les cases relatives aux valeurs 1 de a et b sont encercl es,donc Z = a + b (Z est vrai si a ou b est vrai).

10 De fait, Z = .b + a. + + aaba = a.(b+ ) + b.(a+ ) baaa = a + b Soit la fonction Z = .. + a..c + a.. + aabacababacaTable de Karnaugh 3 variables: -> Z = + . baca10 Tables de Karnaugh avec 4 variablesZ = .. + ..d + .. + .b..d + .d + a..d + aabacadaaabacaaabaaacacabaca a.. + . + + a.. + . bacadaaabaaadaTable de Karnaugh: -> Z = d + . + . bacaaaZ = .. + a.. + ..c. + a..c. aabacadabacadaaabadabadaTable de Karnaugh: -> Z = . bada11 M thode g n rale de simplificationpour 4 variables 1. encercler les cases 1 pouvant former des groupes de 8 cases2. encercler les cases 1 pouvant former des groupes de 4 cases mais pas de 8 cases3. encercler les cases 1 pouvant former des groupes de 2 cases mais pas de 4 cases4.