MOGENS ODDERSHEDE LARSEN - larsen-net.dk

1 MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Sandsynlighedregning+=- P(AB)P(A) P(B) P(AB). =+ 1. udgave 2007iiFORORD Dette notat giver en kort gennemgang af de grundl ggende begreber i foruds ttes, at man har r dighed over en matematiklommeregner som eksempelvis Ti r kke noter indenfor matematik og statistik kan findes p adressen Nogle af noterne er beregnet for det gymnasiale niveau, andre er beregnet p et mere videreg er i pdf - 2007 MOGENS ODDERSHEDE LarsenIndholdiiiINDHOLD1 Definitioner og .. ggende sandsynlighed .. ngighed .. 61 Opgaver .. 72 .. Ordnet stikpr veudtagelse .. Uden tilbagel Med tilbagel Uordnet stikpr veudtagelse .. Hypergeometrisk fordeling .. 132 Opgaver .. 153 Stokastisk Definition af stokastisk variabel .. Sandsynlighedsfunktion for diskret stokastisk variabel.

2 Middelv rdi .. Varians og spredning .. 223 Opgaver .. 254 .. og beregning .. for 304 Opgaver .. 335 Deskriptiv .. beskrivelse af data .. v rdier .. 41 Indholdiv5 Opgaver .. 466 .. thedsfunktion .. T theds- og fordelingsfunktion for af normerede normalfordeling .. for normalfordeling .. 546 Opgaver .. Sandsynlighed11. Definitioner og regneregler IndledningTilf ldigt eksperiment (engelsk : random experiment) Ved et tilf ldigt eksperiment forst s et eksperiment, som kan resultere i forskellige udfald, selvom eksperimentet gentages p samme m de hver gang. Man kan ikke p forh nd forudsige,hvilket udfald der vil indtr p tilf ldige eksperimenter 1)Best r eksperimentet i kast med en terning ved vi, at vi vil f et af udfaldene 1,2,3,4,5,6(Udfaldsrummet U = {1, 2, 3, 4 ,5, 6}), men man kan ikke forudsige udfaldet 2) Best r eksperimentet i, at vi som i eksempel tilf ldigt udtager en patient og m ler pHv rdien i hans kn , ved vi m ske at v rdien vil ligge mellem 5 og 10 ( Udfaldsrummet), men vi kan ikke forudsige [; ]5103)Best r eksperimentet i, at vi tilf ldigt udtr kker en v lger, og sp rger hvilket partivedkommende vil stemme p hvis der var valg i morgen, s er udfaldsrummet de forskelligeopstillingsberettigede delm ngde af udfaldsrummet kaldes en h ndelse.

3 Eksempel: A: at f et lige jental ved kast med en terning SandsynlighedDet er en erfaring, at ges antallet af gentagelser af et eksperiment, vil den relative hyppighedaf en h ndelse A stabilisere sig mod en bestemt v rdi.("de store tals lov"), som s kaldes sandsynligheden for A og ben vnes P(A) (P = probability) .Eksempel De relative hyppigheders stabilitetEt eksperiment best r i at kaste en terning, og h ndelsen A best r i at f et lige jental. Terningenkastes nu 100 gange, og man f r et lige jental 55 gange. Eksperimentet udf res igen 100 gange,og man f r A 47 gange. Igen kastes 100 gange, og man f r nu A 57 gange. Til sidst kastes 100gange, og man f r A 40 gange. Eksperimentet foretages nu i serier p 1000 gange, hvor man hver gang opt ller antal gange Aforekommer. Resultaterne vises i f lgende tabel:Serier p 100 gentagelserSerier med 1000 gentagelser123 4123 4 Antal gange A: et lige jental55475140486508488509 Relativ ses, at med 1000 gentagelser er de relative hyppigheder t ttere samlet (ligger mellem 48,6%og 50,9%) end hvis man kun kastede 100 gange (mellem 40% og 55%).

4 Hvis terningen var en1. Definitioner og regneregler2 Fig. Komplement rm ngde gte terning(fuldst ndig homogen og symmetrisk), m tte man p forh nd forvente, at det tal,som de relative hyppigheder grupperede sig omkring, var tallet Man vil derfor sige, atsandsynligheden for at f et lige jental er , eller kort P(A) = Grundl ggende begreberI det f lgende vil eksempel blive benyttet til illustration af definitioner og begreber. Eksempel Gennemg ende fabrik har erfaring for, at den daglige produktion af glasfigurer indeholder 10 %misfarvede, 20% har ridser, og 1 % af produktionen er b de ridsede og eksperiment best r i tilf ldigt at udtage en glasfigur af produktionen. Lad A v reh ndelsen at f en misfarvet og lad B v re h ndelsen at f en rm ngden til A ben vnese l l e r o g e rAm ngden af alle udfald i udfaldsrummet U, der ikke er i A(den skraverede m ngde p figur ).

5 Eksempelvis er i eksempel m ngden af alle glasfigurer,Ader ikke er P ( A ) = ses umiddelbart, at = 1 - P(A) = ()Vi har derfor klart f lgende s tning: = 1 - P ( A ) PA()F llesm ngden til A og B ben vnes og erAB m ngden af alle udfald i udfaldsrummet U, der tilh rerb de A og B (Den skraverede m ngde i figur ).Eksempelvis er i eksempel m ngden af alleAB glasfigurer, der b de er misfarvede og eksemplet f lger, at .PA B(). =001 Fig F llesm Additionss tningen3 Fig. Foreningsm ngdeForeningsm ngden af A og B ben vnes ogAB er m ngden af alle udfald i udfaldsrummet U, derenten tilh rer A eller B eventuelt dem begge (denskraverede m ngde p figur )Eksempelvis er i eksempel m ngden afAB alle glasfigurer, der enten er misfarvede eller ridsedeeventuelt begge kaldes for den sikre h ndelse, dens komplement re h ndelse for den umulige h ndelse.

6 P ( ) = 0 En h ndelse, som kun indeholder t udfald, kaldes en elementarh ndelse. To m ngder hvis f llesm ngde er tom kaldes Additionss tning Ved betragtning af ses umiddelbart ved at betragte de skraverede arealer, at der g lderAdditionss tning: PA B PA PB PA B()()()(). =+ I eksempel er PA B().. =+ =01 02 001 029PA B()UPA()PB()PA B()I Additionss tning1. Definitioner og regneregler4 Fig. Betinget sandsynlighedFor nogle h ndelser A og B g lder, at , men denne formel g lder ikkePA B PA PB()()() = generelt. Eksempelvis er i eksempel . PA PBPA B() () ..() = = 01 02 002 For at f en mere generel regel indf res som kaldes sandsynligheden for, at BPBA()indtr ffer, n r A er indtruffet (den af A betingede sandsynlighed for B).

7 For at forklare den f lgende definition, vil vi simplifi-cere eksempel , idet vi antager, at den dagligeproduktion er 100 glasfigurer. I s fald er der 10misfarvede figurer, 20 ridsede figurer, og 1 figur der erb de misfarvet og ridset. Hvis vi begr nser vort udfaldsrum til A, s BPA()()()== = 110110010100 Denne beregning begrunder rimeligheden i f lgende definition:Den af A betingede sandsynlighed for B (eller sandsynligheden for, at B indtr ffer,PBA()n r A er indtruffet ) defineres BPA()()()= Ved multiplikation f s Produkts tningen: .PA B PA PBA()()() = Benyttes produkts tningen p eksempel f s .PA B PA PBA()()().. = = =01 01 001 Eksempel : Betinget beholder indeholder 3 r de og 3 hvide kugler. Vi udtr kker successivt 2 kugler fra betragter f lgende 2 h ndelser:A: Den f rst udtrukne kugle er r d.

8 B: Den anden udtrukne kugle er r hvis PA B() 1) kugleudtr kningen foreg r, ved at den f rst udtrukne kugle l gges tilbage f r den andenudtr ) kugleudtr kningen foreg r, ved at den f rst udtrukne kugle ikke l gges tilbage f r den andenudtr sning1) Her er og derfor if lge produkts tningen PBA()=36PA B PA PBA()()() = =142) Her er og derfor PBA()=25PA B() = = Betinget sandsynlighed5 Bayes s tningFor to h ndelser A og B for hvilken P(A) > 0 g lder Bevis:Af definitionen p betinget sandsynlighed og produkts tningen f s PB APA BPAPB APAPB PABPA()()()()()() ()()= = = Bayes s tning g r, at det er let at omskrive fra den ene betingende sandsynlighed til den er tilf ldet, hvis den ene af de to betingede sandsynligheder er megetPB APAB() ()oglettere at beregne end den (Bayes s tning)I en officeruddannelse kan man v lge mellem en teknisk linie og en operativ linie.

9 P enbestemt rgang har 60 % valgt den operative linie og af disse er 20% kvinder. P den tekniskelinie er 10% lodtr kning v lges en ) Find sandsynligheden for, at denne er en ovenst ende lodtr kning viste det sig at eleven var en ) Hvad er sandsynligheden for, at hun kommer fra den tekniske sning:Vi definerer f lgende h ndelser:T: Den udtrukne er teknikerK: Den udtrukne er en )PKPT K PO KPKT PT PKO PO() () () ( ) () ( ) () ..= + = + = + ==01 04 02 06 016 16%b) Af Bayes s tning f s: PTKPKT PTPK()()()()..= = ==01 040161425%En anden metode ville det v re, at antage, at der bliver optaget 100 har s f lgende skemaKvinderI altOperativ1260 Teknisk4 40 Heraf f s umiddelbart og PK()==1610016%PTK()==41625%Bayes s tning: PB APB PABPA()() ()()= 1. Definitioner og Statistisk uafh h ndelser A og B siges at v re statistisk uafh ngige, s fremt.

10 PA B PA PB()()() = Navnet skyldes, at vi i dette tilf lde har og , s ledes atPBA PB()()=PABPA()()=sandsynligheden for, at den ene h ndelse indtr ffer, ikke afh nger af, om den anden h ndelseindtr ffer. Eksempelvis ved kast med en terning, s vil sandsynligheden for at f en sekser i andet kast v reuafh ngigt af udfaldet i f rste kast, s ledes at sandsynligheden for at f 2 seksere i de f rste 2kast er .1616 Definitionen af statistisk uafh ngighed generaliseres til flere h ndelser end 2, s ledes at der itilf lde af 3 uafh ngige h ndelser og ogs g lder:AA12,A3 .PA AAPA PA PA()()()()12 3123 = Opgaver til kapitel 17 OpgaverOpgave en mindre by viser en unders gelse, at 60% af alle husstande holder en lokal avis, mens 30%holder en landsd kkende avis. Endvidere holder 10% af husstandene begge aviser. Lad en husstand v re tilf ldig udvalgt, og lad A v re den h ndelse, at husstanden holder enlokal avis, og B den h ndelse, at husstanden holder en landsd kkende sandsynlighederne for ovenn vnte h sandsynlighederne for nedenst ende h : Husstanden holder begge aviser.