1 Algebraische Grundlagen - Bayern

1 Merkhilfe Mathematik (FOS/BOS) Nichttechnische Ausbildungsrichtungen Seite 1 von 8 1 Algebraische Grundlagen Binomische Formeln 22222222(ab)a2abb(ab)a2abb(ab)(ab)ab+=++ -=-++ -=- 33223332233322(ab)a3ab3abb(ab)a 3ab3ab bab(a b)(aabb)+=+++-=+-= ++ Absolutbetrag x f r x0|x|x f r x0 = < Wurzeln und Potenzen aaa = a0 2a|a|= abab = aabb= =14243 123 0 a 1= 1aa= xx1aa-= x+yxyaaa = xxyyaaa-= ()yxyxaa = ()xxxabab = xxxaabb = 1nnaa= mnmnaa= Logarithmen zblogazba= = ()bbbloguvlogulogv=+ bbbuloglogulogvv=- zbbloguzlogu= bcblogalogalogc= Geradengleichung ymxt= + (allgemeine Form) 00ym(xx)y= -+ (Punkt-Steigungs-Form) Parabelgleichung 2yax + bx + c= (allgemeine Form) 2ssya(xx) + y= (Scheitelform) 12ya(xx)(xx)= (Linearfaktorform) L sungsformel f r die quadratische Gleichung 2axbxc0++= und 2b4ac0- 21;2bb4acx = 2a- -fi Merkhilfe Mathematik (FOS/BOS) Nichttechnische Ausbildungsrichtungen Seite 2 von 8 2 Analysis Symmetrie bez glich des Koordinaten-systems ffxf(x) f rallex(D)- = fi fG ist achsensymmetrisch zur y-Achse (f hei t dann gerade Funktion) ffxf(x) f rallexD()=-- fi fG ist punktsymmetrisch zum Ursprung (f hei t dann ungerade Funktion) Grenzwerte f r r0> gilt: rxxxe0 - fi rx0xlnx0 fi rlnxx0x + fi rxxx0e + fi Differenzen-quotient 00f(x)f(x)xx-- (Sekantensteigung bzgl.)

2 0x und x) Ableitung /0f(x) (Differential-quotient) Besitzt der Graph fG an der Stelle 0x eine eindeutige Tangente, so wird die Steigung dieser Tangente mit /0f(x) bezeichnet. Dann gilt: /0000f(x)f(x)xxf(x)xx- fi - Schreibweisen: /df(x)df(x) f(x)dxdx== dss(t)(t)dt=& Ableitung der Grundfunktionen r1rd(x)rxdx-= xxd(e)edx= d(sinx)cosxdx= rr1d1r dxxx+ = d1(lnx)dxx= d(cosx)sinxdx=- Ableitungsregeln f(x)u(x)v(x)=+ ///f(x)u(x)v(x)fi=+ f(x)cu(x)= //f(x)cu(x)fi= f(x)u(x)v(x)= ///f(x)u(x)v(x)u(x)v(x)fi= + u(x)f(x)v(x)= ///2u(x)v(x)u(x)v(x)f(x)[v(x)] - fi= ()f(x)uv(x)= ()///f(x)uv(x)v(x)fi= Merkhilfe Mathematik (FOS/BOS) Nichttechnische Ausbildungsrichtungen Seite 3 von 8 Monotonie-kriterium /f(x)0< im Intervall I fi fG f llt streng monoton in I.

3 /f(x)0> im Intervall I fi fG steigt streng monoton in I. Art von relativen Extrema ///00f(x)0undf(x)0=> fi f hat an der Stelle0x ein relatives Minimum. ///00f(x)0undf(x)0=< fi f hat an der Stelle0x ein relatives Maximum. Graphen- kr mmung //f(x)0< im Intervall I fi fG ist in I rechtsgekr mmt. //f(x)0> im Intervall I fi fG ist in I linksgekr mmt. Wendepunkt Ist //0f(x)0= und wechselt //f(x) an der Stelle 0x das Vorzeichen, so hat fG an der Stelle 0x einen Wendepunkt. Terrassenpunkt Ist /0f(x)0= und //0f(x)0= und wechselt //f(x) an der Stelle 0x das Vorzeichen, so hat fG an der Stelle 0x einen Terrassenpunkt. Bestimmtes Integral []b/baaF(x)f(x)f(x)dxF(x)F(b)F(a)=fi==- Partielle Integration []bb/b/aaau(x)v(x) dx = u(x)v(x)v(x)u(x) dx - Integration durch Substitution 11g(b)b/ag(a)f(x)dxf(g(t))g(t) dt mit x = g(t)--= Unbestimmte Integrale r1rxxdxC(r1)r1+=+ -+ 1dxx= ln|x|C+ xxedxeC=+ lnxdxx xlnxC=-++ /f(x)dxln|f(x)|Cf(x)=+ /f(x)f(x)f(x)edxeC =+ 1f(axb)dxF(axb)Ca+= ++ wobei F eine Stammfunktion von f ist Merkhilfe Mathematik (FOS/BOS) Nichttechnische Ausbildungsrichtungen Seite 4 von 8 3 Wahrscheinlichkeitsrechnung W sei der Ergebnisraum eines Zufallsexperiments und A,B W seien zwei beliebige Ereignisse.

4 Gesetze der Mengenalgebra A \A=W {}AA = AA= A \ BAB = Gesetze von De Morgan ABAB = ABAB = Unvereinbarkeit {}AB = A und B hei en unvereinbar. Ereignis-wahrscheinlichkeiten {}P()0= P()1W= P(A)1P(A)= Satz von Sylvester P(AB) P(A)P(B)P(AB) =+- Bedingte Wahrscheinlichkeit ()()()APABPBPA = Unabh ngigkeit von zwei Ereignissen ()()APBPB= oder ()()()PABPAPB = A und B sind stochastisch unabh ngig. Fakult t n!n(n1)(n2)..21= Der Wert n! gibt an, wie viele M glichkeiten es gibt, n unterscheidbare Elemente in einer Reihe anzuord-nen. Binomialkoeffizient ()()() !k!k!nk!k - -+ == - Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele M glichkei-ten es gibt, aus einer Menge mit n Elementen Teil-mengen mit k Elementen zu bilden. Laplace-Experiment Ein Laplace-Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle Elementarereignisse des zugeh rigen Ergebnisraumes gleich wahrscheinlich sind.

5 Es gilt dann: ()|A|PA||=W Merkhilfe Mathematik (FOS/BOS) Nichttechnische Ausbildungsrichtungen Seite 5 von 8 Ma zahlen von Zufallsgr en Die Zufallsgr e X nehme die Werte 12nx,x,..,x jeweils mit den Wahrscheinlichkeiten 12np,p,..,pan. Dann gilt: Erwartungswert () = + ++ Varianz ()()()()() =-m +-m ++-m ()()22 VarXEX=-m (Verschiebungsregel) Standardabweichung ()VarXs= Binomialverteilung Eine Zufallsgr e X beschreibe die Anzahl der Treffer in einer Bernoullikette der L nge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p. Dann gilt: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X hei t Binomialverteilung. X hei t binomialverteilt, genauer B(n; p)-verteilt. Ist eine Zufallsgr e X binomialverteilt nach B(n; p), so gilt: ()()nkknP(Xk)Bn;p;kp1pk- === - f r k = 0, 1.

6 , n Erwartungswert: E(X)np= Varianz: ()Var(X)np1p= - Hypothesentest Beim Testen der Nullhypothese H0 in einem Signifikanztest mit Signifikanzniveau a k nnen zwei Fehler auftreten: Fehler 1. Art: H0 wird abgelehnt, obwohl sie wahr ist. Fehler 2. Art: H0 wird angenommen, obwohl sie falsch ist. Das Signifikanzniveau des Tests ist die gr tm gliche noch akzeptierte Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art. Merkhilfe Mathematik (FOS/BOS) Nichttechnische Ausbildungsrichtungen Seite 6 von 8 4 Geometrie Fl chengeometrie A: Fl cheninhalt U: Umfang Allgemeines Dreieck Gleichseitiges Dreieck 1 Agh2= 2aA34= ah = 32 Kreis Trapez U2r= p 2Ar= p acAh2+= Raumgeometrie V: Volumen G: Grundfl che M: Mantelfl che O: Oberfl che Prisma Pyramide VGh= 1 VGh3= Gerader Kreiszylinder Gerader Kreiskegel 2 Vrh= p M2rh= p 21 Vrh3= p Mrm= p Kugel 34Vr3= p 2O4r= p Geradengleichung g: xau=+l rrr (Parameterform) Ebenengleichung E: xauv =+l +m rrrr (Parameterform) 123E: axbxcxd0 + + += (Koordinatenform) E: n(xa)0=rrro (Normalenform) 312xxxE.

7 1stu++= (Achsenabschnittsform) mit den Achsenschnittpunkten S(s|0|0),T(0|t|0),U(0|0|u) Merkhilfe Mathematik (FOS/BOS) Nichttechnische Ausbildungsrichtungen Seite 7 von 8 Skalarprodukt im IR3 112211223333ababababababab == + + rroo Eigenschaften und Anwendungen des Skalarprodukts zueinander senkrechte Vektoren: abab0^ =rrrro Betrag eines Vektors: |a|aa=rrro Einheitsvektor: 0aa|a|=rrr Winkel zwischen zwei Vektoren: abcos|a||b|j= rrorr mit 0180 j oo Vektorprodukt 112332223113331221abababababababababab - = = - - rr Eigenschaften und Anwendungen des Vektorprodukts ab rr steht senkrecht auf ar und br. |ab||a||b|sin = jrrrr mit 0180 j oo Ma zahl F des Fl cheninhalts des Dreiecks ABC: 1F|ABAC|2= uuruur Ma zahl V des Volumens der dreiseitigen Pyramide ABCD: ()1 VABACAD6= uuruuruuro Lineare Unabh ngigkeit 3a,b, c IR rrr sind linear unabh ngig.

8 Die Gleichung abc0l + +n =rrrr ist nur mit = = = 0 l sbar. ()abc0 rrro Besondere Punkte Mittelpunkt M einer Strecke AB: ()1 OMOAOB2= +uuuruuuruur Schwerpunkt S eines Dreiecks ABC: ()1 OSOAOBOC3= ++uuruuuruuruur Merkhilfe Mathematik (FOS/BOS) Nichttechnische Ausbildungsrichtungen Seite 8 von 8 5 Trigonometrische Grundlagen Rechtwinkliges Dreieck Satz des Pythagoras: 222abc+= H hensatz: 2hpq= Kathetensatz: 22acp;bcq== asinca= bcos ca= sinatan cosbaa==a Beziehungen am Einheitskreis PPP(x|y)liegtaufdemEinheitskreis Ppcosx und sinyfib=b= b180b=p Trigonometrische Beziehungen 22(sin)(cos)1j+j= ()sinsin-j=-j ()sin90cos -j=j ()coscos-j=j ()cos90sin -j=j Additions-theoreme sin(2)2sincosj= j j 21(sin)(1cos)22j= j 22cos(2)(cos) (sin)j=jj 21(cos)(1cos)22j= j+ sin()sincoscossina+b=a b+a b cos()coscossinsina+b=a ba b sinsin2sincos22a+ba-ba+b= sinsin2sincos22a-ba+ba-b= 2sincossin()sin() a b=a-b+a+b Die Merkhilfe stellt keine Formelsammlung im klassischen Sinn dar.

9 Bezeichnungen werden nicht erkl rt und Voraussetzungen f r die G ltigkeit der Formeln in der Regel nicht dargestellt. Stand der Merkhilfe.