1. Sistemas de ecuaciones lineales. Método gráfico

1 5 Sistemas de ecuaciones y de inecuaciones188 Unidades did cticas Matem ticas orientadas a las ense anzas acad micas 4. ESO1. Sistemas de ecuaciones lineales . M todo gr ficoSugerencias did cticasEn este ep grafe repasamos las ecuaciones lineales con dos inc gnitas y sus soluciones. Recordamos qu es una soluci n y c mo representar todas sus puede trabajar con los alumnos el hecho de que el conjun-to de soluciones, aunque podemos representarlo, es infinito y que con una sola condici n no es posible determinar dos n meros. Ah introducimos una segunda ecuaci n y recordamos qu es un sistema.

2 Con el ejemplo pueden comprobar que en ese caso s es posible encontrar los valores de esos dos n til trabajar estos y otros ejemplos con GeoGebra, viendo su representaci n gr fica y c mo verifican la ecuaci n las coorde-nadas de los puntos que pertenecen a de las actividades1 Estudia si el par (3, 1) es soluci n de las siguientes ecuaciones lineales con dos inc ) x + 3y = 0 b) 2x + y = 7 c) x + 2y = 5 d) 3x 5y = 10a) 3+3 ( 1)=0 Es soluci n. c) 3+2 ( 1)= 5 Es soluci ) 2 3+( 1)=5 7 No es soluci n. d) 3 3 5 ( 1)=14 10 No es soluci Determina los valores de k para que el par ( 2, 5) sea soluci n de estas ) 3x+2y=k b) 2x+ky= 1 c) kx 3y= 8 d) x+13y=ka) 3 ( 2)+2 5=k 4=k c) k ( 2) 3 5= 8 k= 72b) 2 ( 2)+k 5= 1 k= 1 d) ( 2)+13 5=k k=113975 Actividades5 Sistemas de ecuaciones y de inecuaciones96 Estudia si el par (3, 1) es soluci n de las siguientes ecuaciones lineales con dos inc los valores de k para que el par ( 2, 5) sea soluci n de estas ) 3x+2y=k c) kx 3y= 8b) 2x+ky= 1 d) x+13y=kComprueba si el par 23, 12 es soluci n de estos Sistemas )

3 3x+6y= 1x y=16 b) 3x+2y= 32x+y=56 Averigua los valores de m y n para que el par ( 7, 3) sea soluci n de los siguientes ) mx+y=10x+ny= 1 b) 3x+my=6nx+y=17 Copia y completa las tablas con soluciones para cada una de las ecuaciones . Representa el conjunto de todas las soluciones de cada ) x 3y=2 c) x2 y3= ) x+5y=2 d) x+y2= las soluciones e indica cu ntos pares de valores hay que buscar como m nimo para poder representar el conjunto de todas las soluciones de una ecuaci n de primer grado con dos inc gr ficamente los siguientes ) x 3y=2 x+5y=2 b) x2 y3=2 x+y2= 92 123456 Relaciona cada sistema con su gr ) 2x+y= 13x+2y=0 c) 4x+y= 53x 2y= 12 b) 2x+y=1x+2y= 4 d) 2x y=13x 2y=0 I) O11XY III) O11 XYII) O11XY IV) O11 XYResuelve gr ficamente los siguientes )

4 2x+y=3 x+2y=6 c) 3x 5y=6x+3y=2 b) 5x y= 73x+2y=1 d) x+y= 3 x+y=1 Observa la resoluci n gr fica de estos Sistemas . Explica c mo se podr a determinar la soluci n exacta a partir de la informaci n de la gr ) x+5y=03x 10y= 5 b) 4x+3y=68x 5y=1 O11XY O11 XYObserva las soluciones representadas en estas gr ficas e intenta determinar qu sistema ) O11XY b) O11XY789101. Sistemas DE ecuaciones lineales . M TODO GR FICOM ateo apunt los resultados de dos ejercicios de Matem ticas en una hoja y la ha perdido. Solo recuerda que, al verlos, llam su atenci n que el doble del primero sumaba uno con el = primer resultado y = segundo resultado2x+y=1La relaci n entre los dos resultados se expresa con una ecuaci n lineal.

5 Para resolverla, Mateo busca los pares de valores que verifican la ecuaci n, prueba opciones y obtiene estos resultados: x=1 ey= 1 2 1+( 1)=1x=14ey=12214+12=1 Los anota en una tabla y, al representarlos como puntos en el plano, resulta una 1121+ que las soluciones son infinitas, y solo con esa informaci n es imposible determinar los resultados de los recuerda, adem s, que el segundo resultado era el doble que el primero. Ahora tiene dos condiciones, por lo que plantea un sistema:2x+y=1y=2x Repite el proceso para representar la recta de las nuevas 12ey= 1 2 12 = 1x=22ey= 2 2 22=2x las infinitas soluciones que tiene cada una de las dos ecuaciones por separado, solo una vale para ambas a la vez: el punto de intersecci n.

6 El par 14,12 muestra los resultados. Decimos que este par de n meros es la soluci n del sistema de dos ecuaciones lineales con dos inc gnitas, x e y, est formado por dos ecuaciones lineales :ax+by=ca x+b y=c La soluci n es un par de n meros, (x0,y0), que verifica ambas ecuaciones a la s Identificar Sistemas de ecuaciones lineales con dos inc gnitas. Determinar gr ficamente la soluci n de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos inc atenci nLas soluciones de una ecuaci n lineal con dos inc gnitas son pares de valores (x0, y0) que, al representarlos como puntos del plano, dan lugar a una ) x + 3y = 0 c) x + 2y = 5b) 2x + y = 7 d)

7 3x 5y = 10 Averigua qu civilizaciones antiguas ya utilizaban Sistemas de ecuaciones lineales y c mo los resolv si quedan documentos escritos de ello y, en caso afirmativo, indica de qu tipo OXY 112x + y = 1 OXY 112x + y = 1 y = 2x 1895 Sistemas de ecuaciones y de inecuacionesUnidades did cticas Matem ticas orientadas a las ense anzas acad micas 4. ESO3 Comprueba si el par 23, 12 es soluci n de estos Sistemas ) 3x+6y= 1x y=16 b) 3x+2y= 32x+y=56 a) 3 23+6 12 = 123 12 =76 16 No es soluci n.

8 B) 3 23+2 12 = 32 23+ 12 =56 Es soluci Averigua los valores de m y n para que el par ( 7, 3) sea soluci n de los siguientes ) mx+y=10x+ny= 1 b) 3x+my=6nx+y=17 a) m ( 7)+3=10 7+n 3= 1 m= 1n=2 b) 3 ( 7)+m 3=6n ( 7)+3=17 m= 5n= 2 5 Copia y completa las tablas con soluciones para cada una de las ecuaciones . Representa el conjunto de todas las soluciones de cada una. a) x 3y=2 b) x+5y=2 c) x2 y3=2 d) x+y2= 92 Observa las soluciones e indica cu ntos pares de valores hay que buscar como m nimo para poder representar el conjunto de todas las soluciones de una ecuaci n de primer grado con dos inc gnitas.

9 A) x52y10 b) x3 2y10 c) x40y0 6 d) x50y1 9 OXY11 OXY11 OXY22 OXY22Es suficiente con encontrar dos soluciones de una ecuaci n para poder representarlas Resuelve gr ficamente los siguientes Sistemas . a) x 3y=2 x+5y=2 b) x2 y3=2 x+y2= 92 a) OXY11 b) OXY117 Relaciona cada sistema con su gr ) 2x+y= 13x+2y=0 b) 2x+y=1x+2y= 4 c) 4x+y= 53x 2y= 12 d) 2x y=13x 2y=0 5 Sistemas de ecuaciones y de inecuaciones190 Unidades did cticas Matem ticas orientadas a las ense anzas acad micas 4.

10 ESOi) O11XY ii) O11XY iii) O11XY iv) O11 XYa) I) b) III) c) IV) d) II)8 Resuelve gr ficamente los siguientes ) 2x+y=3 x+2y=6 b) 5x y= 73x+2y=1 c) 3x 5y=6x+3y=2 d) x+y= 3 x+y=1 a) (0, 3) b) ( 1, 2) c) (2, 0) d) ( 2, 1) OXY11 OXY1 1 OXY1 1 OXY1 19 Observa la resoluci n gr fica de estos Sistemas . Explica c mo se podr a determinar la soluci n exacta a partir de la informaci n de la gr ) x+5y=03x 10y= 5 O11XY b) 4x+3y=68x 5y=1 O11 XYNos fijamos en la inc gnita que tiene un valor entero y despejamos la otra sustituyendo en cualquiera de las dos ecuaciones el dato ) x+5y=03x 10y= 5 ( 1,y) 1+5y=0 y=15 1,15 ( 1, y ) x+5y=03x 10y= 5 ( 1,y) 1+5y=0 y=15 1,15 b) 4x+3y= 68x 5y=1 (x,1) 4x+3 1= 6 x=34 34,1 ( x, 1) 4x+3y= 68x 5y=1 (x,1)