11 Aplicaciones de las derivadas - Blog de Vicente ...

1 316 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, de las derivadas Piensa y calcula Dada la gr fica de la funci n f(x) = representada en el margen, halla los m ximos ylos m nimos relativos y los intervalos de crecimiento y n:M ximo relativo: O(0, 0)M nimo relativo: B(2, 4)Creciente ( ): ( @,0) (2, +@)Decreciente ( ): (0, 1) (1, 2)x2x 11. M ximos, m nimos y monoton los m ximos y los m nimos relativos y determi-na la monoton a de las siguientes funciones:a) y = x3 3x2+ 3b) y = 3x4 4x3 Soluci n:a) y' = 3x2 6xy' = 0 x = 0, x = 2M ximo relativo: A(0, 3)M nimo relativo: B(2, 1)Creciente ( ): ( @,0) (2, +@)Decreciente ( ): (0, 2) b) y' = 12x3 12x2y' = 0 x = 0, x = 1M ximo relativo: no nimo relativo:A(1, 1)Creciente ( ): (1, +@)Decreciente ( ): ( los m ximos y los m nimos relativos y determi-na la monoton a de las siguientes funciones.

2 A) y = b) y = Soluci n:a) y' = y' = 0 x = 1, x = 1M ximo relativo: A( 1, 2)M nimo relativo: B(1, 2)Creciente ( ): ( @, 1) (1, +@)Decreciente ( ): ( 1, 0) (0, 1)b) y' = y' = 0 x = 0M ximo relativo:A(0, 3)M nimo relativo: no ( ): ( @,0)Decreciente ( ): (0, +@) los m ximos y los m nimos relativos y determi-na la monoton a de la siguiente funci n: y = Soluci n:y' = y' = 0 x = 0M ximo relativo: no nimo relativo:A(0, 2)Creciente ( ): (0, +@)Decreciente ( ): ( los m ximos y los m nimos relativos y determi-na la monoton a de la siguiente funci n: y = (2 x)exx x2+ 4 x2+ 46x(x2+ 1)2x2 1x23x2+ 1x2+ 1x Aplica la teor aYy = x2x 1 XTEMA 11.

3 Aplicaciones DE LAS DERIVADAS317 Grupo Editorial Bru o, los puntos de inflexi n y determina la curvatu-ra de las siguientes funciones:a) y = x3 9x2+ 27x 26b) y = x3+ 3x2 2 Soluci n:a) y' = 3x2 18x + 27y'' = 6x 18y'' = 0 x = 3y''' = 6y'''(3) = 6 0 Punto de inflexi n:A(3, 1)Convexa ( ): (3, +@)C ncava ( ): ( @,3)b) y' = 3x2+ 6xy'' = 6x + 6y'' = 0 x = 1y''' = 6y'''(1) = 6 ?0 Punto de inflexi n:A(1, 0)Convexa ( ): ( @,1)C ncava ( ): (1, los puntos de inflexi n y determina la curvatu-ra de las siguientes funciones:a) y = b) y = Soluci n:a) y' = y'' = y'' = 0 x = 0y''' = y'''(0) = 6 ?

4 0 Punto de inflexi n: O(0, 0)Convexa ( ): ( 1, 0) (1, +@)C ncava ( ): ( @, 1) (0, 1)b) y' = y'' = 6x(x2 3)(x2+ 1)33(1 x2)(x2+ 1)26(x4+6x2+ 1)(x2 1)42x(x2+ 3)(x2 1)3x2+ 1(x2 1)23xx2+ 1xx2 1 Aplica la teor a Piensa y calcula Dada y = representada en el margen, halla los puntos de inflexi n y los intervalosde concavidad y n:Punto de inflexi n: O(0, 0)Convexa ( ): ( @,0)C ncava ( ): (0, +@)2x x2+ 12. Puntos de inflexi n y curvaturaYf(x) = 2x x2 + 1 XSoluci n:y' = (1 x)exy' = 0 x = 1M ximo relativo:A(1, e)M nimo relativo: no ( ): ( @,1)Decreciente ( ): (1, los m ximos y los m nimos relativos y determi-na la monoton a de la siguiente funci n en (0, 2 ):y = sen xSoluci n:y' = 1/2 cos xy' = 0 x = /3, x = 5 /3M ximo relativo: A,M nimo relativo: B,Creciente ( ): ( /3, 5 /3)Decreciente ( ).

5 (0, /3) (5 /3, 2 )) 3 36 3()5 + 3 365 3(x2 Piensa y calcula Representa en unos ejes coordenados los puntos A(1, 2) y B(5, 2) y dibuja una funci n que comience en A(1, 2) y finalice enB(5, 2). Hay alg n punto en el que la derivada es cero? Ser a posible evitar que haya un punto as ?Soluci n:Puede haber varios puntos en los que la derivada es cero. Por ejemplo:YX3. Teorema de Rolle y el teorema del Valor Medio318 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, '' = 0 x = , x = 0, x = y''' = y'''( ) = 9/16 ?0y'''(0) = 18 ?

6 0y'''() = 9/16 ?0 Punto de inflexi n:A( , 3/4), O(0, 0), B(, 3/4)Convexa ( ): ( , 0) (,+@)C ncava ( ): ( @, ) (0,) los puntos de inflexi n y determina la curva-tura de la funci n y = xexSoluci n:y' = (x + 1)exy'' = (x + 2)exy'' = 0 x = 2y''' = (x + 3)exy'''( 2) = 1/e2?0 Punto de inflexi n:A( 2, 2/e2)Convexa ( ): ( 2, +@)C ncava ( ): ( @, 2) los puntos de inflexi n y determina la curva-tura de la funci n y = L (x2+ 4)Soluci n:y' = y'' = y'' = 0 x = 2, x = 2y''' = y'''( 2) = 1/8 0y'''(2) = 1/8 0 Punto de inflexi n:A( 2, 3 L 2), B(2, 3 L 2)Convexa ( ): ( 2, 2)C ncava ( ): ( @, 2) (2, los puntos de inflexi n y determina la curva-tura de la funci n y = sen x cos x en (0, 2 )Soluci n.)

7 Y' = 1 + 2 cos2xy'' = 4 sen x cos xy'' = 0 x = /2, x = ,x = 3 /2y''' = 4(1 2 cos2x)y'''( /2) = 4 ?0y'''( ) = 4 ?0y'''(3 /2) = 4 ?0 Punto de inflexi n:A( /2, 0), B( ,0),C(3 /2, 0)Convexa ( ): ( /2, ) (3 /2, 2 )C ncava ( ): (0, /2) ( ,3 /2)4x(x2 12)(x2+ 4)32(x2 4)(x2+ 4)22xx2+ 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 318(x4 6x2+ 1)(x2+ 1)4 3 3Se puede evitar si la funci n no es continua. Por ejemplo:Y si es continua, que tenga un pico. Por ejemplo:YXYXTEMA 11. Aplicaciones DE LAS DERIVADAS319 Grupo Editorial Bru o, por qu el teorema de Rolle no es aplicable alas siguientes funciones en el intervalo [ 1, 1] a pesarde ser f ( 1) = f (1) = 0 Soluci n:a) f(x) no es derivable en ( 1, 1); no existe la derivadaen x = 0b) f(x) no es continua en [ 1, 1].

8 Tiene una discontinui-dad de salto infinito en x = si es aplicable el teorema de Rolle a las si-guientes funciones en los intervalos que se dan:a) f(x) = sen x en [0, 2 ]b) f(x) = 1 + en [ 1, 1]c) f(x) = x en [0, 1]Soluci n:a) El dominio de f(x) es y [0, 2 ] f(x) es continua en [0, 2 ] porque las funciones tri-gonom tricas son continuas en f(x) es derivable en (0, 2 ) porque las funciones tri-gonom tricas son derivables en su dominio. f(0) = f(2 ) = 0 Luego se puede aplicar el teorema de ) El dominio de f(x) es y [ 1, 1] f(x) es continua en [ 1, 1] por ser una funci n irra-cional.

9 F '(x) = , que en x = 0 no est definida. Luego no es derivable en ( 1, 1) No se puede aplicar el teorema de ) El dominio de f(x) es [0, +@) y [0, 1] [0, +@) f(x) es continua en [0, 1] por ser la diferencia deuna funci n polin mica y una irracional. f(x) es derivable en (0, 1) por ser la diferencia deuna funci n polin mica y una irracional. f(0) = f(1) = 0 Luego se puede aplicar el teorema de si es aplicable el teorema del Valor Medio a lassiguientes funciones en los intervalos [a, b] que se dany en caso afirmativo calcula los valores de c (a, b) ta-les que f '(c) = a) f(x) = en [ 2, 1]b) f(x) = en [0, 1]c) f(x) = 1 + en [1, 2]Soluci n:a) El dominio de f(x) es ( @, 2] y [ 2, 1] ( @,2] f(x) es continua en [ 2, 1] porque las funcionesirracionales son continuas en su dominio.

10 F(x) es derivable en ( 2, 1) porque las funcionesirracionales son derivables en su x2 2 xf(b) f(a)b a233 x x3 x2 YXf(x) = 2 2|x|Ya)b)Xy = x2 1x Aplica la teor a Piensa y calcula Calcula mentalmente los l mites siguientes:a) b) c) Soluci n:a) 2 b) +@c) 0xexl mx8+@3x2+ 1 xl mx8+@x2 1x 1l mx814. Regla de L H pital320 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, n:= = = n:= = = LxSoluci n:x L x = [0 ( @)] = = == = ( x) = n:x= [1@] = e(Lx)= e()= e 1= 1 n.