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12. Klasse TOP 10 Grundwissen 12 Erwartungswert ...

CC BY-SA: 12. Klasse TOP 10 Grundwissen12 Erwartungswert , Binomialverteilung03 Zufallsvariablenordnen jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl Beispiel beim zweimaligen W urfeln dem Ergebnis(3; 6)die Anzahl der 2er, hierX((3; 6)) = an, mit welcher WahrscheinlichkeitP(X=a)diejeweiligen Beispiel beim zweimaligen W urfeln f ur die AnzahlXder 2er:a0 1 2P(X=a)25361036136 DerErwartungswert =E(X)gibt einen mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten ge-wichteten Mittelwert an: =E(X) = aa P(X=a).DieVarianz 2=V(X)und dieStreuung (Standardabweichung) = V(x)sind Ma ef ur die mittlere quadrierte Abweichung vom Mittelwert: 2=V(X)= a(a )2 P(X=a).

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1 CC BY-SA: 12. Klasse TOP 10 Grundwissen12 Erwartungswert , Binomialverteilung03 Zufallsvariablenordnen jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Zahl Beispiel beim zweimaligen W urfeln dem Ergebnis(3; 6)die Anzahl der 2er, hierX((3; 6)) = an, mit welcher WahrscheinlichkeitP(X=a)diejeweiligen Beispiel beim zweimaligen W urfeln f ur die AnzahlXder 2er:a0 1 2P(X=a)25361036136 DerErwartungswert =E(X)gibt einen mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten ge-wichteten Mittelwert an: =E(X) = aa P(X=a).DieVarianz 2=V(X)und dieStreuung (Standardabweichung) = V(x)sind Ma ef ur die mittlere quadrierte Abweichung vom Mittelwert: 2=V(X)= a(a )2 P(X=a).

2 In obigem Beispiel: =E(X) = 0 P(X= 0) + 1 P(X= 1) + 2 P(X= 2) =13, 2=V(X) = (0 13)2 2536+ (1 13)2 1036+ (2 13)2 136= zum Verst andnis der Formeln f ur die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten ist derBinomialkoeffizient, der angibt, wie viele M oglichkeiten es gibt, ausnObjekten eine Teil-menge vonkSt uck (ohne Ber ucksichtigung der Reihenfolge) auszuw ahlen:(nk)=n!k!(n k)!Taschenrechner: Beispiel Lotto 6 aus 49:(496)=49!43! 6!= 13 983 816 Hypergeometrische Verteilung: Urnenexperiment Ziehen ohne Zur ucklegenP(A) =(Ss)(N Sn s)(Nn)NKugeln, davonSschwarze ( Treffer )N Swei e ( Niete ) @@Rn-mal ohne Zur ucklegenEreignisA:sschwarzen swei eBinomialverteilung: Urnenexperiment Ziehen mit Zur ucklegenEin Bernoulli-Experiment (zwei Versuchsausg ange: Treffer und Niete, Trefferwahrschein-lichkeitp) wirdn-mal unabh angig durchgef uhrt (Bernoulli-Kette der L angenzum Parameterp).

3 Die Wahrscheinlichkeit, genaukTreffer zu erhalten, ist dannB(n;p;k) =(nk)pk(1 p)n k(Binomialverteilung Stochastik-Tafel). Treffer mit Niete mit 1 p @@Rn-mal mit Zur ucklegenEreignisA:GenaukTrefferDie Wahrscheinlichkeit,h ochstenskTreffer zu erhalten, istB(n;p; 0) +B(n;p; 1) +..+B(n;p;k) =k i=0B(n;p;i)(Verteilungsfunktion Stochastik-Tafel)Beispiel 1:Bei einer bestimmten Telefon-Gesellschaft kommen 96 % aller Telefongespr ache beim erstenW ahlen zustande. Jemand muss 10 Gespr ache erledigen. Treffer: kommt durch ,p= 0,96,n= : kommt genau einmal nicht durch ,B: kommt mindestens achtmal durch.

4 A: d. h. genau 9 Treffer:P(A) =B(10; 0,96; 9) =(109) 0,969 0,04 = 0,27701(oder Tafel).B: KomplementB: h ochstens sieben Treffer .P(B) =Pn=10,p=0,96(k 8) = 1 Pn=10,p=0,96(k 7) =1 0,00621 = 0,99379(Tafel)Beispiel 2:Wie oft muss das Experiment durchgef uhrt werden, um mit mindestens 90 % Wahrscheinlichkeitmindestens einmalnicht durchzukommen, wenn die W. hierf ur 0,04 betr agt?Hier notiert man einen Ansatz ( Soll gelten:Pn=?,p=0,04(k 1) 0,90 ), geht zum Komplement uber( Pn=?,p=0,04(k= 0) 1 0,90, d. ,96n 0,10 ) und l ost die entstehende Exponentialgleichung durchbeidseitiges Logarithmieren ( nln 0,96 ln 0,10, d.)

5 Ln 0,10ln 0,96 56,4, alson 57 ).F ur binomialverteilte Zufallsvariablen gilt =E(X) =npund 2=npq=np(1 p).


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