12 SEMEJANZA. TEOREMA DE TALES

1 23212 SEMEJANZA. TEOREMA DE TALESEJERCICIOS PROPUESTOSLos lados de un rect ngulo son 6 y 8 cent metros. Es semejante al de lados 15 y 24 cent metros? Y alde 12 y 16 cent metros?En el primer caso, como 165 284 , no son el segundo caso, como 162 186 , s son semejantes. La raz n de semejanza es: 162 2 Halla la medida de los lados de un tri ngulo semejante a otro cuyos lados miden 5, 9 y 12 cent metros,con raz n de semejanza igual a a,b,clas longitudes de los lados del tri ngulo buscado. Por ser semejantes con raz n de semejanza 3, se ha de verificar: 5a b9 1c2 3. Luego:a 5 3 15,b 9 3 27 y c 12 3 36 Dibuja un tri ngulo rect ngulo de catetos 15 y 8 cent metros.

2 Si se unen sus puntos medios, resulta untri ngulo semejante a l?Razona la unir los puntos medios de los catetos, obtenemos un tri ngulo rect ngulo decatetos 4 y 7,5 hipotenusa de este tri ngulo mide, por el TEOREMA de Pit goras:c 42 7 ,52 72,25 8,5 cmLa hipotenusa del tri ngulo inicial mide:c 82 1 52 289 17 cmComo 71,55 84 81,75 2, s son un tri ngulo ABCse traza una recta paralela al lado BCdesde un punto B de manera queAB 0,25 AB. Cu l es la raz n de semejanza?La raz n de semejanza es: AABB 0,25AB AB 0,125 4 Divide un segmento de 7 cent metros de longitud en partes ) En 5 partes ) En 8 partes ) Se traza una semirrecta apoyada en uno de los extremos del segmento.

3 Con un comp s y una medida cualquiera se se alansobre la semirrecta 5 puntos C,D,E,Fy une el ltimo punto con el otro extremo del segmento (Gcon B) y se trazanlas paralelas a GBpor cada uno de los puntos. El segmento inicial queda dividido en 5 partes ) Se procede de modo an logo, marcando 8 puntos en la cm8 cm4 cm8,5 cm17 cmACBB ABCDEFGABCDEFGHIJ112027_U12 6/11/08 11:57 P gina 232 Divide un segmento en dos partes de modo que una de ellas sea el triple de la c mo lo traza una semirrecta apoyada en uno de los extremosdel segmento. Con un comp s y una medida cualquierase se alan sobre la semirrecta 4 puntos C,D,Ey une el ltimo punto con el otro extremo del segmento(Fcon B) y se traza la paralela a FBpor lados de un tri ngulo miden 10, 12 y 8 cent metros, y los de otro, 5, 6 y 4 cent metros.

4 Sonsemejantes?S , ya que 150 162 84 . La raz n de semejanza es si son semejantes los tri ngulos ABCy A B C , sabiendo que Ap Ap 40 , Bp 65 , Cp 75 .No necesariamente. Supongamos que Ap 40 ,Bp 90 ,Cp 50. En este caso, ambos tri ngulos no comparten las medidasde sus ngulos, por lo que no son un pol gono semejante a cada uno de los siguientes, de raz n 0, )Se traza el segmento AC. A continuaci n se divide el segmento ABpor la mitad, obteni ndose el punto traza la paralela a BCpor Eque corta a ACen F. Finalmente se traza la paralela a CDpor Fobteni ndose la figura )Se procede de modo an logo al caso la siguiente figura, el segmento AD est dividido en tres partes a partir de Dy D dos figuras semejantes a ella e indica la raz n de semejanza de cada la construcci n a partir de D, se traza el segmento AC.

5 A continuaci n se traza la paralela a CD por recta corta a ACen se traza la paralela a BCpor la construcci n a partir de D , se procede de modoan DD BACD DD FF BACDBACDEF112027_U12 6/11/08 11:57 P gina 233 Calcula la raz n de las reas de dos cuadrados semejantes de raz n de semejanza k 32 .Resoluci n gr fica:Si se divide cada lado del cuadrado ABCDen tres partes iguales, se observa que contiene 9 cuadrados unitarios, mientrasque el cuadrado AB C D contiene 4 cuadrados unitarios. Por tanto, la raz n entre las reas es: 94 Resoluci n anal tica:Sea ael lado de ABCD,y a , el lado de AB C D . Se tiene que: aa 32 Por tanto: reraea(A(AB BCC DD) ) aa 22 94 La raz n entre las reas de dos figuras semejantes es 196.

6 Halla la raz n de raz n de semejanza es:k 196 43 Qu tipo de representaci n es una miniatura?Una escultura es una representaci n tridimensional. En qu se diferencia de una maqueta?Una escultura no tiene por qu respetar las ha hecho una fotocopia ampliada del plano de una ciudad para ver con mayor claridad las calles. La fotocopia es otro plano?S , ya que las dimensiones en la fotocopia son proporcionales al plano inicial. Como las dimensiones del plano inicial eran pro-porcionales a las de la ciudad, las del plano fotocopiado tambi n han de el plano de un piso, la escala es 150 : 1. Explica si es correcto o si se ha cometido alg n 150 : 1 significa que 150 cm en el plano equivalen a 1 cm en la realidad.

7 Por tanto, es incorrecta, ya que supondr aque el plano es m s grande que el piso las dimensiones de un sal n de 4 metros de largo y 5 de ancho en un plano a escala:a) 1 : 200b) 1 : 400a) Escribiendo la proporci n: 2100 40x0 , luego x 2. Por otro lado, 2100 50y0 , luego y 2,5 Las dimensiones son 2 cm de largo y 2,5 cm de ) An logamente: 4100 40x0 , luego x 1. Por otro lado, 4100 50x0 , luego x 1,25 Las dimensiones son 1 cm de largo y 1,25 cm de DCBB C 112027_U12 6/11/08 11:57 P gina 234La maqueta de un edificio a escala 1 : 500 tiene 13 cm de largo, 4 de ancho y 20 de sus medidas cm en la maqueta representa 500 cm en la realidad.

8 Por tanto:13 cm representan: 500 13 6500 cm 65 m4 cm representan: 500 4 2000 cm 20 m20 cm representan: 500 20 1000 cm 10 mLa representaci n en un plano de una longitud de 20 m es un segmento de 2 cm. A qu escala se ha hecho?20 m 2000 cm. Como 2 cm representan 2000 cm, 1 cm ha de representar la mitad, es decir, 1000 tanto, la escala es: 1 : 1000 Halla las dimensiones de la manzana de edificios de este escala gr fica indica que 12 mm equivalen a 100 m. Las distancias medidas en el plano son: Lado correspondiente a la calle de Desenga o: 27 mm: 11020 2x7 , luego x 271 2100 225 m Lado correspondiente a la calle de los Magos: 12 mm: 11020 1x2 , luego x 100 m Lado correspondiente a la calle de Julio Pastor: 25 mm: 11020 2x5 , luego x 251 2100 208,34 m Lado restante: 4 mm: 11020 4x , luego x 4 12100 33,34 mRESOLUCI N DE PROBLEMASEsta figura representa la planta de un portal pices.

9 Div dela en cuatro partes iguales para que tengacuatro figura est formada por tres cuadrados iguales. Si dividimos cada uno de esos cuadrados en cuatro partes iguales trazando lasdiagonales de cada cuadrado, tendremos la figura dividida en 12 partes iguales. Como 12 es m ltiplo de 4, hemos divisi n de la figura en 4 partes iguales es la que indica el JULIO PASTORC/ DESENGA O3000200100112027_U12 6/11/08 11:57 P gina 235Un parterre de un jard n tiene forma de trapecio is sceles. Div delo en cuatro partes iguales paraplantar sendos tipos de flores divide el trapecio inicial en tres tri ngulos equil teros iguales, tal como muestra la figura.

10 A continuaci n se divide cadauno de los tri ngulos obtenidos en cuatro tri ngulos equil teros construidos al unir los puntos medios de los lados. De estemodo la figura inicial queda dividida en 12 partes iguales. Como 12 es m ltiplo de 4, hemos terminado. La divisi n de lafigura en 12 partes iguales es la que indica el LCULO MENTALUn lado de un tri ngulo mide 7 cent metros, y uno de sus ngulos, 60 . Se hace una fotocopia al 300%. Cu nto mide el nuevo lado? Y el nuevo ngulo?Para calcular la longitud del lado basta escribir la proporci n 1700 30x0 , luegox 21 tri ngulo obtenido tras la ampliaci n es semejante al primero, por lo que los ngulos no var tri ngulo tiene por lados 24, 32 y 40 cent metros.