13 CUERPOS GEOMÉTRICOS - matematicas.torrealmirante.net

1 25213 CUERPOS GEOM TRICOSEJERCICIOS PROPUESTOSO bserva la figura y di qu elemento geom trico determinan la recta y el recta ry el plano determinan un los cuatro puntos que delimitan una cara de un cubo, cu ntas rectas se pueden determinar?Se pueden determinar seis rectas: las cuatro que contienen las aristas y las dos el cubo y se ala en l todas las rectas determinadas por aristas paralelas al plano de la tu libro de texto, que tiene forma de ortoedro, y di cu ntos pares de planos paralelos deter-minan sus caras determinan tres pares de planos la medida del ngulo diedro Apy clasif medida del ngulo es Ap 360 120 240 . ngulo c ncavoDados Ap 76 18 39 y Bp 35 50 5 , calcula:a) Ap Bpb) Ap Bpc) El complementario de Apd) El suplementario de Ap Bpa) Ap Bp 76 18 39 35 50 5 112 8 44 b) Ap Bp 76 18 39 35 50 5 40 28 34 c) 90 Ap 90 76 18 39 13 41 21 d) 180 (Ap Bp) = 180 112 8 44 67 51 16 Clasifica todos los ngulos del ejercicio ) Ap Bpes un ngulo ) Ap Bpes un ngulo ) El complementario de Apes un ngulo ) El suplementario de Ap Bpes un ngulo r4r3r2r1120oA112027_U13 6/11/08 12:00 P gina 252 Una mesa circular est sujeta por una sola pata situada en su centro.

2 Qu posici n debe tener la pata respecto al tablero para que ste quede horizontal?La pata ha de ser perpendicular al dos rectas perpendiculares a un plano. Cu l es la posici n de ambas?Ambas rectas son paralelas entre s . Qu relaci n tienen la l nea que forma la base de la puerta abierta y la recta sobre la que gira?Ambas rectas son en c ncavo o convexo:a)b)a) Convexob) C ncavoComprueba la relaci n de )b)c)a) c 5;v 5;a 8b) c 6;v 8;a 12c) c 5;v 6;a 9c v 5 5 10c v 6 8 14c v 5 6 11a 2 8 2 10a 2 12 2 14a 2 9 2 11 Indica el tipo de prisma que es una caja de caja de zapatos es un un prisma pentagonal c ncavo. Es alg n paralelep pedo un prisma regular?Un cubo es un prisma en los prismas pentagonal y hexagonal que c v a pentagonal:Prisma hexagonal:c 7;v 10;a 15c 8;v 12;a 18c v 7 10 17 a 2 15 2c v 8 12 20 a 2 18 2En efecto, en ambos casos se cumple la relaci n de Euler.

3 Qu pir mide tiene todas sus caras iguales?Una pir mide triangular formada por cuatro tri ngulos equil teros tiene todas sus caras 6/11/08 12:00 P gina 253 Una pir mide est formada por 7 pol ) C mo es su base?b) Qu tipo de pir mide es?a) Su base es un hex ) Se trata de una pir mide hexagonal. Qu tipo de pir mide resulta de cada desarrollo?a) b)a) Pir mide triangular convexa y rectab) Pir mide triangular convexa y oblicuaExplica por qu no son regulares estos )b)No son regulares porque sus caras no son pol gonos regulares. En el apartado a) las caras son rect ngulos, que no tienen suslados iguales. En el apartado b) las caras son tri ngulos is sceles, que no tienen todos sus lados iguales y adem s, en unosv rtices concurren cinco caras y en otros s lo la tabla el procedimiento por el que se han obtenido los siguientes )b)c)a) Deformaci n de pir mide hexagonalb) Truncamiento de cuboc) Intersecci n de cubo y octaedroSi se corta una pir mide pentagonal con un plano paralelo a la base, qu poliedro se obtiene?

4 Se obtiene un tronco de pir el poliedro que se obtiene al unir una pir mide cuadrangular a cada una de las caras de un caras quede las carasconcurren en un v rticeCuboCuadrado3 DodecaedroPent gono regular3 IcosaedroTri ngulo equil tero5 PoliedroPol caras quede las carasconcurren en un v rticeCuboDodecaedroIcosaedro112027_U13 6/11/08 12:00 P gina 254Si se hace girar el rect ngulo por uno de sus lados grandes, AD, qu figura se obtiene?Se obtiene un el desarrollo plano de los cilindros siguientes dando las )b)a)b)Indica cu les de los siguientes desarrollos corresponden a )b)Solo el desarrollo del apartado b) corresponde a un un cono de 3 cent metros de radio y 4 cent metros de altura, cu nto mide la generatriz?Por el teorema de Pit goras:g2 42 32 g2 25 g 5La generatriz mide 5 ha dibujado un sector circular de 20 cent metros de radio y 29,3 de arco, y una circunferencia de5 cent metros de radio.

5 Es posible construir un cono con ellos?No es posible construir un cono porque la longitud del arco ha de coincidir con la de la circunferencia. La longitud de una cir-cunferencia de 5 cm de radio es:Lc 2 r 2 3,14 5 31,4 cm, y no coincide con la longitud de arco dada en el giro de un c rculo alrededor de una cuerda, da lugar a una esfera?No, salvo que la cuerda sea un di cortar una esfera por un plano, qu figura plana se forma?Una cm4 cmgg3 cm4 cm8 cm2 cm7 cm6 cmr = 2 cm8 cmr = 2 cm12,56 cmr = 3 cm7 cm112027_U13 6/11/08 12:00 P gina 255Se corta una esfera de radio 9 cent metros por un plano que pasa por el centro. Cu nto mide lacircunferencia que se determina en la superficie esf rica?La circunferencia tiene 9 cm de radio. Su longitud es:Lc 2 r 2 3,14 9 56,52 cmPROBLEMAS PROPUESTOS En cu ntas partes queda dividida la hoja si todas las rectas que trazamos se cortan en el mismopunto?

6 Al dibujar en una hoja nrectas que se cortan en un punto que no forma parte del contorno de la hoja, esta queda divididaen 2npartes. En cu ntas partes queda dividida la hoja si las rectas que trazamos no se cortan en la superficie dela hoja?Al dibujar en una hoja nrectas que no se cortan en la superficie de la misma, esta queda dividida en n 1 LCULO MENTALLa medida de dos ngulos diedros es Ap 93 y Bp 32 50 . Calcula:a) Ap Bpb) Ap Bpa) Ap Bp 93 32 50 125 50 b) Ap Bp 93 32 50 60 10 Son complementarios los ngulos diedros que miden 73 20 y 16 40 ?S , son complementarios. En efecto: 73 20 16 40 90 Una pir mide tiene 4 v rtices y 6 ) Calcula el n mero de ) De qu pir mide se trata?a) Usando la relaci n de Euler:c v a 2 c 4 8 c 4 Tiene 4 ) Pir mide 6/11/08 12:00 P gina 256 Completa la siguiente a qu poliedro regular corresponden los siguientes desarrollos )b)a) Cubob) OctaedroUn cilindro se ha construido haciendo girar por el lado ADel siguiente rect la medida del radio de la base del cilindro y de la radio mide 3 cm, y la generatriz, 5 hace girar el tri ngulo rect ngulo de la figura alrededor del lado AC.

7 Cu nto miden el radio y la altura del cono que engendra?El radio del cono se corresponde con el lado , por tanto, 8 altura del cono se corresponde con el lado el teorema de Pit goras:BC2 AB2 AC2 102 82 AC2 AC2 100 64 36 AC 6La altura del cono mide 6 midePrismaOrtoedrotriangularoctogonalCar as4V rtices4 Aristas6c v a2 Pir midePrismaOrtoedrotriangularoctogonalCar as4106V rtices4168 Aristas62412c v a222 ABDC5 cm3 cmABC8 cm10 cm112027_U13 6/11/08 12:00 P gina 257 EJERCICIOS PARA ENTRENARSEP lanos, rectas y puntos en el espacioObserva los siguientes ) Qu elemento determinan de dos en dos?b) Y entre los tres?a) Una rectab) Un puntoCuatro puntos A, B, Cy Dque no est n en el mismo plano, cu ntos planos determinan?Determinan 4 planos:ABC,ABD,BCDy el n mero de planos que determinan tres rectas que se cortan en un mismo punto en lossiguientes )b)a) Un planob) Tres planosPosiciones de rectas y planos.

8 Recta y plano perpendicularesDibuja en un plano:a) Dos rectas que se ) Dos rectas ) Dos rectas que se ) b) c) Dos rectas que se cruzan no est n contenidas en el mismo plano Qu posici n tienen dos planos que son perpendiculares a una misma recta?Ambos planos son paralelos entre s .Dibuja dos planos perpendiculares y una recta perpendicular a cada uno deellos. Cu l es la posici n de las dos rectas?Ambas rectas se cruzan o son secantes. En este ltimo caso son srtsrtr1r2r2r1r2r1112027_U13 6/11/08 12:00 P gina 258 Dos rectas paralelas a un mismo plano, son paralelas entre s ? Pueden cortarse? Pueden cruzarse?Razona las respuestas ayud ndote del poliedro darse cualquiera de los casos, tal como se indica en el dibujo: las rectas ry sson paralelas, las rectas sy use cortany las rectas sy tse cruzan.

9 Ngulos diedrosCon dos semiplanos que se cortan perpendicularmente, cu ntos ngulos diedros se forman? Cu ntomide cada uno de ellos?Se forman cuatro ngulos diedros. Cada uno de ellos mide 90 .Calcula el complementario y el suplementario de los siguientes ngulos ) 65 b) 32 c) 40 d) 59 a) Complementario: 90 65 25 ; suplementario: 180 65 115 b) Complementario: 90 32 58 ; suplementario: 180 32 148 c) Complementario: 90 40 50 ; suplementario: 180 40 140 d) Complementario: 90 59 31 ; suplementario: 180 59 121 Calcula Ap, Bpy Cpen la siguiente 180 75 105 ,Bp 75 y Cp Ap 105 Poliedros Cu les de las siguientes figuras son poliedros? Indica en su caso si son o no ) b)a) Poliedro no regularb) Poliedro 6/11/08 12:00 P gina 259Un poliedro regular tiene 12 aristas y 6 v rtices.

10 Calcula el n mero de caras y di qu poliedro la relaci n de Euler:c v a 2 c+ 6 12 2 c 14 6 8 Tiene 8 trata de un octaedro. Qu poliedro regular tiene el mismo n mero de caras que de v rtices?El tetraedro: tiene 4 caras y 4 v rtices. Puede ser la figura el desarrollo plano de un cubo?NoObserva la siguiente ) C mo est formada?b) Estudia si se cumple la relaci n de ) Se trata de un poliedro formado por composici n, uniendo un cubo y un tronco de pir ) c v 10 12 22 20 2 a 2. S se cumple la relaci n de la suma de los ngulos que concurren en un v rtice del ngulos interiores de un pent gono regular miden 72 . En un v rtice de un dodecaedro concurren 3 de estos ngulos,luego 72 3 216 . La suma de los ngulos que concurren en un v rtice del dodecaedro es 216 .Prismas. Paralelep pedos. Pir midesDi de qu tipo son los siguientes prismas y pir )b)a) Pir mide c ncava pentagonal y rectab) Prisma triangularUn prisma tiene 12 aristas y 8 v ) Calcula el n mero de ) Es posible saber qu prisma es?