Álgebra - Editorial Patria

1 LGEBRAIng. Javier Le n C rdenasEscuela Superior de Ingenier a Qu mica e Industrias ExtractivasInstituto Polit cnico NacionalPRIMERA EDICI N EBOOKM XICO, 2014 GRUPO Editorial Patria LGEBRAD irecci n Editorial : Javier Enrique CallejasCoordinaci n Editorial : Estela Delf n Ram rezProducci n: Gerardo Briones Gonz lezDise o de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Sol sIlustraciones: Adrian Zamorategui BerberFotograf as: ThinkstockphotoDiagramaci n: Gustavo Vargas M. y Jorge Mart nez n t cnica: Alex Polo Vel zquezUniversidad Aut noma MetropolitanaDerechos reservados: lgebra 2014, Javier Le n C rdenas 2014, GRUPO Editorial Patria , DE 180, Colonia San Juan TlihuacaDelegaci n Azcapotzalco, C digo Postal 02400, M xico, de la C mara Nacional de la Industria Editorial MexicanaRegistro N m. 43 ISBN ebook: 978-607-438-893-0 Queda prohibida la reproducci n o transmisi n total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electr nicas o mec nicas, sin el consentimiento previo y por escrito del en M xicoPrinted in MexicoPrimera edici n ebook: Pr logoEn la antig edad, los egipcios y los babilonios utilizaron el lgebra para resolver problemas cotidianos que ten an que ver con la repartici n de los alimentos.

2 Hacia el siglo ix, el mate-m tico y astr nomo persa Al-Jwarizmi desarroll diferentes m todos para resolver ecuacio-nes y sistemas de ecuaciones, por lo que es considerado el padre del lgebra. Siglos m s tarde, en 1591, el matem tico franc s Fran ois Vi te desarroll una notaci n algebraica muy c moda y sencilla, que se utiliza hasta nuestros d lgebra es una de las ramas m s importantes de las matem ticas; es considerada de gran utilidad para la vida cotidiana de cualquier persona, por esa raz n es muy importante que todos los estudiantes de nivel universitario conozcan y practiquen lgebra, estos cono-cimientos les ser n de utilidad a lo largo de toda su formaci n material de lgebra, m s que un libro de texto, es un libro de apoyo para cualquier estudiante universitario que desee poner en pr ctica cada uno de los conceptos y principios del su estructura y metodolog a, el lector tiene la oportunidad de desarrollar diferen-tes habilidades y capacidades, las cuales le ser n de utilidad para la soluci n de distintos problemas algebraicos; en otras palabras, los estudiantes ser n competentes para resolver diferentes situaciones con la aplicaci n del libro es totalmente flexible.

3 Entre sus ventajas destaca el hecho de que el alumno o el profesor pueden elegir diferentes estrategias de uso de la informaci n del libro, y no se ven forzados a estudiar cap tulo por cap tulo; es decir, es posible ajustarlo a las propias ne-cesidades de cada problemas resueltos que se incluyen en todas las unidades de estudio, ofrecen al alumno la posibilidad de entender, paso a paso, la soluci n a dichos problemas, proporcio-nando las herramientas necesarias para resolver, l mismo, los problemas que se encuentran al final de cada obra se divide en cinco unidades. La unidad 1 est dedicada al estudio de los n -meros reales; mientras que en la unidad 2 se presenta y analiza el tema de los n meros complejos; en la unidad 3 se expone el tema de los polinomios; la unidad 4 est dedicada al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, y, por ltimo, en la unidad 5 se aborda el tema de matrices y determinantes.

4 Tambi n se incluyen dos ap ndices: Estructuras algebrai-cas y Formulario de matem ticas. IIUnidad 1 N meros reales Conceptos b sicos de la teor a de conjuntos N meros reales 11 Problema reto 35 Referencias 35 Direcciones electr nicas 35 Unidad 2 N meros complejos Introducci n Unidad imaginaria Formas de expresar un n mero complejo Desigualdad del tri ngulo Forma polar o trigonom trica de un n mero complejo Producto y cociente de n meros complejos en forma polar Potencia de un n mero complejo Conjugado de un n mero complejo Soluciones complejas de una ecuaci n de segundo grado Igualdad de n meros complejos Operaciones aritm ticas Leyes del lgebra compleja 58 Problema reto 70 Referencias 70 Direcciones electr nicas 70 Contenido IIIC ontenidoUnidad 3 Polinomios Conceptos b sicos Productos notables Factorizaci n de polinomios Divisi

5 N sint tica N mero de ra ces de un polinomio F rmula general para la ecuaci n de segundo grado F rmula general para resolver una ecuaci n c bica Ecuaci n cu rtica 106 Problemas reto 114 Referencias 114 Direcciones electr nicas 114 Unidad 4 Sistemas de ecuaciones lineales Ecuaci n lineal Ecuaci n lineal con dos inc gnitas Sistema de ecuaciones Sistemas con dos inc gnitas M todo de soluci n de sistemas de ecuaciones de Gauss-Jordan Ecuaciones con tres inc gnitas Sistemas homog neos 142 Problema reto 146 Referencias 146 Direcciones electr nicas 146 Unidad 5 Matrices y determinantes Introducci n Matrices Clasificaci n de matrices de acuerdo a la forma 150 Grupo Editorial Patria Clasificaci n de matrices de acuerdo con los elementos Operaciones con matrices Independencia lineal Rango de una matriz Aplicaciones de matrices Determinantes Regla de Sarrus para calcular determinantes Propiedades de los determinantes Matriz inversa Matriz adjunta Sistemas de ecuaciones lineales resueltas con matrices Regla de Cramer 176 Problema reto 186 Referencias 186 Direcciones electr nicas 186Ap ndice 1 Estructuras algebraicas 187 Topolog a 188 Estructura algebraica 188 Operaci n binaria 188 Definici n de grupo.

6 Propiedades elementales de los grupos. Grupo abeliano. Subgrupo 189 Definici n de anillo, tipos de anillo. Definici n de dominio entero 191 Definici n de campo. N meros racionales, n meros reales y n meros complejos, como ejemplos de campos con la adici n y la multiplicaci n 192 Espacio vectorial 193 Isomorfismos y homomorfismos entre grupos y entre anillos. Propiedades elementales 193 Referencias 195 Direcciones electr nicas 195 XContenidoAp ndice 2 Formulario de matem ticas 196F rmulas b sicas de lgebra 197 Exponentes y radicales 197F rmulas b sicas de trigonometr a 197 Valores de las funciones de ngulos importantes 198N meros realesObjetivOs Utilizar diversos conjuntos de n meros. Utilizar el lenguaje de los s mbolos y de los sistemas matem ticos formales. Utilizar y demostrar f rmulas y expresiones simb licas. Comunicarse en, con y sobre las matem ticas, es decir, interpretar textos escritos en diver-sos lenguajes.

7 Qu sabes? Por qu son importantes los conjuntos? Qu tipo de operaciones se pueden realizar con los conjuntos? Qui n fue Giuseppe Peano? Cu les son los n meros naturales? Conoces las operaciones mal definidas de los n meros naturales?UNIDAD1 N meros Conceptos b sicos de la teor a de conjuntosLa expresi n conjunto es un t rmino matem tico introducido en 1879, por Georg Cantor (1845-1918). Un conjunto es un grupo o una colecci n de objetos; cada objeto que pertenece al conjunto se deno-mina elemento o miembro del T es un conjunto, la notaci n x T significa que x es un elemento de T. La notaci n x T significa que x no es un elemento de conjunto se puede expresar de las siguientes maneras:Descripci n verbal: El conjunto de los n meros naturales pares menores que 15 .Extensi n: El conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves, por ejemplo: A = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 }.

8 Por compresi n o en forma constructiva del conjunto: { x | x es un n mero natural par menor que 15 }.Diagramas de Venn: Son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o las relaciones entre ejemplo, el conjunto de n meros naturales pares menores que 9:4268 Figura Diagrama de Venn del conjunto de n meros naturales pares menores que s mbolo | significa tal que .AlertaLos conjuntos se denotan entre llaves { }. Por ejemplo, el conjunto de n meros naturales menores que 9: { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 }.Por extensi n: V = { lunes, martes, mi rcoles, jueves, viernes, s bado, domingo }En su forma constructiva o por compresi n: V = { x | x es un d a de la semana }Por diagrama de Venn:marteslunesmi rcoless badoviernesjuevesdomingo Figura 1. Diagrama de nDada la descripci n verbal: El conjunto de los d as de la semana , expresarla por extensi n, en su forma constructiva o por compresi n y por diagrama de resueltoGrupo Editorial Patria subconjuntosSi cada elemento de un conjunto A es tambi n un elemento del conjunto B, se dice que A es un subconjunto de B.

9 La notaci n A B significa que A est incluido en B y se lee: A es subcon-junto de B o A est contenido en B .A BBAB A Figura 1. Si no todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B, se dice que A no es subcon-junto de B. En este caso, la notaci n A B significa que A no es un subconjunto de BBAB A Figura conjunto que no contiene elementos se conoce como conjunto vac o o conjunto nulo. Se utiliza el s mbolo para denotar el conjunto vac o; sin embargo, es un error escribir { }, ya que el conjunto vac o no tiene elementos. Por ejemplo, el n mero de mujeres mayores de 500 a os que a n conjunto universo U es aquel que contiene a todos los elementos a considerar. Gr ficamente se le representa mediante un rect Figura Conjunto complemento del conjunto A con respecto al conjunto universo U es el conjunto de todos los ele-mentos de U que no est n en A y se denota por Ac:Ac = { x U | x A }AAcU Figura 4N meros realesUNIDAD1 Ejemplo:Un d gito es cada una de las cifras que componen un n mero en un sistema determinado.

10 En el sistema decimal son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y = { x | x son todos los d gitos decimales } = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }A = { x | x son todos los d gitos decimales pares } = { 2, 4, 6, 8 }B = { x | x son todos los d gitos decimales impares } = { 1, 3, 5, 7, 9 }C = { x | x = 0 } = { 0 }Obs rvese que: A U, B U, C UABC{0}{1, 3, 5, 7, 9}{2, 4, 6, 8}U Figura conjunto finito es aquel cuyos elementos pueden ser :A = { x | x es el n mero de d as de la semana }B = { x | x es el n mero de alumnos en una universidad dada }igualdad de conjuntosSi A y B son conjuntos, entonces el conjunto A ser igual al conjunto B siempre que se cumplan las dos condiciones siguientes: a) todo elemento de A es un elemento de B, y b) todo elemento de B es un elemento de conjunto infinito es aquel cuyos elementos no pueden ser cardinalidad de un conjunto se define como el n mero de elementos que tiene.