2.1. Funciones Algebraicas. - matelandia.org

1 49 MODULO PRECALCULO SEGUNDA UNIDAD Funciones algebraicas Hab a un hombre en Roma que se parec a mucho a C sar Augusto; Augusto se enter de ello, mand buscarlo y le pregunt . ")Estuvo tu madre alguna vez en Roma?. El contest , "No se or; pero mi padre s estuvo" Francis Bacon Funciones algebraicas . Objetivos. a) Expresar con Funciones algebraicas algunos fen menos naturales. b) Ejemplificar algunas Funciones algebraicas con "variaciones". c) Interpretar la representaci n gr fica de Funciones algebraicas como la soluci n de ecuaciones e inecuaciones en una variable. Muchos sucesos de la naturaleza se expresan por medio de Funciones , en unos casos algebraicas y en otros trascendentes (no algebraicas ).

2 Ejemplos sencillos como: a) Una piedra lanzada al espacio describe una par bola con ecuaci n algebraica. b) La sangre que circula por un ser vivo tiene un movimiento descrito por una ecuaci n no algebraica. c) El agua calentada hasta su punto de ebullici n sufre cambios de temperatura descritos por una ecuaci n algebraica lineal. Una funci n algebraica y = f(x) tiene como ecuaci n o f rmula una expresi n polin mica, racional, ra z o la combinaci n de stas. Como ejemplos est n las Funciones con sus gr ficas: f(x) = x f(x) = (x 2) /x f(x) = 53 x son algebraicas , pero f(x) = cos x y f(x) = log (x 1) son trascendentes.

3 50 Otros ejemplos comunes de Funciones algebraicas lo constituyen las variaciones: La variaci n como una Relaci n Funcional Algebraica. Hay dos tipos de relaciones funcionales muy usados en la ciencia: la variaci n directa o directamente proporcional y la variaci n inversa o inversamente proporcional. Las expresiones directa e inversamente proporcionales son aplicadas en la variaci n de magnitudes. As , se dice que dos magnitudes var an directamente cuando al aumentar (disminuir) una de ellas entonces aumenta (disminuye) la otra. En cambio, dos magnitudes var an inversamente cuando al aumentar (disminuir) una de ellas resulta que la otra disminuye (aumenta). En el primer caso se tiene y = kx, donde se dice que y var a directamente proporcional a x, y k.

4 0 es la constante de variaci n o de proporcionalidad. En general, este es un tipo de Funciones polin micas de la forma: y = kxn. Cuando no se indica el tipo de variaci n se sobreentiende que es directa. La circunferencia C var a directamente a su radio r, entonces: C = 2 r El rea A del c rculo var a directamente al cuadrado del radio r: A = r5 El volumen V de la esfera var a directamente al cubo del radio: V = (4/3) r3 La ecuaci n y = kx es una recta con pendiente k que pasa por el origen. En la ecuaci n y = kx5, se tiene que y var a directamente al cuadrado de x. En general, si y = kxn, se dice que y var a directamente a la potencia n-sima de x. El otro tipo de variaci n se deduce de la ecuaci n xy = k, k.

5 0, y se dice que x y y var an inversamente proporcional, de donde xky=. Generalmente, es la ecuaci n racional:nxky= Si el rea A del rect ngulo es constante, entonces A = bh se dice que su largo y su ancho var an inversa-mente, o bien que el largo var a inversamente proporcional al ancho o viceversa. Si el volumen V del cilindro es constante, o sea V = r5h entonces se dice que el cuadrado del radio de su base y su altura var an inversamente. La ecuaci n xky= equivale a que y var a inversamente proporcional a x o sea yx = k. El producto de las variables xy es k: constante de proporcionalidad inversa. Cuando 2xky= se dice que y var a inversamente al cuadrado de x.

6 En general, si nxky= se dice que y var a inversamente a la potencia n-sima de x. Ejemplo 1: Si y var a directamente a x5, y si y = 5 cuando x = 3, entonces halle k. Soluci n: La ecuaci n es y = kx5, y al sustituir y por 5 y x por 3 resulta 5 = k35, entonces k = 5/9 Luego, la ecuaci n que expresa La variaci n directa es y = (5/9)x2 La constante de variaci n puede calcularse si se conocen los valores de x y y, y el tipo de relaci n entre ambas variables. El impuesto sobre ventas del 12% es un ejemplo de constante de variaci n directa. Dado por la ecuaci n y = (12/100) x, donde y es el impuesto para una mercanc a con precio x.

7 51 Variaci n Conjunta. Cuando una variable var a directamente al producto de dos o m s variables diferentes, se dice que la variaci n es conjunta. Entonces, si y var a conjuntamente a u, v, w, se tiene la ecuaci n y = kuvw. Puede ocurrir una variaci n directa e inversa simult neamente. Esto es, y var a directamente a x e inversamente a z, entonces se tiene la ecuaci n zkxy= yz = kx. La variaci n directa es una funci n polin mica con un s lo t rmino (o monomio) en una o m s variables como: y = kxn ; o y = kxnzm. No son variaciones directas: y = 3x + 5, ni y = 4x5 2, porque sus t rminos independientes no son ceros (no son monomios). La variaci n inversa es una funci n racional como las formas: nxky= mnzkxy=.

8 No son variaciones inversas: y = 23x + 5, ni y = x2 + 5x 1. Ejemplo 1: La cantidad de hidr geno h producido cuando se agrega sodio s al agua var a direc-tamente a la cantidad de sodio agregado. Si 138 gramos de sodio producen 6 g de hidr geno )cu nto sodio se requiere para producir 7 g de hidr geno? Soluci n: La ecuaci n es h = ks, al sustituir h por 6 y s por 138, resulta 6 = 138 k, entonces k = 6/138 Luego, se tiene h = (6/138) s. Para 7 g de hidr geno, s = 7@138/6 = 161 Ejemplo 2: Una superficie est a 10 metros de una fuente de luz. )A qu distancia deber a estar de la fuente de luz para recibir el doble de iluminaci n, si la intensidad de la iluminaci n var a inversamente al cuadrado de su distancia a la fuente de luz?

9 Soluci n: La ecuaci n es 2dki=, y al sustituir i por 1 y d por 10 se tiene 1 = k/100, entonces k = 100 Luego, se tiene i = 100/d5. Para i = 2, 2 = 100/d5, entonces d = 50. Aplicaciones Gr ficas de Funciones algebraicas : M todo Gr fico de Resoluci n de Ecuaciones e Inecuaciones en una Variable. 1. La gr fica de una funci n algebraica y = f(x) es, por lo general, una curva en el plano cartesiano (y abusando del lenguaje, aunque sea recta, se dice curva). Esa curva corta el eje X, donde el valor de la funci n es cero, o sea cuando la ecuaci n f(x) = 0 tiene soluciones reales. El procedimiento para resolver f(x) = 0, lo aprendimos en lgebra al hallar las ra ces de la ecuaci n, ahora sabemos que esos valores de x est n donde la curva corta al Eje X.

10 C mo se interpretan los restantes valores del Eje X, es decir las abscisas que no corresponden a y = 0? La respuesta es que corresponden a las soluciones de las inecuaciones: a) f(x) < 0, si la curva est por bajo del Eje X, o sea con sus ordenadas y negativas; y b) f(x) > 0, si la curva est por arriba del Eje X. o sea con sus ordenadas y positivas. 52 Ilustramos lo dicho antes con las siguientes figuras: a) f (x) = 0 b) f(x) < 0 c) f(x) > 0 S = {a, b, c} S =]- , a [ ] b, c [ S =] a, b [ ] c, [ 2. Para resolver una ecuaci n, por lo general, se iguala a cero uno de los dos miembros, o sea que se expresa f(x) = 0.