2 Variabile aleatoare - unitbv.ro

1 2 Variabile aleatoare n practic a, variabilele aleatoare apar ca func tii ce depind de rezultatul efectu arii unui anumit experiment. Spreexemplu, la aruncarea a dou a zaruri, suma numerelor ob tinute este o variabil a aleatoare . n general, n experimente n carenum ar am(ma sini a ate pe sosea, arunc ari ale unui zar p n a la ob tinerea unui sase, piese defecte, etc)variabilele aleatore ob tinute suntvariabile aleatore discrete, iar n experimentele n care m asur am (voltajul elec-tric, cantitatea de ap a de ploaie, duritatea unui anumit material, etc), variabilele aleatoare ob tinute suntvariabilealeatoare ni tia matematic a precis a este urm ni tia (Variabil a aleatoare )O variabil a aleatoare real a pe spa tiul de probabilitate( ;F; P)este o func tieX: !

2 Rm asurabil a n raport cu -algebrele corespunz atoare (Fpe , respectiv -algebra Borelian aBpeR),adic a cu proprietatea c aX 1(B) =f!2 :X(!)2Bg2 Fpentru orice mul time Borelian a calcula diverse caracteristice numerice asociate variabilei aleatoareX, introducemfunc tia de dis-tribu tiecorespunz atoare, dup a cum urmeaz ni tia (Func tia de distribu tie)Func tia de distribu tie a unei Variabile aleatoare este func tiaF=FX:R!Rde nit a prinF(x) =P(X x);x2R:(9)Observa tia func tia de distribu tie a variabilei aleatoareXputem spre exemplu determina probabili-tatea ca variabilaXs a ia valori ntr-un anumit interval(a; b]:P(X2(a; b]) =P(a < X b) =F(b) F(a):(10)Aceast a egalitate are loc deoarece evenimentelefX ag sifa < X bgsunt disjuncte, si veri c afX ag[fa < X bg=fX bg, si deci din De ni tia a probabilit a tii ob tinemF(b) =P(X b)=P(X a) +P(a < X b)=F(a) +P(a < X b);de unde prin sc aderea luiF(a)se ob tine rela tia (10).))

3 Are loc urm tia (De caracterizare a func tiei de distribu tie)Func tia de distribu tieF:R!Ra unei vari-abile aleatoare are urm atoarele propriet a Este nedescresc atoare, adic aF(x) F(y)oricare ar x; y2 Rcux < ! 1F(x) = 0 silimx!1F(x) = Este continu a la dreapta n orice punct, adic alimx&x0F(x) =F(x0).4. Are limit a la st nga n orice punct, si are locF(x0 ) := limx%x0F(x) =P(X < x0). (X=x0) =F(x0) F(x0 ):Reciproc, se poate ar ata c a dac a o func tieF:R!Rveri c a propriet a tile 1) - 3) de mai sus, atunci exist a ovariabil a aleatoare (pe un anumit spa tiu de probabilitate) av ndFca func tie de distribu tia direct a - exerci a demonstra implica tia reciproc a, consider am spre exemplu spa tiul de probabilitate( ;F; P)cu =(0;1),F=B\(0;1) -algebra mul timilor Boreliene pe(0;1),P= - m asura Lebesgue, si ar at am c a variabilaaleatoareX: !

4 Rde nit a deX(!) = supfy2R:F(y)< !g;!2 ;7are propriet a tile cerute. Pentru aceasta, ar at am mai nt i c a are loc egalitateaf!2 :X(!) xg=f!2 :! F(x)g:(11)Dac a! F(x), din de ni tia variabilei aleatoareX( si faptul c aFeste nedescresc atoare), rezult a c aX(!) a demonstra incluziunea contrar a, dac a! > F(x), folosind continuitatea la dreapta a luiFrezult a c a exist a" >0astfel nc t! > F(x+"), si folosind din nou de ni tia variabilei aleatoareXob tinemX(!) x+" > x,ceea ce demonstreaz a incluziunea contrar egalitatea (11), ob tinemP(f!2 :X(!) xg) =P(f!2 :! F(x)g) =P((0; F(x)]) = ((0; F(x)]) =F(x);deoareceP= este m asura Lebesgue pe intervalul(0;1), rela tie ce arat a c aFeste func tia de distribu tie a Variabile aleatoare discreteDe ni tia variabil a aleatoareX: !))

5 Rse nume stediscret adac a ea poate lua numai un num ar cel multnum arabil de ax1; x2; x3; : : :suntvalorile posibile(distincte) ale luiX sip1=P(X=x1),p2=P(X=x2); p3=P(X=x3); : : :sunt probabilit a tile cu care variabila aleatoareXia aceste valori, reprezent am variabila aleatoarediscret aXsub formaX= x1x2x3: : :p1p2p3: : : :(12)Observa tia aXeste o variabil a aleatoare discret a ce ia valorilex1; x2; x3; : : :cu probabilit a tilep1; p2; p3; : : :,atunci au loc urm Dac aIeste un interval ce nu con tine nici una din valorile posibile ale variabilei aleatoare discreteX, atunciP(X2I) = 0:(13)2. Probabilitatea ca variabila aleatoareXs a ia valori ntr-un intervalI= (a; b]este dat a deP(a < X b) =Xa<xi bpi;(14)adic a este egal a cu suma probabilit a tilorpicorespunz atoare valorilor posibilexipentru carea < xi Suma tuturor probabilit a tilorpicorespunz atoare valorilorxieste egal a cu1, adic aXipi= 1:(15)Motivul este urm atorul:Xi 1pi=Xi 1P(X=xi) =P(X2fx1; x2; x3; : : :g) =P( ) = 1:Dac aXeste o variabil a aleatoare discret a, vom spune c a func tia de distribu tie corespunz atoare este o func tiede distribu tiediscret a(sau c aXare o distribu tie discret a).)

6 De ni tia (Func tie de densitate de probabilitate)Pentru o variabil a aleatoare discret aXce ia valorilex1; x2; x3; : : :cu probabilit a tilep1; p2; p3; : : : ;de nimfunc tia de probabilitatef=fXa variabilei aleatoareXprinf(x) = pi;dac ax=xi(i= 1;2;3; : : :)0; n rest:8 Figure 1: Gra cul func tiei de probabilitatef(x) si a func tiei de distribu tieF(x)a variabilei aleatoareXreprezen-t nd rezultatul arunc arii unui nd func tia de probabilitate a unei Variabile aleatoare (sau valorile posibile si probabilit a tile respective),putem determina func tia de distribu tie corespunz atoare astfel:F(x) =Xxi xf(xi) =Xxi xpi:(16)Gra cul unei distribu tii discrete este o func tie n scar a, cu salturi egale cupi n punctelexi(i= 1;2;3; : : :), ca n urm atoarele dou a a consider am variabila aleatoareXreprezent nd rezultatul arunc arii unui zar.

7 AtunciXare cavalori posibile1;2; : : : ;6cu probabilit a ti1=6 ecare, si deciXeste o variabil a aleatoare discret aX= 1 2 3 4 5 6161616161616 :Func tia de probabilitate corespunz atoare estef(x) = 16;dac ax2f1;2; : : : ;6g0; n rest;iar func tia de distribu tie corespunz atoare esteF(x) =8>>>>>>>> <>>>>>>>>:0;dac ax <116;dac a1 x <226;dac a2 x <336;dac a3 x <446;dac a4 x <556;dac a5 x <61;dac a6 x:De observat leg atura ntre gra cele func tiei de probabilitatef(x) si a func tiei de distribu tieF(x)din Figura a consider am variabila aleatoareXreprezent nd num arul de fe te stem a ob tinute la aruncarea a3monede. n acest caz variabila aleatoareXia valorile0;1;2;3cu probabilit a tile18;38;38;18, deci putem reprezenta variabilaaleatoare sub formaX= 0 1 2 318383818 :Gra cul func tiei de probabilitatef(x) si a func tiei de distribu tieF(x)este indicat n Figura 2: Gra cul func tiei de probabilitatef(x) si a func tiei de distribu tieF(x)a variabilei aleatoareXreprezen-t nd num arul de steme ob tinute la aruncarea a dou a (Problema a stept arii - spa tiu num arabil de evenimente )Se arunc a n mod repetat o mo-ned a si se consider a variabila aleatoareXreprezent nd num arul de ncerc ari efectuate p n a la prima apari tie astemei.

8 N acest caz variabila aleatoareXpoate lua valorile1;2;3; : : :(un num ar in nit, num arabil, de valori posibile),cu probabilit a tileP(X= 1) =P(S) =12,P(X= 2) =P(BS) =12 12=14,P(X= 3) =P(BBS) =12 12 12=18, samd. Avem deciX= 1 2 3: : :121418: : : :De observat c a rela tia (15) este veri cat a n acest caz: folosind formula seriei progresiei geometrice, ob tinem:Xi 1pi=Xi 112i=12+14+18+: : :=1211 12= 1 Variabile aleatoare continueVariabilele aleatoare continue apar n practic a atunci c nd ntr-un anumit experiment m asur am o anumit a cantitate,spre exemplu lungimea unui surub, voltajul ntr-un circuit electric, timpul dintre dou a ateriz ari, c a n general func tia de distribu tie a unei Variabile aleatoare este o func tie continu a la dreapta norice punct.

9 Dac a variabila aleatoareXeste o variabil a aleatoare discret a, ce ia valorile distinctex1; x2; x3; : : :cu probabilit a tilep1; p2; p3; : : :, atunci func tia de distribu tieFX(x) =P(X x)corespunz atoare este o func tie n scar a, ce are salturi egale cupi n punctele de discontinuitatexi,i= 1;2;3; : : :. Prin contrast cu variabilelealeatoare discrete, de nim variabilele aleatoare continue, dup a cum urmeaz ni tia (Variabil a aleatoare continu a si absolut continu a)Spunem c a variabila aleatoareXeste ovariabil a aleatoare continu adac a func tia de distribu tie corespunz atoareF:R!Reste o func tie continu a a n plus func tia de distribu tie este absolut continu a n raport cu m asura Lebesgue peR, adic a dac a exist ao func tief:R!

10 [0;1)integrabil a peRastfel nc tF(x) =Zx 1f(u)du;x2R,(17)spunem c aXeste ovariabil a aleatoare absolut continu tia aleatoare continue ce apar n practic a sunt n general si absolut continue. Din acestmotiv, n continuare ne vom referi la Variabile aleatoare continue n teleg nd prin aceasta c a ele sunt si tia deosebire de variabilele aleatoare discrete, n cazul variabilelor aleatoare continue avemP(X=x) = 0(18)oricare ar este urm atorul: din continuitatea m asurii de probabilitate avemP(X=x) = lima%xb&xP(a < X b)= lima%xb&xP(X b) P(X a)= lima%xb&xF(b) F(a)= lima%xb&xZbaf(u)du=Zxxf(u)du= 0:Din rela tia (18) rezult a c a spre deosebire de cazul variabilelor aleatoare discrete, n cazul unei Variabile aleatoareXcontinue urm atoarele probabilit a ti sunt egaleP(a < X < b) =P(a X < b) =P(a X b) =P(a < X b) =F(b) F(a) =Zbaf(u)du.]