Équivalents et Développements (Limités et Asymptotiques)

1 Florian quivalents et D veloppements (Limit s et Asymptotiques) 1 Suites quivalentesDeux suites(un)et(vn)sont dites quivalentes si, et seulement si, limn + unvnexiste et vaut note alors :un vnet limn + un=l R, alors limn + vn= vnetuest positive partir d un certain rang, alorsvest positive partir d un certain 1 Vrai ou FauxSoient quatre suites telles que :un vnetan bn. Dire des assertions suivantes si elles sont vraies ou fausses. anun bnvn 1un 1vn an+un bn+vn anun bnvn Pour >0 etuetvpositives partir d un certain rang,u n v n unn vnnAutres comparaisons existantes : un=o(vn):(un)est n gligeable devant(vn)quand limn + unvnexiste et vaut 0 un=O(vn):(un)est domin e par(vn)quand(unvn)est born eOn a le r sultat suivant : si n=o(un), alorsun un+ 2 Exemple de suite d finie de fa on impliciteOn se donne un entiern 1 et on consid refn:x7 x5+nx Faire l tude de la Montrer qu il existe un unique r eluntel quefn(un)=0.

2 Donner un encadrement deunainsi que son En remarquant quefn(un)=0, calculer le signe defn+1(un).4. En d duire la monotonie de la Montrer que la suiteuest convergente, on noteralsa Montrer queun=1n(1 u5n). En d duire quel= En d duire queun Montrer queun=1n 1n6+o(1n6). Fonctions quivalentesDeux fonctionsfetgsont dites quivalentes enx0 Rsi, et seulement si, limx x0f(x)g(x)existe et vaut note alors :f(x) x0g(x).Fonction quivalentFonction quivalentFonction quivalentsinx 0x1 cosx 0x22tanx 0xarcsinx 0xarctanx 0xlnx 1x 1ex 1 0xshx 0xthx 0x(1+x) 1 0 xargshx + lnxargshx 0xargchx + lnxargthx 0xExercice 3 Vrai ou Faux1. Si limx af(x) =0, alors ef(x) 1 af(x).2. Sif(x) ag(x), alors ef(x) aeg(x).Conclusion :On a le droit de composer des quivalents par la .. mais pas par la ..Exercice 4 Application au calcul de limiteCalculer + (thx) + (2 arctanx)ch(lnx)3.

3 Limx 0tan(x xcosx)sinx+cosx 14. limx 21 sinx+cosxsinx+cosx 15. limx 0ln(1+sinx)tan(6x)Exercice 5D terminer, proprement, un quivalent simple en+ de(ln(1+x)lnx)x D veloppements limit G n ralit sfadmet un DLnauV0si, et seulement si, il existe un polyn mePnde degr inf rieur ou gal ntel quef(x) =Pn(x) +o0(xn).fadmet un DLnauVasi, et seulement si,g:h7 f(a+h)admet un netfadmet un DLnauVa, alorsfadmet un un DLnauVa, alors celui-ci est 6 Vrai ou FauxSoitfune fonction admettant un DLnen 0 de partie r guli rePn. Sifest paire (resp. impaire), alorsPnest pair (resp. impair). SiPnest pair (resp. impair), alorsfest paire (resp. impaire). Admettre un DL0, c est tre localement continu. Admettre un DL1, c est tre localement d rivable. Pourn N, admettre un DLn, c est tre localement de Op rationsSoientfetgdeux fonctions admettant un DLnena, de parties r guli resPetQ.

4 Alors : f+gadmet un DLnenade partie r guli reP+Q; fadmet un DLnenade partie r guli re P; f gadmet un DLnenade partie r guli reR: la troncature dePQau degr , de plus,hest une fonction admettant un DLnenf(a), alorsh fadmet un 7 Vrai ou FauxSoitf:I R, 0 I, intervalle r el,fde classeC1surI,n N. Sifadmet un DLnen 0 de partie r guli reQ, alorsf admet un DLn 1en 0 de partie r guli reQ . Sif admet un DLnen 0 de partie r guli reQ,alorsfadmet un DLn+1en 0 de partie r guli rePavecP =QetP(0) =f(0). Formules deTaylorFormule deTaylor-Young:Soitn N,f:I R,fCnsurI;f(x) =f(a) + (x a)f (a) +..+(x a)nn!f(n)(a) +oa((x a)n)In galit s deTaylor-Lagrange:Soitf:[a;b] Rde classeCn+ (n+1) tant continue sur le segment[a;b], elle est born e par[m;M], et on obtient :m(b a)n+1(n+1)! f(b) n k=0(b a)kk!f(k)(a) M(b a)n+1(n+1)!Formule deTayloravec reste int gral :Soitf:[a;b] Rde classeCn+1, alors :f(b) =n k=0(b a)kk!

5 F(k)(a) + ba(b t)nn!f(n+1)(t) M thodes de calculTous les d veloppements ici sont au voisinage de 011 x=n k=0xk+o0(xn)11+x=n k=0( x)k+o0(xn)ln(1 x) = n k=1xkk+o0(xn)ln(1+x) = n k=1( x)kk+o0(xn)ex=n k=0xkk!+o0(xn)cosx=n k=0( 1)kx2k(2k)!+o0(x2n+1)chx=n k=0x2k(2k)!+o0(x2n+1)sinx=n k=0( 1)kx2k+1(2k+1)!+o0(x2n+2)shx=n k=0x2k+1(2k+1)!+o0(x2n+2)arctanx=n k=0( 1)kx2k+12k+1+o0(x2n+2)argthx=n k=0x2k+12k+1+o0(x2n+2)(1+x) =1+ x+ ( 1)2!x2+..+ ( 1)..( n+1)n!xn+o0(xn)arcsinx=x+16x3+340x5+o0(x 6)tanx=x+13x3+215x5+o0(x6)3 Exercice 8 Autour de la fonction tangente1. Quelle remarque int ressante peut simplifier l obtention du d veloppement limit de tangente en 0 ?2. Dans cette question, on va d terminer le d veloppement limit l ordre 5 en 0 de tangente de diff rentes fa ons.(a) En utilisant la relation fonctionnelle entre tangente, sinus et cosinus.(b) En utilisant la formule deTaylor-Young.

6 (c) En utilisant le th or me d int gration des d veloppements limit s.(d) En utilisant le d veloppement limit de la fonction r ciproque arctangente.(e) En partant de l quivalent de tangente en 0, puis en utilisant la relation tan =1+ En d duire limx 0tanx x Pourx [0; 6], encadrer tanxpar deux polyn mes de degr 9D terminer les d veloppements limit s , ordre 2 en 02. ln(3+x), ordre 2 en 03. ln(e2x+2ex+3), ordre 2 en 04. cosxln(1+x), ordre 4 en (2 x)2, ordre 3 en x, ordre 4 en 27. ln(1+x2), ordre 2 en 18. sinx, ordre 3 en , ordre 4 en 010. 1+ 1+x, ordre 3 en 011. ln(cosx), ordre 6 en 012. arctan1+x1+2x, ordre 3 en 013. cosx3+chx3 2, ordre 17 en 014. 2xxln(1+t)ln(1 t)dt, ordre 3 en 0 Exercice 10 Exemple de d veloppement limit d une fonction r ciproqueOn notef: R Rx7 ln(1+x2) Montrer quefest D terminer le d veloppement limit l ordre 4 en 0 def G n D veloppement limit au voisinage de Pour obtenir un d veloppement limit def(x)au voisinage de , poserh=1x, et d terminer le d ve-loppement limit de la fonction obtenue pourhau voisinage de est notamment la m thode qu on utilise pour d terminer le d veloppement limit d une 11D terminer les d veloppements limit s x2+1x 1, ordre 2 en+ +2x2+x, ordre 2 en+ +1, ordre 4 en+ n3+n2+n+1 n2+1, ordre D veloppement limit g n ralis et d veloppement asymptotiqueC est l extension de la notion de d veloppement limit aux fonctions qui n admettent pas de limite finieau point tudi.

7 On peut aussi s autoriser la pr sence de logarithmes, d exponentielles, de racines..Exercice 12D terminer les d veloppements , pr cisionx3en 02. cotx, pr cisionx4en (1+x), pr cisionx3en , pr cisionx2en (ex 1) 1x2, pr cisionx2en 06. x+x2, pr cisionx2en 07. xex 1, pr cisionx2en 08. 1+x21 cosx, pr cisionx2en +4x 1, pr cision1x3en+ 1x+2+e x, pr cision1x2en+ cosx, pr cisionxen (x+1) (x+1)lnx, pr cision1x2en+ 13. ln(x+x2), pr cisionx3en 0 et1x3en+ ApplicationsExercice 13D terminer un quivalent de +1 ln(n+1) + (x) =2xln(1+x1 x) cosxen (x) =sin(shx) sh(sinx)en 0 Exercice limx 0tanx xx sinx2. limx 0ex 1 + x(e1x 1)4. limx 01 xsinx cosx(ex 1)25. limx 0sin(tanx) +sinx 2xx5 Exercice 15 Classe d un prolongement par continuit D montrer que la fonctionf: ] 1;+ [\{0} Rx7 1ln(1+x) 1xest prolongeable par continuit en 0 en une fonction declasseC1sur] 1;+ [.

8 Exercice 16 tude locale de courbes param tr esDonner la nature des points singuliers des courbes param tr es suivantes 1 t,y=t3 +sint,y= (u+2)e1u,y= (u 2) ,y=u1u5