3 Ecuaciones de segundo grado - …

1 MATEM TICAS 3 ESO 39 Antes de empezar. Algebraicas .. p g. 42 Identidad y ecuaci n Soluci n de una ecuaci n de primer p g. 44 Definici n M todo de resoluci n Resoluci n de problemas de segundo grado .. p g. 46 Definici n. Tipos Resoluci n de ax +bx=0 Resoluci n de ax +c=0 Resoluci n de ax +bx+c=0 Suma y producto de las ra ces Discriminante de una ecuaci n Ecuaci n (x-a) (x-b)=0 Resoluci n de problemas Ejercicios para practicar Para saber m s Resumen Autoevaluaci n Actividades para enviar al tutor Objetivos En esta quincena aprender s a: Identificar las soluciones de una ecuaci n. Reconocer y obtener Ecuaciones equivalentes. Resolver Ecuaciones de primer grado Resolver Ecuaciones de segundo grado tanto completas como incompletas.

2 Utilizar el lenguaje algebraico y las Ecuaciones para resolver problemas. Ecuaciones de segundo grado 3 40 MATEM TICAS 3 ESO MATEM TICAS 3 ESO 41 Antes de empezar Ecuaciones de segundo grado Llamamos x a la cantidad buscada: xxxx21456215 x 12 x 10 x 1260 30 x60606060607 x 1260x 180++ =++ == = Cu nto te cost esa radio? Un cuarto, m s un quinto, m s un sexto, menos 21 euros fue la mitad de todo. 42 MATEM TICAS 3 ESO 1. Expresiones algebraicas Identidad y Ecuaci n. Una igualdad algebraica esta formada por dos expresiones algebraicas separadas por el signo igual (=).

3 Cuando la igualdad es cierta para alg n valor de las letras se llama ecuaci n. Si la igualdad es cierta para cualquier valor de las letras se llama identidad. Soluci n de una ecuaci n El valor de la letra que hace que la igualdad se verifique se llama soluci n de la ecuaci n. Resolver una ecuaci n es encontrar la soluci n soluciones. Una ecuaci n se llama compatible si tiene soluci n. Si no tiene soluci n se llama incompatible. Dos o m s Ecuaciones que tienen las mismas soluciones se llaman equivalentes. Ecuaciones de segundo grado Identidad: 2(x 1) 2x 2+= + Observa que se verifica para cualquier valor de x: x 0 ; 2(0 1) 2 2(0) 2x1;2(11)42(1)2x2;2(21)62(2)2=+== +=+== +=+== + Ecuaci n: x1 2+= Observa que se verifica s lo para x=1 x1;112x2;213#2x3.

4 314#2=+==+==+= x5 8+= es una ecuaci n compatible tiene por nica soluci n x=3 x1 4+= es una ecuaci n compatible tiene por nica soluci n x=3 Las dos Ecuaciones son equivalentes 2x1= es una ecuaci n incompatible, no tiene soluci n, ning n n mero elevado al cuadrado puede ser negativo Ecuaciones equivalentes a x5 8+= x710+= se obtiene sumando 2 x52 82 x710++=+ += 2x 10 16+=se obtiene multiplicando por 2 2(x 5) 2 8 2x 10 16+= += Para obtener una ecuaci n equivalente a una dada se utilizan las siguientes reglas. Si sumamos o restamos a los dos miembros de una ecuaci n la misma expresi n algebraica, se obtiene una ecuaci n equivalente a la dada.

5 Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una ecuaci n la misma expresi n algebraica, se obtiene una ecuaci n equivalente a la dada. MATEM TICAS 3 ESO 43 Ecuaciones de segundo grado EJERCICIOS resueltos 1. Clasifica la siguiente expresi n algebraica:6(7x 1) 3x 4x 76 +=+ ,en identidad o ecuaci n. Sol: Es una ecuaci n,6(7x 1) 3x 42x 6 3x 45x 6 # 4x 76 += += + 2. Clasifica la siguiente expresi n alegraica:7(5x 1) 5x 40x 7 += ,en identidad o ecuaci n. Sol: Es una identidad, 7(5x 1) 5x 35x 7 5x 40x 7 += += 3. Escribe una ecuaci n de la forma ax+b=c cuya soluci n sea x=4 Sol:3x 5 7 = 4.

6 Escribe una ecuaci n de la forma ax =b que sea equivalente a 5x 416+= Sol: Restando 4 a los dos miembros de la ecuaci n se obtiene 5x20= 5. Escribe una ecuaci n de la forma x +b=c que sea equivalente a 5x 20 15+= Sol: Dividiendo por 5 a los dos miembros de la ecuaci n se obtiene 5x 4 3+= 6. Razona si x=2 es soluci n de la ecuaci n: 5x 3(x 1) 13+ = Sol: Si es soluci n 5(2) 3(2 1) 10 3 1 10 3 13+ = + = += 7. Razona si x=3 es soluci n de la ecuaci n: 7x 3(x 2) 16+ = Sol: No es soluci n 7(3) 3(3 2) 21 3 1 24 # 16+ = + = 8. Comprueba que x=-1, es soluci n de la ecuaci n 25x x4+= Sol: Si es soluci n 25( 1) ( 1)5 14 + = += 9. Escribe una ecuaci n que sea incompatible Sol: 2(x 1)4 = , ning n n mero elevado al cuadrado es negativo 44 MATEM TICAS 3 ESO 2.

7 Ecuaciones de primer grado Definici n Una ecuaci n de primer grado con una inc gnita es una igualdad algebraica que se puede expresar en la forma: ax=b, siendo a y b n meros reales y a#0. El mayor exponente de las x debe ser 1. Si a#0 siempre tiene soluci n y adem s es nica, la soluci n es: x=-b/a M todo de resoluci n Para resolver una ecuaci n de primer grado se siguen estos pasos. Se eliminan los denominadores. Para ello se calcula el mcm de los denominadores y se multiplican los dos miembros de la ecuaci n por l. Se quitan los par ntesis. Agrupar los t rminos en x a la izquierda del igual y los n meros a la derecha. Reducir t rminos semejantes. Resoluci n de problemas Para resolver un problema mediante una ecuaci n, hay que traducir al lenguaje algebraico las condiciones del enunciado y despu s resolver la ecuaci n planteada.

8 Comienza por leer detenidamente el enunciado hasta asegurarte de que comprendes bien lo que se ha de calcular y los datos que te dan. Una vez resuelta la ecuaci n da la soluci n al problema. EJEMPLO 1) La edad de un padre es triple de la de su hijo, si entre los dos suman 72 a os, qu edad tiene cada uno? 9 Edad del hijo: x a os Edad del padre: 3x a os Entre los dos 72 a os 3x+x=72 EJEMPLO 2) Cu ntos litros de vino de 4 litro tenemos que mezclar con vino de 2 litro, para obtener 40 litros de vino cuyo precio sea 3 el litro. 9 Vino de 4 /l: x litros Precio: 4x Vino de 2 /l: 40-x litros Precio: 2(40-x) Precio de la mezcla 40 3 4x+2(40-x)=3 40 Ecuaci n : 3x+x=72 Se resuelve: 4x=72 x=72/4=18 El hijo tiene 18 y el padre 54 a os Ecuaci n : 4x+2(40-x)=3 40 Se resuelve: 4x+80-2x=120 2x=40 x=40/2=20 Hay mezclar 20 litros de vino de cada precio.

9 Ecuaciones de segundo grado 2x 9 15+= Ecuaci n de grado 1, se puede escribir como 2x 6= La soluci n es: 6x32== 3x2(x 1) 52+ = Quitar denominadores: 3x22(x1)2 523x 4(x 1) 10 + = + = Quitar par ntesis: 3x 4x 4 10+ = Agrupar: 3x 4x 10 4+=+ Reducir: 7x 14= Despejar: 14x27== MATEM TICAS 3 ESO 45 Ecuaciones de segundo grado EJERCICIOS resueltos 10. Resuelve las siguientes Ecuaciones : a) 7x 5 9x 7178 + += Sol: 7x 59x 7565656 ( 1)8( 7x 5) 7(9x 7)56784756x40 63x 49567x47x7 + += ++ = ++ = = = b) 2x (x 1) 5x 246 ++= Sol: x15x212123(x 1)2(5x 2)4673x 310x47x7x17 += =+ =+ = == c) 3x 7(x 1) 2x 1263 + = Sol: 3x 7(x 1)2x 1666 23x 7(x 1)2(2x 1) 126373x 7x 74x 2 128x7x8 + = += = = = d) 2x 52x 8x37 + = Sol: 2x 52x 8212121x7(2x 5) 3( 2x 8)21x3714x356x24 21x x 59 x 59 + = += + = = = e) 6x (x 8)2x 17x63 =+ Sol.

10 6x (x 8)2x 17666x6x(x8)2(2x17)6x635x 84x 34 6x3x42x14 =+ = ++= + = = 11. La edad de un padre es el triple que la de su hijo, si entre los dos suman 56 a os Cu l es la edad de cada uno? Sol: Edad del hijo:x56x3x 56 4x 56 x144 Edad del padre:3xLa edad del hijo es 14 a os y la del padre es 42 a os+= = = = 12. Cu ntos litros de vino de 5 el litro deben mezclarse con vino de 3 el litro para obtener 50 litros de vino cuyo precio sea de 4 el litro? Sol: Litros de vino de 5 :xlitros preciovino de 3 el litro x5x5x 3(50 x) 2002x 50x 25vino de 4 el litro 50 x 3(50 x)vino de 6 el litro 50200 Hay que mezclar 25 litros de 5 con vino de 3 + = = = 46 MATEM TICAS 3 ESO 3.