3. Funciones trigonométricas - Universidad de Sonora

1 Curso: Modelos matem ticos y Funciones Magister en ense anza de las ciencias, menci n matem tica Universidad de Talca Profesores: Juanita Contreras S .27 Instituto de Matem tica y F sica Claudio del Pino O. Funciones y gr ficas (3) 3. Funciones trigonom tricas Las Funciones trigonom tricas son Funciones muy utilizadas en las ciencias naturales para analizar fen menos peri dicos tales como: movimiento ondulatorio, corriente el ctrica alterna, cuerdas vibrantes, oscilaci n de p ndulos, ciclos comerciales, movimiento peri dico de los planetas, ciclos biol gicos, etc. En aplicaciones de las Funciones trigonom tricas relacionadas con fen menos que se repiten peri dicamente, se requiere que sus dominios sean conjuntos de n meros reales.

2 Para la obtenci n de valores de las Funciones trigonom tricas de n meros reales con una calculadora por ejemplo, se debe usar el modo radi n. Funci n seno La funci n seno es la funci n definida por: f(x)= sen x. Caracter sticas de la funci n seno 1. Dominio: IR Recorrido: [-1, 1] 2. El per odo de la funci n seno es 2. 3. La funci n y=sen x es impar, ya que sen(-x)=-sen x, para todo x en IR. 4. La gr fica de y=sen x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =n . para todo n mero entero n. 5. El valor m ximo de senx es 1, y el m nimo valor es -1.

3 La amplitud de la funci n y=senx es 1. y = sen x Curso: Modelos matem ticos y Funciones Magister en ense anza de las ciencias, menci n matem tica Universidad de Talca Profesores: Juanita Contreras S .28 Instituto de Matem tica y F sica Claudio del Pino O. Funci n coseno La funci n coseno es la funci n definida por: f(x)= cos x. Caracter sticas de la funci n coseno 1. Dominio: IR Recorrido: [-1, 1] 2. Es una funci n peri dica, y su per odo es 2. 3. La funci n y=cosx es par, ya que cos(-x)=cos x, para todo x en IR. 4. La gr fica de y=cosx intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =2.

4 +n , para todo n mero entero n. 5. El valor m ximo de cos x es 1, y el valor m nimo valor es -1. La amplitud de la funci n y=cosx es 1. y = cos x Curso: Modelos matem ticos y Funciones Magister en ense anza de las ciencias, menci n matem tica Universidad de Talca Profesores: Juanita Contreras S .29 Instituto de Matem tica y F sica Claudio del Pino O. Funci n tangente La funci n tangente es la funci n definida por: f(x)= tan Caracter sticas de la funci n tangente 1. Dominio: + ZnnIR/2 Recorrido: IR 2. La funci n tangente es una funci n peri dica, y su per odo es.

5 3. La funci n y=tan x es una funci n impar, ya que tan(-x)=-tan x. 4. La gr fica de y=tan x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =n , para todo n mero entero n. y = tan x Las otras tres Funciones trigonom tricas: cotangente, secante y cosecante son tambi n Funciones peri dicas. Las Funciones trigonom tricas fueron sistematizadas por Newton y Leibniz, quienes hab an dado expansiones en forma de serie para las mismas. Pero fue Euler quien dio el tratamiento completo y sistem tico a las Funciones trigonom tricas. La periodicidad de estas Funciones y la introducci n de la medida de los ngulos por radianes, fue realizada por Euler en su Introductio in Analysis Infinitorum en 1748.

6 Curso: Modelos matem ticos y Funciones Magister en ense anza de las ciencias, menci n matem tica Universidad de Talca Profesores: Juanita Contreras S .30 Instituto de Matem tica y F sica Claudio del Pino O. Transformaciones de gr ficas de Funciones trigonom tricas Las reglas para desplazar, dilatar, contraer, reflejar la gr fica de una funci n se pueden aplicar a las Funciones trigonom tricas, recordadas en el siguiente diagrama: Funciones sinusoidales Son Funciones relacionadas con las Funciones seno y coseno: DCBxAyDCBxAy++=++=)cos(,)(sen o una combinaci n de stas. La periodicidad de las Funciones seno y coseno desempe a un papel importante en la obtenci n de las gr ficas de estas Funciones .

7 Caracter sticas de estas Funciones Las gr ficas de las Funciones DCBxAy++=)(sen e DCBxAy++=)cos(, considerando B>0, se pueden obtener a partir de las gr ficas de las Funciones y=senx, e y=cosx, cuyas caracter sticas se se alan a continuaci n: Amplitud: |A|, que es el promedio de la diferencia entre los valores m ximo y m nimo. Per odo: B 2. Desfase: BC , desplazamiento horizontal de BC unidades a la derecha o a la izquierda, seg n si C es negativo o positivo, de la gr fica de )(BxfAy=. Desplazamiento vertical: traslaci n vertical en D unidades de la gr fica de )(CBxfAy+=.

8 Curso: Modelos matem ticos y Funciones Magister en ense anza de las ciencias, menci n matem tica Universidad de Talca Profesores: Juanita Contreras S .31 Instituto de Matem tica y F sica Claudio del Pino O. Ejemplo 1. Gr fica de la funci n y = -3sin(2x- /3). Amplitud = |-3| = 3, Per odo = = 22, Desfase = 6 (1) )(xseny= (2) )2(xseny= (3) )3/2( =xseny (4) )3/2(3 =xseny (5) )3/2(3 =xseny Curso: Modelos matem ticos y Funciones Magister en ense anza de las ciencias, menci n matem tica Universidad de Talca Profesores: Juanita Contreras S .32 Instituto de Matem tica y F sica Claudio del Pino O.

9 Ejemplo 2. Movimiento arm nico simple. Un cuerpo est vibrando verticalmente de acuerdo con la ecuaci n f(t)=8cos t3, donde f(t) cent metros es la distancia dirigida del cuerpo desde su posici n central (el origen) a los t segundos, considerando como sentido positivo hacia arriba. Como la amplitud es 8, el m ximo desplazamiento es 8cm. El per odo P es 3/2 , es decir P=6. Por lo tanto, se requieren 6 segundos para una vibraci n completa del cuerpo. Inicialmente, el cuerpo se encuentra 8 cm por arriba del origen, la posici n central. En el primer segundo el cuerpo baja cm, es decir, se encuentra situado a arriba del origen, etc.

10 La gr fica de la funci n y=f(t) se muestra en la siguiente figura: Ejemplo 3. Gr fica de la funci n y = 2cos(3x+ ) _1. Amplitud = 2, Per odo = 32 , Desfase = 3 , Desplazamiento vertical = -1