4ºB ESO Capítulo 5: Inecuaciones - Apuntes MareaVerde

1 Autora: Ana Lorente Revisora: Mar a Molero Ilustraciones: Banco de Im genes de INTEF Matem ticas orientadas a las ense anzas acad micas:4 B ESO Cap tulo 5: Inecuaciones Matem ticas orientadas a las ense anzas acad micas 4 B de ESO. Cap tulo 5: Inecuaciones Autora: Ana Lorente Revisora: Mar a Molero Ilustraciones: Banco de Im genes de INTEF 138 Inecuaciones . 4 B de ESO ndice 1. INTERVALOS TIPOS DE INTERVALOS SEMIRRECTAS REALES 2. Inecuaciones Inecuaciones EQUIVALENTES 3. Inecuaciones CON UNA INC GNITA Inecuaciones DE PRIMER GRADO Inecuaciones DE SEGUNDO GRADO SISTEMAS DE Inecuaciones Inecuaciones EN VALOR ABSOLUTO 4. Inecuaciones CON DOS INC GNITAS Inecuaciones DE PRIMER GRADO CON DOS INC GNITAS SISTEMAS DE Inecuaciones DE PRIMER GRADO CON DOS INC GNITAS Resumen En muchas ocasiones vas a encontrarte con Inecuaciones .

2 Si trabajas con intervalos dir s a < x < b, por ejemplo. En otras ocasiones tu problema ser que algo debe ser menor que una cierta cantidad. Imagina que queremos construir una ventana en la pared de una habitaci n de 4 metros de larga y metros de alta. Es imposible que la ventana tenga unas dimensiones mayores que las de la pared. Para complicarlo un poco, imagina ahora que la longitud total de los perfiles con los que vamos a construir la ventana es de 10 metros. Si la ventana es rectangular y llamamos x a la longitud de la base e y a la de la altura, por ahora sabemos que x 4, y , 2x + 2y 10. Hay muchas soluciones que resuelven el problema. Pero el arquitecto desea que la ventana tenga la mayor luz posible. T ya sabes que el rea m xima la consigues con un cuadrado, esta soluci n no te sirve porque el lado deber a medir metros y nos saldr amos de la pared.

3 Debemos jugar con esas desigualdades para dar una soluci n al problema. Matem ticas orientadas a las ense anzas acad micas 4 B de ESO. Cap tulo 5: Inecuaciones Autora: Ana Lorente Revisora: Mar a Molero Ilustraciones: Banco de Im genes de INTEF 139 Inecuaciones . 4 B de ESO1. INTERVALOS Recuerda que: Un intervalo de n meros reales es un subconjunto del conjunto de los n meros reales, que, intuitivamente est formado por una sola pieza. Tipos de intervalos Intervalo abierto: es aquel en el que los extremos no forman parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos forman parte del intervalo, salvo los propios extremos. En otras palabras I = (a, b) = {x a < x < b}, observa que se trata de desigualdades estrictas. Gr ficamente, lo representamos en la recta real del modo siguiente: Intervalo cerrado: es aquel en el que los extremos si forman parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluidos stos, forman parte del intervalo.

4 En otras palabras I = [a, b] = {x a x b}, observa que ahora no se trata de desigualdades estrictas. Gr ficamente: Intervalo semiabierto: es aquel en el que solo uno de los extremos forma parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluido uno de stos, forman parte del intervalo. Intervalo semiabierto por la izquierda, el extremo inferior no forma parte del intervalo, pero el superior s , en otras palabras: I = (a, b] = {x a < x b}, observa que el extremo que queda fuera del intervalo va asociado a una desigualdad estricta. Intervalo semiabierto por la derecha, el extremo superior no forma parte del intervalo, pero el inferior s , en otras palabras I = [a, b) = {x a x < b}, observa que el extremo que queda fuera del intervalo va asociado a una desigualdad estricta.

5 Gr ficamente: Semirrectas reales Semirrecta de los n meros positivos S = (0, ), es decir, desde cero hasta infinito. Semirrecta de los n meros negativos S = ( , 0), es decir, desde el menos infinito, el infinito negativo, hasta cero. Con lo que toda la recta de los n meros reales es = ( , ). A una semirrecta se la puede considerar como un intervalo infinito. Matem ticas orientadas a las ense anzas acad micas 4 B de ESO. Cap tulo 5: Inecuaciones Autora: Ana Lorente Revisora: Mar a Molero Ilustraciones: Banco de Im genes de INTEF 140 Inecuaciones . 4 B de ESOA ctividades propuestas 1. Escribe los siguientes intervalos mediante conjuntos y repres ntalos en la recta real: a) [1, 7) b) ( 3, 5) c) (2, 8] d) ( , 6) 2. Representa en la recta real y escribe en forma de intervalo: a) 2 < x < 5 b) 4 < x c) 3 x < 6 d) x 7 2.

6 Inecuaciones Una desigualdad es una expresi n num rica o algebraica unida por uno de los cuatro signos de desigualdad: , , ,. Por ejemplo: 2 < 5, 4 x + 2, x2 5 x, x + y 2. Una inecuaci n es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o m s inc gnitas. El grado de una inecuaci n es el mayor de los grados al que est n elevadas sus inc gnitas. As , 4 x + 2 y x + y 2 son Inecuaciones de primer grado, mientras que x2 5 x es de segundo grado. Resolver una inecuaci n consiste en encontrar los valores que la verifican. stos se denominan soluciones de la misma. Por ejemplo: 3 x + 1 x ( , 2] Inecuaciones equivalentes: Dos Inecuaciones son equivalentes si tienen la misma soluci n. A veces, para resolver una inecuaci n, resulta conveniente encontrar otra equivalente m s sencilla.)

7 Para ello, se pueden realizar las siguientes transformaciones: Sumar o restar la misma expresi n a los dos miembros de la inecuaci n. 3x + 2 < 5 3x + 2 2 < 5 2 3x < 3 Multiplicar o dividir ambos miembros por un n mero positivo. 3x < 3 3x : 3 < 3 : 3 x < 1 Multiplicar o dividir ambos miembros por un n mero negativo y cambiar la orientaci n del signo de la desigualdad. x < 2 ( x) ( 1) > 2 ( 1) x > 2 ( 2, + ) Matem ticas orientadas a las ense anzas acad micas 4 B de ESO. Cap tulo 5: Inecuaciones Autora: Ana Lorente Revisora: Mar a Molero Ilustraciones: Banco de Im genes de INTEF 141 Inecuaciones . 4 B de ESOA ctividades propuestas 3. Dada la siguiente inecuaci n 2 + 3x < x + 1, determina cu les de los siguientes valores son soluci n de la misma: 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 15 4. Realiza las transformaciones indicadas de modo que se obtengan ecuaciones equivalentes: a) Sumar 3: x 1 > 4 b) Restar 5: x 3 > 7 c) Multiplicar por 5: 8x 9 d) Multiplicar por 5: 3x 7 e) Dividir entre 2: 4x < 10 f) Dividir entre 2: 4x 10 5.

8 Escribe una inecuaci n que sea cierta para x = 3 y falsa para x = 3. Inecuaciones CON UNA INC GNITA Inecuaciones de primer grado Una inecuaci n de primer grado con una inc gnita puede escribirse de la forma: ax > b, ax b, ax < b o ax b. Para resolver la inecuaci n en la mayor a de los casos conviene seguir el siguiente procedimiento: 1 ) Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplica los dos miembros de la ecuaci n por el de los denominadores. 2 ) Quitar los par ntesis, si los hay. 3 ) Transponer los t rminos con x a un miembro y los n meros al otro. 4 ) Reducir t rminos semejantes. 5 ) Despejar la x. Ejemplo: 246)7(33xxx 6)4(36)7()3(2xxx )4(3)7()3(2xxx xxx312762 1276 32 xxx 11 4 x 411 x x ,411 Matem ticas orientadas a las ense anzas acad micas 4 B de ESO. Cap tulo 5: Inecuaciones Autora: Ana Lorente Revisora: Mar a Molero Ilustraciones: Banco de Im genes de INTEF 142 Inecuaciones .

9 4 B de ESOA ctividades propuestas 6. Resuelve las siguientes Inecuaciones y representa la soluci n en la recta real: a) 2 + 3x < x + 1 b) 5 + 2x 7x + 4 c) 6 + 5x > 6x + 4 d) 4 + 8x 2x + 9 7. Resuelve las siguientes Inecuaciones y representa la soluci n en la recta real: a) 3(2 + 3x) < (x + 1) b) 5(1 + 2x) 2(7x + 4) c) 2(6 + 5x) + 3(x 1) > 2(6x + 4) 8. Resuelve las siguientes Inecuaciones y representa la soluci n en la recta real: a) 3 + 4x < x/2 + 2 b) 4 + 4x/3 7x/2 + 5 c) (5 + 7x)/3 > 8x + 2 d) (4 + 8x)5 + 3 (2x + 9)/7 9. Escribe una inecuaci n cuya soluci n sea el siguiente intervalo: a) [1, ) b) ( , 5) c) (2, ) d) ( , 6) 10. Calcula los valores de x para que sea posible calcular las siguientes ra ces: a) 53 x b) 12 x c) x53 d) 123 x Inecuaciones de segundo grado Una inecuaci n de segundo grado con una inc gnita puede escribirse de la forma: ax2 + bx + c > 0, empleando cualquiera de los cuatro signos de desigualdad.]

10 Para resolverla, calculamos las soluciones de la ecuaci n asociada, las representamos sobre la recta real, quedando por tanto la recta dividida en tres, dos o un intervalo, dependiendo de que la ecuaci n tenga dos, una o ninguna soluci n. En cada uno de ellos, el signo del polinomio se mantiene constante, por lo que bastar con determinar el signo que tiene dicho polinomio para un valor cualquiera de cada uno de los intervalos. Para saber si las soluciones de la ecuaci n verifican la inecuaci n, bastar con sustituirla en la misma y comprobarlo. Ejemplo: Representa gr ficamente la par bola y = x2 2x + 3 e indica en qu intervalos es x2 2x + 3 > 0. Observa en la gr fica que la par bola toma valores positivos entre 3 y 1. La soluci n de la inecuaci n es: x ( 3, 1). El punto 3 no es soluci n, ni tampoco el punto 1, pues el problema tiene una desigualdad estricta, >.