5.2 Eigenschaften quantenmechanischer Operatoren

1 Eigenschaften quantenmechanischer Eigenschaften quantenmechanischer OperatorenAls allgemeine Bezeichnung f r QM- Operatoren soll A, Bverwendet werden. , sind quantenmechanische Wellenfunktionen, die alle Bedingungen unter ( ) erf Operatoren erf llen folgende Bedingungen: Linearit tDefinition: A( + )!= A + A dabei sind , Konstanten. Rechenregelbeim nacheinander Ausf hren: A B = A( B ) Hermitezit tDiese zun chst abstrakte Eigenschaft quantenmechanischer Operatoren hat Konsequenzen f r dieberechneten physikalischen Gr en, wie im n chsten Abschnitt gezeigt wird. ( A ) dx!=[ ( A ) dx] = ( A ) dx= ( A ) dx( )F rreelleOperatoren und Wellenfunktionen kann auf die Bildung des Komplex Konjugierten in ( )verzichtet werden.

2 Es ergibt sich die einfachere Beziehung ( A ) dx!= ( A ) dxWenn diese Forderung erf llt ist, bezeichnet man den Operator Hermitezit t ist wegen A = Asowie der Vertauschbarkeit von Faktoren f r alle reellen multiplikativenOperatoren erf Folgenden soll die Hermitezit t auch f r einen Differentialoperator gezeigt werden:Beispiel 5: Hermitezit t des Impulsoperators p=~iddx u~id dx v dx=[~i ] uv d dx u ~i vdx( )= 0 + (~id dx) dx( )Im bestimmten Integral wurde f r und die Wellenfunktionseigenschaftlimx =limx = der Umformung des unbestimmten Integralsu vgem (AB) =B A wurde die Eigenschaft(~i) = (~i) Eigenwerte und Erwartungswerte hermitescher OperatorenDie Messwerte aller physikalischen Experimente die Quantenmechanik physikalisch sinnvolle Resultate geben soll, m ssen daher gem dem im letztenAbschnitt vorgestellten Formalismus zur Berechnung von Observablen sowohl ErwartungswertehAials auchEigenwerteAquantenmechanischer Operatoren reelle Zahlen ist durch die Bedingung der Hermitezit t der Operatoren gew hrleistet: ErwartungswertehAihermitescher Operatoren sind reelle Zahlen:aus der Definition ( ) ergibt sich mit = ( A ) dx= ( A ) dx=[ ( A ) dx] 285 Quantenmechanische Berechnung von diese Bedingung ist ausschlie lich f r reelle Erwartungswerte erf llt.

3 Eigenwertehermitescher Operatoren sind reelle Eigenwertgleichung A =A wird mit multipliziert und der Normierung von ergibt sich:A= ( A ) dx(Da vorausgesetzt wurde, dass Eigenfunktion von Aist, kannAvor das Integral gezogen werden.)Damit ist dann der komplex konjugierte EigenwertA =[ ( A ) dx] = ( A ) dx= ( A ) dx=Aaufgrund der Hermitezit t von Bedingung ist nur f r reelle EigenwerteAerf Eigenfunktionen hermitescher Operatoren Asei ein hermitescher Operator mit den Eigenfunktionen a, bund den zugeh rigen Eigenwerten a6= bDie Ungleichheit der Eigenwerte verschiedener Eigenfunktionen wird im Folgenden vorausgesetzt. A a= a a A b= b bMultiplikation der linken Gleichung mit b, Integration b( A a) dx!= a( A b) dxaus Definition der Hermitezit tEinsetzen der Eigenwertgleichungen a b adx!

4 = b a bdx b bEigenwerte sind reell= ( a b) b adx!= 0gem Voraussetzung (siehe oben): a6= b= b adx= 0= Die Eigenfunktionen hermitescher Operatoren zu verschiedenen Eigenwerten sind Falle entarteter Eigenfunktionen (zwei oder mehrere verschiedene Eigenfunktionen mitdenselbenEigenwerten) gilt die Orthogonalit t nicht geeignete Linearkombinationen lassen sich aber immer orthogonale Dirac-Schreibweise29 Beispiel 6: Gram-Schmidt-Orthogonalisierung zweier FunktionenAnnahme: es gelte a bdx Sab6= 0(das berlappungsintegralSab Szweier entarteter Funktionen seiungleich Null)Ein Verfahren zur Konstruktion orthogonaler Funktionen ist wird willk rlich eine der beiden Funktionen als Referenz gew hlt und die andere transformiert.

5 A= a b=1 1 S2( b S a)Die transformierten Funktionen a, bsind orthogonal zueinander: a bdx=1 1 S2[ a bdx S a adx]=1 1 S2[S S 1] = 0 Auch bist dann eine Eigenfunktion von Amit demselben Eigenwert wie bbzw. a: A b= A1 1 S2( b S a)= b b 1 S2 S a a 1 S2= a[ b S a 1 S2]( a= b)= a bDie Wahl der Linearkombination ist in diesem Fall nicht eindeutig: alternativ m glich ist b= bund a= ( a S b)1 1 es zudem viele weitere Orthogonalisierungsverfahren gibt, sind mehrere vollst ndige S tze von Eigenfunk-tionen m ergibt sich somit unter Ber cksichtigung der Normierungsbedingung f r g ltige Wellenfunktionen:Die Menge aller Eigenfunktionen{ a}(bzw.{ a}) bildet einen vollst ndigen orthonormalenSatz von Eigenfunktionen. a(x) b(x) dx= abf r allea,b= 1.

6 , Dabei ist abdasKronecker-Delta. Es gilt ab={1f ra=b0f ra6=b( ) Dirac-SchreibweiseIn den nachfolgenden Abschnitten werden vermehrt Erwartungswerte berechnet, deren konventionelle Schreib-weise vor allem bei dreidimensionalen Integralen aufwendig wird. Aus diesem Grund soll hier auf eineVereinfachung der Schreibweise von Integralen hingewiesen werden, die von P. Dirac eingef hrt wurde. a, bseien beliebige Wellenfunktionen, Aein quantenmechanischer in eindimensionaler oder mehrdimensionaler Form306 Bestimmung mehrerer Observablen a(x) A b(x) dx, a(x,y,z) A b(x,y,z) dxdydzwerden folgenderma en geschrieben:h a| A| bi berlappungsintegrale a(x) b(x) dx, a(x,y,z) b(x,y,z) dxdydzverk rzen sich zuh a| bi6 Bestimmung mehrerer ObservablenIn der klassischen Physik sind f r ein makroskopisches Objekt im Prinzip alle Eigenschaften gleichzeitig exaktmessbar (wenn von Beschr nkungen der Messapparaturen abgesehen wird).}

7 Experimentell wurde gefunden, dass dies f r Elementarteilchennichtallgemein Erkl rung:die erste Messung ( von EigenschaftA) ver ndert das System, so dass diezweite Messung ( von EigenschaftB) nicht denselben Wert liefert wie bei einer separaten bedeutet gleichzeitig , dass die beiden Messungen auf atomarer Zeitskala (atomare Zeiteinheit: ) kurz nacheinander am selben System durchgef hrt werden. Die Ver nderung des Systems beruht dabeinichtauf Wechselwirkungen zwischen Messapparatur und System, sondern ist quantenmechanischer der Quantenmechanik wird die Messung zweier Eigenschaften am selben System durch Anwendung zweierOperatoren auf eine Zustandsfunktion beschreiben: A B Quantenmechanische Berechnung mehrerer ObservablenBei der quantenmechanischen Interpretation des gerade beschriebenen experimentellen Befunds wird davonausgegangen, dass sich das System zun chst im Zustand Zustandsfunktion kann sowohl aus den Eigenfunktionen{ n}des Operators Aals auch aus den Eigen-funktionen{ m}des Operators Bentwickelt werden ( ).

8 = n=1cn n= m=1dm mBeim Anwenden des Operators B(physikalisch: einer Einzelmessung vonB) wird einzuf lligerEigenwertBbmitb [0, ]erhalten (mit der Wahrscheinlichkeit|db|2).Danach (physikalisch betrachtet:nachder ersten Messung) befindet sich das System im Eigenzustand der quantenmechanischen Interpretation entspricht also die Messung einer Eigenschaft der Anwendungeines Projektionsoperators (Gl. ).Danach sind f r die Messung vonA(die Anwendung des Operators A) zwei F lle m glich:Fall a) bist auch eine Eigenfunktion von A, das hei t es gilt b= af r ein bestimmtes Paara,b(beider Verwendung der Indizesaundbwurde von dem allgemeinen Fall ausgegangen, dass die Reihenfolge derEigenfunktionen unterschiedlich sein kann). die Anwendung des Operators Aliefert ebenfalls einen Eigenwert: B b=Bb b A a=Aa a} A b= A a=Aa a( )Im quantenmechanischen Formalismus bedeutet dies, dassAundBgleichzeitig exakt messbar ist das Ergebnis von der Reihenfolge der Operatoren (der Messungen)unabh ngig, es gilt A B= B Verallgemeinerung ist nur m glich, wennalleEigenfunktionen von Bauch Eigenfunktionen von Heisenbergsche Unsch rferelation31 Zwei Eigenschaften sind nur dann gleichzeitig messbar, wenn die zugeh rigen QM- Operatoren einenvollst ndigen Satz gemeinsamer Eigenfunktionen besitzenFall b) bistkeineEigenfunktion von A.

9 F r die ObservableBkann nur ein Mittelwert angegeben werden, bzw. jede Einzelmessung liefert einzuf lliges anderes Ergebnis mit der Wahrscheinlichkeit|cba| liegt daran, dass die bei der Anwendung von Bauf erhaltene Zustandsfunktion bin die Eigenfunktionenvon Aentwickelt werden muss: b= ncnb nAufgrund der unendlichen Entwicklung ist der Einzelwert einer Messung vonAnicht vorhersagbar Folgenden wird die quantitative Beschreibung dieses Effekts Heisenbergsche Unsch rferelationIn der klassischen Physik wird dieStreuung(Unsch rfe)( A)2von Messwerten einer Messgr eAalsmittlerer quadratischer Fehler berechnet:( A)2=1NN n=1(An A)2( A)2( B)2=1NN n=1(An A)2(Bn B)2 Dabei istNdie Anzahl von EinzelmessungenAn,Bnder Wert einer Einzelmessung A, Bder Mittelwert der MesswerteF r die Unsch rfe der Messung zweier Eigenschaften wird das Produkt( A)2( B) ist die Unsch rfe als Erwartungswert definiert:( A)2=h |( A hAi)2| imit dem ErwartungswerthAi=h | A| i=h | A2| i 2h |hAi A| i+h |hAi2| i=hA2i hAi2F r zwei ObservablenA,Bergibt sich:( A)2( B)2=h |( A hAi)2| ih |( B hBi)2| i=h ( A hAi)| 2ih ( B hBi)2| 2iDabei wurde die Hermitezit t der quantenmechanischen Operatoren A, X A hAigilt:h | X X| i!

10 = [h( | X) (P( X| ) Q) i] =h( X| ) Q ( X| ) P i=h( X| )( X| )if r hermitesche Operatoren326 Bestimmung mehrerer ObservablenNach mehreren Umformungen und Anwendung derSchwarzschen Ungleichung(vgl. Vektoralgebra)|~a|2|~b|2 |~a ~b|2ergibt sich die in der Quantenmechanik allgemein verwendete Darstellung der Heisenbergschen Unsch rferela-tion:( A)2( B)2 12h |( A B B A)| i 2| A B| 12 h |( A B B A)| i ( )Physikalische Bedeutung:| A B|ist das kleinstm glicheFehlerprodukt bei gleichzeitiger Messungzweier Eigenschaften eines Systems aus allen realen Messungen kann der Fehler nur gr er Differenz der Anwendung zweier Operatoren in vertauschter Reihenfolge A B B Ain der HeisenbergschenUnsch rferelation ( ) wird alsKommutatorder Operatoren Aund.