7 SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA

1 7 SEMEJANZA Y TRIGONOMETR APARA EMPEZAR Indica razonadamente la medida de los ngulos C , D ,E y F de la los ngulos de un tri ngulo suman 180 , tenemos que:C 180 (A B ) 180 110 70 Como los ngulos opuestos por el v rtice son iguales, se verifica que:F A 50 Como los ngulos de lados paralelos son iguales, se cumple que:D B 60 y E C 70 Utiliza la calculadora para hallar la medida en grados, minutos y segundos de cada uno de los ngulosque resultan al dividir un c rculo en:a) 7 partes igualesb) 13 partes igualesa) 360 :7 51 25 43 b) 360 : 13 27 41 32 En un tri ngulo rect ngulo is sceles, la hipotenusa mide 10 cent metros. Calcula la medida de los cate-tos y de los ngulos obtener la medida de los catetos aplicamos el teorema de Pit goras:102 x2 x2 100 2x2 x 50 7,07 cmLos dos ngulos agudos de un tri ngulo is sceles son iguales, para obtener su medida utilizamos el he-cho de que la suma de los ngulos de un tri ngulo es igual a 180.

2 C B 180 2 A 180 2 90 45 La maqueta de LEGO del estadio Allianz Arena est construida a escala 1 : 50, es decir, un metro de lamaqueta equivale a 50 metros del estadio real. Observa las dimensiones reales y calcula cu nto mide elde la del terreno de juego en la maqueta: 105: 50 2,1 mAncho del terreno de juego en la maqueta: 68: 50 1,36 m4321450 60 ABC^E^D^FABCxx10 cm105 m68 mTeorema de TalesPARA PRACTICARE jercicio resueltoDivide un segmento de 6,4 cent metros de longitud en tres partes Ay Blos extremos del segmento que se desea dividir. Desde el extremo Ase traza una semirrecta auxiliar sobre la que sellevan tres segmentos de la misma longitud y que tienen por extremos C1,C2y C3. Se une C3con By se trazan paralelas al seg-mento BC3por C2y C1, que cortan el segmento ABen D2y D1. El teorema de Tales asegura que los segmentos AD1,D1D2y D2 Bson un segmento de 10 cent metros de longitud en siete partes Ay Blos extremos del segmento que se desea dividir.

3 Desde el extremo Ase traza una semirrecta auxiliar sobre la que sellevan siete segmentos de la misma longitud y que tienen por extremos C1,C2,C3,C4,C5,C6y C7. Se une C7con By se trazanparalelas al segmento BC7por C6,C5,C4,C3,C2y C1, que cortan el segmento ABen D6,D5,D4,D3,D2y D1, respectivamente. Elteorema de Tales asegura que los segmentos AD1,D1D2,D2D3,D3D4,D4D5,D5D6y D6 Bson un segmento de 6 cent metros de longitud en nueve partes se procede de un modo similar al de las dos actividades anteriores obtenemos:AD1D2D3D4D5D6D7D8BC9C8C7C6C5C4 C3C2C16 ,4 ) Dibuja un tri ngulo ABCcuyos lados midan 9, 12 y 15 cent metros, respectivamente. b) Con ayuda del teorema de Tales, construye dos tri ngulos semejantes a ABCde raz n 2 y 14 . a) Con ayuda de la regla graduada y el comp s trazamos el tri ngulo ) Para construir el tri ngulo AMNsemejante a ABCde raz n 2, prolongamos dos de los lados del tri ngulo ABCy con un com-p s llevamos sobre ellos la medida de los construir el tri ngulo APQsemejante a ABCde raz n 14 nos ayudamos de una recta auxiliar sobre la que llevamos cuatrosegmentos iguales.

4 Procediendo de un modo similar al de la actividad , dividimos el lado ABen cuatro partes iguales, deeste modo obtenemos el v rtice P. Para obtener el tercer v rtice trazamos por Puna paralela al lado BC, el punto de cortecon ACnos proporciona el v rtice )ACNMB2)30 cm18 cm24 cm1)0123456789101112131415 ACBACAB2)3)4)B5)6)BC01234567891011120123 456789BC0123456789101112AB01234567890123 456789101112131415AC01234567891011121314 15AC9 cm12 cm15 resueltoDivide un segmento de 5 cent metros de longitud en tres partes proporcionales a 1, 2 y ABun segmento de 5 cent metros de longitud. Desde el extremo Ase traza una semirrecta auxiliar sobre la que se llevanlos segmentos AA ,A A y A A , de longitudes 1, 2 y 3 cent metros, respectivamente. Se une A con By se trazan paralelas aeste segmento por los puntos A y A , que cortan el segmento ABen My N, respectivamente. El teorema de Tales asegura queAM,MNy NBson proporcionales a 1, 2 y un segmento de 13 cent metros de longitud en tres partes proporcionales a 2, 3 y ABun segmento de 13 cent metros de longitud.

5 Desde el extremo Ase traza una semirrecta auxiliar sobre la que se llevanlos segmentos AA ,A A y A A , de longitudes 2, 3 y 5 cent metros, respectivamente. Se une A con By se trazan paralelas aeste segmento por los puntos A y A , que cortan el segmento ABen My N, respectivamente. El teorema de Tales asegura queAM,MNy NBson proporcionales a 2, 3 y un segmento de 7 cent metros de longitud en tres partes proporcionales a 12 , 2 y 3. Esta actividad es equivalente a dividir un segmento en tres partes proporcionales a 1, 4 y 6. Por tanto, trazamos AB, un seg-mento de 7 cent metros de longitud, y procedemos de un modo an logo al de las dos actividades A A 1 cm4 cm6 cm7 A A 2 cm3 cm5 cm13 '''A''A'5 cm1 cm2 cm3 APLICARa) Dos cuadril teros son semejantes con raz n de SEMEJANZA 3. Qu raz n de proporcionalidad hay en-tre sus per metros? Sean a,b,c,dy a ,b ,c ,d los lados de los dos cuadril ser semejantes con raz n de SEMEJANZA 3, se cumple que: aa bb cc dd 3 a 3a b 3b c 3c d 3d De este modo comprobamos que la raz n entre sus per metros tambi n es 3: a a bb cc dd 3b)Generaliza el resultado anterior para dos pol gonos semejantes con raz n de SEMEJANZA mismo modo que en el apartado anterior, se comprueba que si dos pol gonos son semejantes con raz n de SEMEJANZA k,laraz n de proporcionalidad entre sus per metros es tambi n medidas de los lados de un rect ngulo son 3 y 5 cent metros.

6 Calcula los lados de otro rect ngulosemejante al anterior que tenga 40 cent metros de per per metro del rect ngulo dado es de 16 cm. La raz n de SEMEJANZA entre las figuras ser 4106 2, este modo, los lados del rect ngulo ser n 3 2,5 7,5 cm y 5 2,5 12,5 cm, figura muestra las escaleras mec nicas de un centro comercial. Calcula la distancia xque se el teorema de Tales tenemos que: 1x0 202 08 x 102 012 6 mCalcula el valor de las letras en las siguientes )b)Aplicando en ambos casos el teorema de Tales tenemos que:a) 25 4x x 25 4 1,6 mb) 25 yx 6 xx As :x 172 m y 6 172 42 712 370 m5 m2 m2 mx4 m5 myx6 PLANTAx1. PLANTAS TANO20 m10 m8 (a b c d ) a b c d 3a 3b 3c 3d a b c d 2x 5x y 6 xEn la figura se muestran dos cuadrados de 2 y 5 cent metros de lados, respectivamente. Calcula el rea de la regi n sombreada. Aplicando el teorema de Tales tenemos que la longitud xde la figura vienedada por: 5x 27 x 170 1,43 cmEl rea pedida es 170 cm2 Criterios de SEMEJANZA de tri ngulosPARA PRACTICARE jercicio resueltoCalcula la medida de los lados ACy EFpara que los tri ngulos ABCy DEFsean el tercer criterio de SEMEJANZA , los dos tri ngulos ser n semejantes si tienen los tres lados proporcionales.

7 Como ABy DEson lados hom logos, calculamos la raz n de SEMEJANZA de los tri ngulos ADBE 75 1, tanto, 4A,C2 1,4 y 3E,F4 1,4 As ,AC 41,,24 3 cm y EF 1,4 3,4 4,76 cmCalcula el valor de los lados desconocidos para que las siguientes parejas de tri ngulos sean semejan-tes. a) 3, 4, 65, x, yb)x, 5, 310, 10, yc) 4, x, 12y, 3x, za) La raz n de SEMEJANZA es 53 1,6 , por lo que x 4 1,6 6,6 e y 6 1,6 ) La raz n de SEMEJANZA es 150 2, por lo que 2x 10 x 5 e y 3 2 ) La raz n de SEMEJANZA es 3xx , por lo que y 4 3 12 y z 4 12 valor de xpuede ser cualquiera siempre que se pueda formar un tri ngulo con dichas longitudes, es decir, 8 x cm3,4 cm7 cm4,2 170 2 25 cm2 cm5 los siguientes casos se conocen las medidas de dos ngulos de cada uno de los dos tri ngulos. Indi-ca cu les son semejantes y cu les ) 50 , 40 40 , 90 b) 25 , 30 30 , 135 c) 50 , 50 50 , 80 d) 50 , 60 60 , 70 a) Como la suma de los ngulos de un tri ngulo es 180 , los ngulos del primer tri ngulo son 50 ,40 y 90 , mientras que losdel segundo ser n 40 ,90 y 50.

8 Como los tri ngulos tienen los mismos ngulos, aplicando el primer criterio de semejanzatenemos que son ) El ngulo desconocido del primer tri ngulo mide 125 . Como no coinciden dos ngulos con el otro tri ngulo, no son ) El ngulo desconocido del primer tri ngulo mide 80 . Como coinciden dos ngulos con el otro tri ngulo, el primer criterio desemejanza nos permite asegurar que los tri ngulos son ) El ngulo desconocido del primer tri ngulo mide 70 . Como coinciden dos ngulos con el otro tri ngulo, son los criterios de SEMEJANZA de tri ngulos para explicar si las siguientes afirmaciones son verdade-ras o ) Todos los tri ngulos equil teros son ) Todos los tri ngulos rect ngulos son ) Si dos tri ngulos is sceles tienen el mismo ngulo desigual, entonces son semejantes. a) Verdadera. Los tri ngulos equil teros tienen los tres lados correspondientes proporcionales; por tanto, el tercer criterio de se-mejanza nos permite asegurar que son ) ) Verdadera.

9 Los tri ngulos is sceles tienen dos pares de lados proporcionales; si adem s tienen el mismo ngulo desigual, en-tonces el segundo criterio de SEMEJANZA nos permite asegurar que son APLICARP roblema resueltoSi un edificio de 100 metros de altura proyecta una sombra de 24 metros, qu altura tendr otro edi-ficio que en ese mismo instante deje una sombra de 15 metros?Como en un mismo instante la inclinaci n de los rayos solares es la misma, los tri ngulos de la figura tienen dos ngulos igua-les. As , por el primer criterio de SEMEJANZA , los dos tri ngulos son semejantes. Por tanto, los lados han de ser proporcionales: 1h00 2145 h 152040 62,5El edificio mide 62,5 metros de un instante determinado, una persona de 1,72 metros de altura proyecta una sombra de 0,23 me-tros. En ese mismo momento, la sombra de un rbol es de 1,34 metros. Qu altura tiene este?

10 Los tri ngulos que se forman son semejantes, ya que ambos son rect ngulos y la inclinaci n de los rayos solares es la misma sila medici n se realiza en el mismo instante. En consecuencia, los lados han de ser proporcionales y tendremos que: 1,h72 01,,2334 h 1,720, 231,34 10,02 mUtiliza los criterios de SEMEJANZA de tri ngulos para calcular la anchura del r o de la figura. Los tri ngulos de la figura son rect ngulos y adem s tienen dos ngulos opuestos por el v rtice; por tanto, tienen dos nguloscorrespondientes iguales. El primer criterio de SEMEJANZA nos permite asegurar que los tri ngulos son el teorema de Tales tenemos que: 1h,5 h 7,75 mDibuja un tri ngulo rect ngulo ABC. Traza el tri ngulo MNPque se obtiene al unir los puntos mediosde los lados del tri ngulo ABC. Qu criterio de SEMEJANZA aplicar as para probar que los dos tri ngu-los son semejantes?