70 exercices d’alg ebre lin eaire 1 Espaces vectoriels

1 Pierre-Louis CAYREL2008-2009 Licence 1 Alg`ebre Lin eaireUniversit e de Paris 8 Feuille d exercices70 exercices d alg`ebre lin eaire1 Espaces Structure d espace vectorielExercice 1On d efinit surE=R2 l addition par(x,z) (x ,z ) = (x+x ,z+z ) la multiplication externe , ayantRcomme corps des scalaires, par (x,z) = (2x,0).Emuni de ces deux lois est-il un espace vectoriel surR?Exercice 2 Exercice 3 PourxetyalorsR +et r eel, on posex y=xyet x=x .Montrer que (R +, , ) est un espace vectoriel Ind ependance lin eaire , Ind ependance lin {x,y,z,t}une famille libre d el ements d un espace vectorielE. Les el ements suivants sont-ils lin eairement ind ependants ? , ,2x+ +z,zety+ +y,x 3y,tety Base ensemble des nombres complexes consid er e comme un espace vectoriel est la dimension deE?

2 +ib E. A quelle conditionzet zforment-t-ils une base deE? Dans ce cas,xety etant des r eels donn es, calculer les composantes et dex+iydans la base (z, z).Exercice 4 Soienta,b,ctrois r eels positifs distincts. On notefala fonction d efinie surR +par :fa(x) = ln(ax)Montrer que{fa,fb,fc}est une partie li ee deF(R +,R). Sous- Espaces vectorielsExercice 5 SoitEleR-espace vectorielR. Quels sont les sous- Espaces vectoriels deE? LeC-espace queCest un espace vectoriel surCet un sous-espace duC-espace vectorielC? eme question pour{ (a+bi)| R}o`ua+bi Cest fix LeR-espace queEest engendr e par les vecteurs 1 eti par les vecteurs 1 eterminer des syst`emes g en erateurs peut-on dire si l on consid`ereCcomme espace vectoriel surC?

3 Exercice 6 SoitEunR-espace vectoriel. SoientFetGdeux sous- Espaces vectoriels emontrer :F Gest F GouG d eduire que siF6=EetG6=E, alorsF G6= 7 Dans l espace vectorielR3, les sous-ensembles suivants sont-ils des sous-espacesvectoriels ? {(x,y,z) R3|x+y 4z= 0} {(x,y,z) R3|x 2y+z= 1}(c)C={(x,y,z) R3|xy z= 0} {(x,y,z) R3|x 2y= 0 etz x= 0} {( , ,3 )| Ret R} {( +c, , + )| Ret R}avecc Rfix eterminer (s il y a lieu) des syst`emes g en erateurs, d ecider si le sous-espace est une droite ouun plan deR3, donner les equations param etriques et cart 8 DansR3, montrer que le sous-espace engendr e paru= (2,0, 1) etv= (3,2, 4)co ncide avec le sous-espace engendr e parw= (1,2, 3) ett= (0,4, 5).

4 Exercice 9 Soit un param`etre r eel, soientFetG les sous- Espaces vectoriels deR3d efinispar les equations :F:x y+z= 0G :{3x 2z= 0y z= 0D eterminer des syst`emes g en erateurs deF,G,F GetF+Get des equations param etriqueset cart esiennes de ces sous- Espaces . Interpr eter g eom etriquement les r 10 Pour param`etre r eel, on appelleP le sous-espace vectoriel deR4engendr e parles vecteursu= (2,5,1,3) etv2= (4,10, ,6). une condition n ecessaire et suffisante sur pour queP soit un eterminer, pour tout , les equations cart esiennes et param etriques deP . SoitD ladroite deR4engendr ee par le vecteurw = ( ,15, ,9). les equations cart esiennes deD quelles conditions sur et ,D est contenue dansP ?}

5 Exercice 11 SoitGle sous-espace deR4engendr e par les vecteurs :u= (1, 1,2, 2)v= (4,0,1, 5)w= (3,1, 1, 3)SoitH={(x,y,z,t) R4,x+y= 0 etx y+z+ 2t= 0}. eterminer la dimension queHest un sous-espace deR4et d eterminer sa eterminer les dimensions des sous-espacesG HetG+ un sous-espaceFdeR4tel que (G+H) F= sous-espace deR4engendr e par les vecteurs :u= (1,2, 1, 1)etv= (2,3,0, 1)Calculer la dimension sous-ensemble deR4form e des vecteurs (x1,x2,x3,x4) tels que 3x1 x3= 0 etx1+x3 x4= 0. Montrer queFest un sous-espace vectoriel les dimensions deE Fet du sous-espace vectoriel deR4,E+F, engendr e parE 13 Soient les vecteurs suivants deR4:u= ( 1,0,3, 9)v= (3, 4,3,7)w= (7, 12,15,3)a= (1, 1,0,4)b= (1,0,3, 1).

6 Quev( ) appartient au sous-espace vectoriel deR4engendr e par{a,u}(resp.{u,v}). ( ) le sous-espace vectoriel deR4engendr e par{u,v,w}(resp.{a,b}).D eterminer la dimension et une base des sous-espacesF,G,F GetF+G(cette questionne n ecessite pas de calculs, si on utilise des arguments de dimension). que la droiteHdeR4engendr e par le vecteurt= (1, 1,1,1) est un suppl ementairedeF+G. En d eduire un suppl ementaire de chacun des sous-espacesF G, une interpr etation g eom etrique des r esultats trouv 14 SoitEun espace vectoriel de dimension finiensurK, on consid`ereE1etE2deux sous- Espaces vectoriels deEde dimensions un encadrement de dim(E1 E2) et de dim(E1+E2). l egalit e :dim(E1+E2) + dim(E1 E2) = dim(E1) + dim(E2)(Suggestion : consid erer une baseB0deE1 E2, la compl eter en une baseB1deE1en une baseB2deE2; extraire deB1 B2une base deE1+E2).

7 HyperplanExercice 15On appellehyperplan (vectoriel)deEtout sous-espace vectoriel deEdedimensionn 1. On consid ere deux hyperplans distincts deE:FetG. D eterminer la dimensiondeF Gpar les deux m ethodes suivantes l exercice qu il existe deux vecteursaetbdeEtels que :a F, a6 G, b G et b6 FMontrer que le sous-espace vectoriel deEengendr e paraetbest un suppl ementaire deF 16 SoitEun espace vectoriel r eel de que sifest une forme lin eaire non nulle surE, alors kerfest un hyperplan deE, c est-`a-dire un sous-espace vectoriel deEde dimensionn 1. Montrer qu il existe desr eels 1,.. nnon tous nuls tels que :u= (x1,..xn) kerf 1x1+..+ nxn= {(x,y,z,t) R4,x 2y+z t= 0}. Montrer queHest un hyperplan une forme lin eairefsurR4telle queH= kerf?

8 Hyperplan deE. Montrer qu il existe une forme lin eaire surEtelle que kerf=H. (On pourra compl eter une base deHet d efinirfsur cette base).fest-elle unique ? erifier qu un hyperplanHdeEpeut etre d efini par une des trois conditions equivalentessuivantes :(i)Hest un sous espace vectoriel deEde dimensionn 1.(ii)Hest le noyau d une forme lin eaire non nulle surE.(iii)Hest l ensemble des solutions d une equation lin eaire de la forme 1x1+..+ nxn=0 o`u ( 1,.. n) Rnet ( 1,.. n)6= (0,..0). (On dit que cette equation est une equation cart esiennede l hyperplanH). est l equation cart esienne d un hyperplan deR3? l equivalence des d efinitions suivantes :(j)Dest une droite deR3, c est-`a-dire un sous-espace de dimension 1.

9 (jj)Dest l ensemble des solutions d un syst`eme lin eaire ( ){ax+by+cz= 0a x+b y+c z= 0o`u (a,b,c) et (a ,b ,c ) ne sont pas colin eaires.((*) est un syst`eme d equations cart esiennes deD).2 Applications lin Notion de lin earit eExercice 17On noteC([0,1]) ( ([0,1])) leR-espace vectoriel des fonctions d efinies etcontinues (resp. ayant une d eriv ee continue) de [0,1] dansRetEnest le sous-espace deC[X]des polyn omes de degr e au les applications suivantes lesquelles sont lin eaires. D eterminer, pour chacune de celles-ci, son noyau et son image et, dans le cas d Espaces de dimension finie, sa matrice. Dire sil application est injective, surjective, :R R,f1(x) = 2x2f2:R R,f2(x) = 4x 3f3:R2 R2,f3(x,y) = (0,x)f4:R2 R2,f4(x,y) = (y,x)f5:R2 R,f5(x,y) = 3x2+y2f6:C2 C,f6(z,z ) = 3z iz f7:C2 C,f7(z,z ) =zz f8:C([0,1]) R,f8(g) =g(1)f9:C([0,1]) R,f9(g) =|g|f10:C1([0,1])) C([0,1]),f10: (g) =gg f11:C([0,1])) R,f11(g) = max{g(t),t [0,1]}f12:En En,f12(P) =P f13:C([0,1]) R,f13(g) =g (12) + 10g(t)dtf14:En En,f14(P) =XPf15:En En,f15(P) =P(2)f16:En En,f16(P) =XP+ 1 Exercice le graphe d une applicationfdeRdansRinjective et non le graphe d une applicationgdeRdansRsurjective et non le graphe d une application lin eairehdeRdansRinjective et non surjective ( et non injective).}

10 Que les applications lin eaires deRdansRsont les applications de la forme :x xo`u est un r eel fix 19 SoientEun espace vectoriel de dimension 3 surRet (e1,e2,e3) une base consid`ere deux endomorphismesuetvdeEd efinis par :u(e1) =u(e2) =u(e3) =e1+e2+e3v(e1) =e2, v(e2) =e3, v(e3) = que l on au v=v u= entiers naturels non nuls, calculeru2,v3puisupetvqen fonction deu,v, 20 Soitfun endomorphisme d un espace vectorielEde dimensionntel quefn= 0etfn 16= 0. Soit un vecteurxtel quefn 1(x)6= 0. Montrer que (x,f(x),..,fn 1(x)) est unebase Applications lin eaires, prolongement par lin earit e,isomorphismesExercice 21 SoitE1l espace vectoriel des polyn omes de degr e au plus sont les bases canoniques des Espaces vectorielsE1,R2,C?