ALGEBRA LINEAL - Nick Gill

1 Universidad de Costa RicaEscuela de Matem atica1n x1n y1ny y1nyxx x1n ALGEBRA LINEALC arlos Arce Castillo Gonz alez LinealCarlos Arce S., William Castillo E., Jorge Gonz alezTercera Edici on 2002 Edici on y Diagramaci on: Carlos no de portada:Tipograf a y compilador: LATEXiPresentaci onLos materiales de este libro han sido desarrollados para el cursointroductorio de ALGEBRA LINEAL , dirigido a estudiantes de ingenier ay otras carreras de la Universidad de Costa Rica. En ellos seresume la experiencia de impartir el curso durante seis a prop osito ha sido dotar a los estudiantes de un folletocon los temas b asicos de la teor a del ALGEBRA LINEAL que, resalte losaspectos geom etricos del tema, no oculte algunas demostracionesfundamentales que permiten reconocer las vinculaciones entre dis-tintos conceptos y muestre algunas de sus aplicaciones.

2 El libroincluye adem as listas abundantes de ejercicios que privilegian laaplicaci on de conceptos sobre los aspectos p uramente algor nueva edici on presenta algunos cambios respecto a la an-terior. Todos los cap tulos fueron revisados, se mejoraron losgr aficos y en algunos se agregaron nuevos ejercicios. El cap tulo deregresi on LINEAL se reformul o completamente, haciendo una mejorexposici on del tema. Por otra parte, el libro incluye ahora, unanueva presentaci on en formato PDF con hypertexto, que permiteser distribuido por medios electr onicos y que constituye un nuevorecurso para que los profesores hagan sus exposiciones con ayudade .. o equipos a los colegas de la c atedra de ALGEBRA LINEAL susobservaciones sobre errores en la edici on anterior y las sugerenciaspara mejorar el Indice General1 Sistemas de ecuaciones Sistemas con dos inc ognitas.

3 Sistemasn m.. Sustituci on hacia atr as .. Operaciones elementales .. Sistemas equivalentes y reducci on gaussiana Soluci on de sistemas representados como matrices . Matriz del sistema y matriz aumentada .. Operaciones elementales sobre las filas deuna matriz .. Matriz escalonada .. Reducci on gaussiana y matriz escalonada . Reducci on de Gauss-Jordan .. Matrices equivalentes y rango .. Escritura matricial de sistemas .. Equivalencia de matrices .. Rango de una matriz .. Caracterizaci on de los sistemas, por su soluci on .. Sistemas que no tienen soluci on .. Sistemas con soluci on .. Sistemas homog eneos .. Sistemas con menos ecuaciones que variables Sistemasn n.. Interpretaci on del rango de una matriz.

4 Redes y sistemas de ecuaciones lineales .. Redes de flujos .. Redes el ectricas .. Ejercicios .. 362 Algunos tipos de matrices .. Operaciones con matrices y propiedades .. Algunas interpretaciones para el producto matricial Propiedades del producto matricial .. Matrices inversas .. Matrices elementales .. Propiedades de las matrices elementales .. Independencia LINEAL de vectores .. Combinaci on LINEAL de vectores .. Dependencia e independencia LINEAL .. M as interpretaciones para el rango .. Ejercicios .. 84v3 Propiedades definitorias de la funci on determinante Determinante de una matriz de orden n .. Propiedades del determinante .. Regla de Cramer .. Ejercicios .. 1054 programaci on Dos modelos cl asicos de programaci on LINEAL .

5 Modelo de transporte .. Modelo de producci on .. Soluci on del problema de programaci on LINEAL .. M etodo geom etrico .. Soluci on algebraica: m etodo simplex .. Variables artificiales .. Un ejemplo .. Formulaci on de la t ecnica de las variablesartificiales .. Ejercicios .. 1405 Geometr a de Representaci on geom etrica de vectores .. Interpretaci on geom etrica de flecha para vec-tores .. Interpretaci on geom etrica de la suma de vec-tores .. Interpretaci on geom etrica del producto deun escalar por un vector .. Relaci on entre flechas y puntos .. Normas, angulos y proyecciones .. Producto punto y norma .. Angulos .. Proyecciones ortogonales .. Producto cruz .. Relaci on entre el producto cruz, el volumende paralelep pedos y los determinantes.

6 Conceptos de distancia y angulo en el an alisis dedatos .. M etricas de pesos y medidas estad sticas . Ejercicios .. 1776 Rectas y Descripci on vectorial de una recta .. Ecuaci on vectorial de una recta .. Ecuaciones param etricas escalares y sim e-tricas .. Descripci on vectorial de los puntos de un plano .. Ecuaci on vectorial de un plano .. Ecuaci on normal de un plano enIR3.. Hiperplanos .. Distancias entre puntos, rectas y planos .. Ejercicios .. 204vii7 Espacios Definici on y propiedades b asicas .. Ejemplos: espacio de matrices .. M as ejemplos: espacios de funciones .. Subespacios .. Ejemplos .. Tres subespacios t picos deIRn.. Combinaciones lineales y conjuntos generadores .. Conjuntos generadores.

7 Dependencia e independencia LINEAL .. Bases .. Dimensi on .. Conjuntos generadores de hiperplanos .. Vector de coordenadas .. Espacio generado por las filas de una matriz .. Operaciones elementales y espacio generado Ejercicios .. 2408 Ortogonalidad y Conjuntos ortogonales .. Bases ortonormales .. Subespacios ortogonales .. Proyecci on ortogonal sobre un subespacio .. Construcci on de bases ortonormales .. Ortonormalizaci on de Gram-Schmidt .. Ejercicios .. 2609 Regresi on El caso de dos variables .. Planteo del modeloy=a0+a1x+ .. Soluci on: m nimos cuadrados .. Aplicaci on al ejemplo .. Calidad de las estimaciones .. Regresi on LINEAL M ultiple .. Planteo del modelo .. Soluci on geom etrica.

8 Indice de calidad .. Ejemplo : estimaciones con datos no cen-trados .. Resumen .. Ejemplo : estimaciones usando datos cen-trados .. Ejercicios .. 28210 Transformaciones Concepto de transformaci on LINEAL .. Im agenes de los vectores de una base deter-minan la .. Relaci on entre transformaciones y matrices .. Toda matriz define una transformaci on LINEAL Asociaci on de matrices a las Matrices de cambio de base .. Composici on de y producto matricial . Matrices asociadas a una misma transfor-maci on .. N ucleo e Imagen .. Definici on de n ucleo e imagen .. Inyectividad y sobreyectividad .. Transformaciones invertibles .. Ejercicios .. 31911 Vectores y Valores Concepto de valor y vector propio .. C alculo de valores y vectores propios.

9 Diagonalizaci on de matrices .. Caracterizaci on de matrices diagonalizables Matrices ortogonalmente diagonalizables .. Valores y vectores propios de operadores .. Diagonalizaci on de operadores .. Diagonalizaci on de formas cuadr aticas .. Rotaci on de c onicas y superficies cuadr aticas .. C onicas y sus ecuaciones can onicas .. Ejes principales, angulo de rotaci on .. Superficies cuadr aticas usuales .. Ejercicios .. 362A Ex Ex amenes Parciales I .. I ciclo lectivo de 1996 .. II ciclo lectivo de 1996 .. I ciclo lectivo 1997 .. II ciclo lectivo de 1997 .. Ex amenes Parciales II .. I ciclo lectivo de 1996 .. II ciclo lectivo de 1996 .. I ciclo lectivo de 1997 .. II ciclo lectivo de 1997 .. Ex amenes Parciales III.

10 I ciclo lectivo de 1996 .. II ciclo lectivo de 1996 .. I ciclo lectivo de 1997 .. II ciclo lectivo de 1997 .. 398B Respuestas a algunos Ejercicios (pag. 36) .. Ejercicios (pag. 84) .. Ejercicios ( ) .. Ejercicios (pag. 140) .. Ejercicios (Pag. 177) .. Ejercicios (Pag. 204) .. Ejercicios (Pag. 240 ) .. Ejercicios (Pag. 260) .. Ejercicios (pag. 282) .. Ejercicios ( ) .. Ejercicios (pag. 362) .. 417 Cap tulo 1 Sistemas de ecuacioneslinealesComenzamos el estudio de los temas del ALGEBRA LINEAL con elm etodo de reducci on gaussiana para resolver sistemas de ecua-ciones lineales. Su introducci on se har a de manera operativa yse nalando los principales resultados que caracterizan la soluci onde un sistema. No nos ocuparemos de las demostraciones, pero s enfatizamos en la lectura de la informaci on que provee la formaescalonada de la matriz aumentada del sistema.