Algunas Distribuciones Continuas de Probabilidad

1 Algunas Distribuciones Continuas de ProbabilidadUCR ECCICI-0115 Probabilidad y Estad sticaProf. Kryscia Daviana Ram rez BenavidesUCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y Estad sticaAlgunas Distribuciones Continuas de Probabilidad2 Introducci n El comportamiento de una variable aleatoria queda descrito por su distribuci n de Probabilidad . A menudo, las observaciones de diferentes experimentos estad sticos tienen el mismo tipo general de comportamiento. En consecuencia, las variables aleatorias Continuas asociadas se pueden describir con la misma distribuci n de Probabilidad y se pueden representar mediante una sola f CI-0115 Probabilidad y Estad sticaAlgunas Distribuciones Continuas de Probabilidad3 Distribuci n Uniforme Continua Es la m s simple de todas las Distribuciones Continuas de Probabilidad . Se caracteriza por una funci n de densidad que es plana , y por ello la Probabilidad es uniforme en un intervalo cerrado.

2 La funci n de densidad de la variable aleatoria uniforme continua Xen el intervalo [A,B] es La media y la varianza de la distribuci n uniforme continua f(x;A,B) son caso otro01,;BxAABBAxf 12222 ABBA UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y Estad sticaAlgunas Distribuciones Continuas de Probabilidad4 Distribuci n Uniforme Continua (cont.) La funci n de densidad forma un rect ngulo con base B Ay altura constante 1/(B A). Como resultado, la distribuci n uniforme a menudo se llama distribuci n rectangular. Es sencillo calcular las probabilidades para la distribuci n uniforme debido a la naturaleza simple de la funci n de densidad. Sin embargo, la aplicaci n de esta distribuci n se basa en la suposici n de que la Probabilidad de caer en un intervalo de longitud fija dentro de [A,B] es CI-0115 Probabilidad y Estad sticaAlgunas Distribuciones Continuas de Probabilidad5 Distribuci n Normal La distribuci n continua de Probabilidad m s importante en todo el campo de la estad stica es la distribuci n normal.

3 Su gr fica se denomina curva normal, es la curva con la forma de campana, la cual describe aproximadamente muchos fen menos que ocurren en la naturaleza, la industria y la investigaci n. Las mediciones f sicas en reas como los experimentos meteorol gicos, estudios de lluvia y mediciones de partes fabricadas a menudo se explican mejor con una distribuci n normal. Los errores en las mediciones cient ficas se aproximan extremadamente bien mediante una distribuci n CI-0115 Probabilidad y Estad sticaAlgunas Distribuciones Continuas de Probabilidad6 Distribuci n Normal (cont.)xUCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y Estad sticaAlgunas Distribuciones Continuas de Probabilidad7 Distribuci n Normal (cont.) La distribuci n normal a menudo se denomina distribuci n gaussiana, en honor de Karl Friedrich Gauss. Una variable aleatoria continua Xque tiene la distribuci n en forma de campana se llama variable aleatoria normal.

4 La ecuaci n matem tica para la distribuci n de Probabilidad de la variable normal depende de los dos par metros y , su media y desviaci n est ndar, respectivamente. De aqu se denota los valores de la densidad de Xcon n(x; , ).UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y Estad sticaAlgunas Distribuciones Continuas de Probabilidad8 Distribuci n Normal (cont.) La funci n de densidad de la variable aleatoria normal X, con media y varianza 2, esdonde = y e= Una vez que se especifican y , la curva normal queda determina por completo. xexnx22121,; UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y Estad sticaAlgunas Distribuciones Continuas de Probabilidad9 Distribuci n Normal (cont.)x 1 1 2 2 1 = 2 1< 2 UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y Estad sticaAlgunas Distribuciones Continuas de Probabilidad10 Distribuci n Normal (cont.)112122xUCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y Estad sticaAlgunas Distribuciones Continuas de Probabilidad11 Distribuci n Normal (cont.)

5 X 1 1 2 2 1 < 2 1< 2 UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y Estad sticaAlgunas Distribuciones Continuas de Probabilidad12 Distribuci n Normal (cont.) Propiedades de la curva normal: La moda, que es el punto sobre el eje horizontal donde la curva es un m ximo, ocurre en x= . La curva es sim trica alrededor de un eje vertical a trav s de la media . La curva tiene sus puntos de inflexi n en x= , es c ncava hacia abajo si - < X< + , y es c ncava hacia arriba en cualquier otro punto. La curva se aproxima al eje horizontal de manera asint tica conforme se aleja de la media en cualquier direcci n. El rea total bajo la curva y sobre el eje horizontal es igual a CI-0115 Probabilidad y Estad sticaAlgunas Distribuciones Continuas de Probabilidad13 Distribuci n Normal (cont.) La distribuci n normal encuentra una gran aplicaci n como distribuci n limitante.

6 Bajo ciertas condiciones la distribuci n normal proporciona una buena aproximaci n continua a las Distribuciones binomial e hipergeom trica. La distribuci n limitante proporciona una base amplia para la inferencia estad stica que es muy valiosa para el analista de datos interesado en la estimaci n y prueba de hip tesis. Las reas importantes del an lisis de varianza y del control de calidad tienen su teor a basada en suposiciones que hacen uso de la distribuci n CI-0115 Probabilidad y Estad sticaAlgunas Distribuciones Continuas de Probabilidad14 reas Bajo la Curva Normal La curva de cualquier distribuci n continua de Probabilidad o funci n de densidad se construye de modo que el rea bajo la curva limitada por las dos ordenadas x= ay x= bes igual a la Probabilidad de que la variable aleatoria Xtome un valor entre x= ay x= b. dxedxxnbXaPbaxba 22121,; UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y Estad sticaAlgunas Distribuciones Continuas de Probabilidad15 reas Bajo la Curva Normal (cont.)

7 AbUCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y Estad sticaAlgunas Distribuciones Continuas de Probabilidad16 reas Bajo la Curva Normal (cont.) El rea bajo la curva entre cualesquiera dos valores tambi n depende de los valores y . La dificultad que se encuentra al resolver las integrales de funciones de densidad normal necesita de la tabulaci n de las reas de la curva normal para una referencia r pida. Ser a una tarea sin fin intentar establecer tablas separadas para cada valor concebible de y . Lo bueno es que se puede transformar un conjunto de observaciones de cualquier variable aleatoria normal Xa un nuevo conjunto de observaciones de una variable aleatoria normal Zcon = 0 y 2= CI-0115 Probabilidad y Estad sticaAlgunas Distribuciones Continuas de Probabilidad17 reas Bajo la Curva Normal (cont.) Esto se puede realizar por medio de la transformaci n Siempre que Xtome un valor x, el valor correspondiente de Zest dado por z= (x )/.

8 Por lo tanto, si Xcae entre los valores ay b, la variable aleatoria Zcaer entre los valores correspondientes z1= (a )/ y z2= (b )/ . XZUCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y Estad sticaAlgunas Distribuciones Continuas de Probabilidad18 reas Bajo la Curva Normal (cont.) En consecuencia donde Zse ve como una variable aleatoria normal con = 0 y 2= 1. 212212121221,0;2121zZzPbXaPdxzndxedxebXa Pzzzzzbax UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y Estad sticaAlgunas Distribuciones Continuas de Probabilidad19 reas Bajo la Curva Normal (cont.) La distribuci n de una variable aleatoria normal con = 0 y 2= 1 se llama distribuci n normal est ndar. Ver Tabla del libro de texto para los valores calculados del rea bajo la curva normal, P(Z< z).UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y Estad sticaAlgunas Distribuciones Continuas de Probabilidad20 reas Bajo la Curva Normal (cont.)

9 De acuerdo con el teorema de Chebyshev, la Probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de dos desviaciones est ndar de la media es al menos . Si la variable aleatoria tiene una distribuci n normal, los valores zque corresponde a a= 2 y b= + 2 se calculan f cilmente y son XPZPZPZPXPzzUCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y Estad sticaAlgunas Distribuciones Continuas de Probabilidad21 reas Bajo la Curva Normal (cont.) Si se desea saber los valores de la variable aleatoria X, a partir de los valores de la variable aleatoria Z, se utiliza la f rmula zxUCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y Estad sticaAlgunas Distribuciones Continuas de Probabilidad22 Aproximaci n Normal a la Binomial La distribuci n normal a menudo es una buena aproximaci n a una distribuci n discreta cuando la ltima adquiere una forma de campana sim trica. Desde el punto de vista l gico, Algunas Distribuciones convergen a la normal conforme sus par metros se aproximan a ciertos l mites.

10 La distribuci n normal no solo proporciona una aproximaci n muy precisa para valores grandes de ny p, no est extremadamente cercana de 0 o 1 (como Poisson), sino que tambi n proporciona una aproximaci n bastante buena aun cuando nes peque a y pest razonablemente cercana a .UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y Estad sticaAlgunas Distribuciones Continuas de Probabilidad23 Aproximaci n Normal a la Binomial (cont.) Si Xes una variable aleatoria binomial con = npy 2= npq, entonces la forma limitante de la distribuci n deconforme n , es la distribuci n normal est ndar n(z;0,1).npqnpXZ UCR-ECCI CI-0115 Probabilidad y Estad sticaAlgunas Distribuciones Continuas de Probabilidad24 Distribuciones Gamma y Exponencial Las Distribuciones gamma y exponencial juegan un papel importante en teor a de colas y problemas de confiabilidad. Los tiempos entre llegadas en instalaciones de servicio, y tiempo de falla de componentes y sistemas el ctricos, a menudo quedan bien modeladas con la distribuci n exponencial.