ALLAR VEELMAA

1 Kordamis lesandedALLAR VEELMAATALLINN MATHEMA 2009 Kirjastus Mathema kinnitab: pik vastab p hikooli ja g mnaasiumi riiklikule ppekavale ning haridus- ja teadusministri poolt ppekirjandusele kehtestatudn Hele Kiisel ja Agu kujundanud Heiki teinud ALLAR t nab retsensente paljude kasulike m rkuste ja n uannete eest ning kolleegT nu T nsot k sikirja toimetamise eest. Samuti t nab autor paljusid LooKeskkooli pilasi, kes on lesannete koostamiseks inspiratsiooni 978-9985-9385-4-6 ALLAR VEELMAA 2009K ik igused on kaitstud. Ilma autori iguse omaniku eelneva kirjaliku loata polelubatud htki selle piku osa paljundada ei elektroonilisel, mehhaanilisel egamuul NAPaljudeg mnaasiumitematemaatikaainekaval pebkursusega Kordamine.

2 Et ees seisavad riigieksamid, siis on antud v lja p ris paljuerinevaid riigieksami lesannete kogusid. Paraku on nende puhul tegemist lesannete kogudega, aga mitte ppematerjalidega, mis on m eldudg mnaasiumkursuses stemaatiliseks kordamiseks. K esolev raamat onm eldud aga just ennek ike g mnaasiumikursuse saab ka seda raamatut kasutada riigieksamiteks valmistumiseks,aga samas tuleks endale aru anda matemaatikat pitakse ju mitte selleks, eteksam kuidagiviisi ra teha, vaid ikka selleks, et targemaks saada ja hiljemosata oma teadmisi eluliste lesannete lahendamisel esolevast raamatust peaks sellest olema kasu ka neile, kel on keskkooljuba l petatud. Selleks, et likoolis paremini hakkama saada, vajabkeskkoolis pitu ju meeldetuletamist.

3 Kui teadmistes on l nki ja paljudekeskkooli matemaatika lesannete lahendamine k ib le j u, siis v ibl nkade kaotamisel abi olla ka k esolevast on toodud ra lesannete lahendamiseks vajalik teoreetilinematerjal koos n ite lesannete p hjalikult kommenteeritud lahendamiseks on v lja pakutud 618 hidalt sisust: ppematerjal on jaotatud kolmeteistk mneks teemaks:1. Reaalarvud ja V rrandid ja v rrandis V rratused ja v rratuses Aritmeetiline ja geomeetriline Funktsiooni uurimine ilma Jada ja funktsiooni piirv Funktsiooni tuletis, selle Integraal ja selle Vektorid. Joone v T en osusteooria ja seda raamatut kasutada?G mnaasiumikursuse kordamiseks m eldud raamatut saab kasutada kogug mnaasiumikursuse v ltel lisaks pikule, kus m ne teema juures on lesandeid v hev itu v i tunduvad need liiga lihtsatena.

4 Asendamatuks abi-meheks on see raamat aga eksamieelsel kordamisel, et saaks meelde tuletadavajalikke valemeid, uurida n ite lesannete lahendusi ja loomulikult ka ise lesandeid lahendada. lesandeid v ga erineva raskusastmega alates lihtsatest, l petadestavap rastest riigieksami lesannetest teema kordamisel veenduge, kas kirjapandud valemid tulevad ikkatuttavad ette. Uurige ka p hjalikult pikus olevaid n iteid. Algul on m istlik ra lahendada lesanded, millega saate kindlasti hakkama (oma vastuseidsaate v rrelda raamatu l pus olevate vastustega). Siis v tke k sile juba veidikeerukamad lesanded. Paljusid lesandeid saab lahendada mitmel erinevalviisil. P dke ka ise leida lesannetele erinevaid lesannete puhul saab lahenduse igsust ka arvuti abil avaldiste, v rrandite (v rratuste)

5 Ja ka funktsiooni uurimisegaseotud lesannete puhul sobib selleks programm Wiris1ja mitmesugustegeomeetria- ja algebra lesannete puhul programm Veelmaa1 Wiris asub asub TRIGONOMEETRIAT rigonomeetriliste avaldiste lihtsustamisel, samasuste t estamisel jav rrandite v i v rratuste lahendamisel muudab lesande lahendamine tihti-peale keerukaks see, et v imalikke lahendusteid on enam kui avaldisi sisaldavate lesannete lahendamise ks v tipeitub kindlastip hiseosteja nendesttuletatud P hiseosed ja tuletatud valemidTrigonomeetria p hiseosed22sincos1D D ,sintancosD D DEsimene valem kehtib nurgaDiga v rtuse korral (sel juhul on tegemistabsoluutse samasusega).

6 Teine ja kolmas valem kehtivad juhul, kuicos0, ,.2nnSDzr S ]Sellistel puhkudel on nikord kasutatakse ka valemitcoscot ,sinD DDkus nimetatakse valemeid, mis v imaldavad mistahesnurga trigonomeetriliste funktsioonide v rtuste leidmise taandada terav-nurga trigonomeetriliste funktsioonide v rtuste valemite meelde-j tmiseks on otstarbekaskasutada j rgmist skee-mi:Negatiivse nurga korral kehtivad seosed: sinsin , D D coscos , D Dtan( D)= tanDT isp rdest suuremate (v iksemate) nurkade korral:sin360sin , cos360cosjatan180tan , DD DD D DDD]Trigonomeetria70 Kahe nurga summa ja vahe siinus, koosinus ja tangens sinsin coscos sin ,coscos cossin sin , tanDrE DErDEDrE DEDEDrEDrE DEBBK ahekordse nurga siinus, koosinus ja tangens2222tansin 22 sin cos , cos DDD D DD DPoolnurga siinus, koosinus ja tangens1cos1cos1cossin, 2221cosD DD DD D r r r DSumma ja vahe teisendamine korrutiseks sinsin2 sincos,22sinsin2 cossin,22coscos2 coscos,22coscos2 ED ED E D ED ED E D ED ED E D ED ED E DrEDrE D EKorrutise teisendamine summaks v i vaheks>@>@>@>@>@221sin cossin() sin() ;21cos coscos() cos() ;21sin sincos() cos().

7 211sin1 cos 2jacos1 cos222DE D E D EDE D E D EDE D E D ED DD DTrigonomeetria71N ide avaldisesin 240 cos150sin270tan 315 . DDDDT aandamisvalemite abil leiame iga teguri v rtuse eraldi:3sin 240sin(18060 )sin 60,23cos150cos(18030 )cos 30,2sin( 270 )sin 270sin(18090 ) sin 901jatan 315tan(36045 )tan 451. DDDDDDDDDDDDDDDDDT ulemused kokku v ttes saame avaldise v rtuseks333sin 240 cos150sin270tan 3151 ( 1).224 DDDDV astus:avaldise t pne v rtus k mnendmurruna on 0, ide avaldised:a) tan 510 = tan(3 180 30 ) = tan 30 =33 ;b) 2222sinsinsinsin, S D S D D D c)cot270cot 270cot 180(90) D D D DDDD=cot(90)tan , D DDd) sin 209cos209tan 20sincosS D D S S S D D S sincos.

8 D DN ide avaldise2sin Kuna2222 21cos2 sincoscossin2cos ,xxxxx x sin 22 sin cosxxx ja221cossin ,xx siis222sin 2cos2 sin xxxxxxxx Vastus:avaldise lihtsustatud kuju on 1 : ide korrutisekscos 2sin 3cos 4 .xx x Kuna24 24cos 2cos 42 sinsin22xx xxxx =2 sin 3 sin()2 sin 3 sinxxxx , siis cos 2cos 4sin 32 sin 3 sinsin 32 sin 3 sin0, 5 .xxx xxx xx Vastus:tegurdatud avaldis on 2sin 3x(sinx+0,5).N ide ,2 Dkuitan3D jaDon kolmanda veerandi nurkDon kolmanda veerandi nurk (180270 D DD), siis2 Don teiseveerandi nurk. Teises veerandissin02D!, D Leiame cosDvalemi2211tancos D Dabil:2211(3)cos Dehk214,cos Kolmandas veerandis on koosinuse v rtus negatiivne, , Kokkuv ttes saame, et1(0,5)1, 242D Vastus:3sin 0, N ide estame, et33cossin2 sin Teisendame v rduse vasakut poolt: 2233cossincoscos sinsincossincossincossinxx x xx xxxxxxx 22cossinsin cos1 0, 5 sin 2.

9 Xxxxx Saimegi sama tulemuse, mis on v rduse paremal poolel, sest:2sin2 2 sin21 0, 5 sin 2 .222xxx Trigonomeetriliste avaldiste valemid, mille abil saab nurga kraadim dust teisendadaradiaanm tu ja vastupidi. Kumba m tu kasutatakse t nap eval rohkem(tooge n iteid)? Uurige, milleks on taskuarvutil GRAD? nurk kraadim dust radiaanm tu ja ) 45o; 225o; 3600o; 315o;45o;0o; 180o; 135o;1o; 270o;2)S;0;235;;;1;;;2;;;3; 461224 SSSSSSS S avaldise t pne v rtus m istlikul viisil. Kontrollige tulemustkalkulaatori ) cosD, kui sinD= 0,6 ja 90 <D< 180 2) sinD, kui tanD= 3ja32S<D<2S3) tanD, kui sinD= 32ja 270 <D< 360 4) sin 2D, kui tanD= 3ja 90 <D< 180 5) cos 2D, kui tanD= 1 ja2S<D<S6) tan 2D, kui cosD= 0,5 ja nurkDon kolmanda veerandi nurk7) cos 0,5D, kui sinD= 0,6 ja nurkDon teise veerandi nurk8) sin 0,5D, kui tanD= 3ja nurkDon kolmanda veerandi nurk9) tan 0,5D, kui sinD= 22ja nurkDon neljanda veerandi avaldis taandamisvalemite )sin 45 cos 45sin 30 cos 60tan 45 tan 0 DDDDDD2) tan120 tan 330cos 0sin 225 cos135 DDDDD3) sin 390 sin 510cos 570 cos 870tan 600 tan1110 DDDDDD4)sin 210cos 240cos 660sin( 405 ) cos( 315 ) sin 540 DDDDDD5)2tan 210 sin 4202 cos ( 870 )

10 2 sin( 45 )2 cos 405tan( 765 ) kalkulaatorit kasutamata, kumb avaldistest on suurem?1) sin 300 .. sin 320 2) tan 32 .. tan 211 3) cos 100 .. cos 260 4) sin 100 .. sin 300 5) tan ( 44 ) .. tan 68 6) sin 144 .. cos 144 7) tan 99 .. tan 89 8) cos( 400 ) .. cos 410 D Esitage arvumkaudu1)sin cosDD2)44sincosD sin 2D, D ,xx kui sincos0, ) 22sincossincosD D D D2) 1sin cos 1sin cossin1 sinxxxxxx 3) 22331 sin cossinsincossincossincosxx xxxxxxx 4)212sincos cos sincossin2cos1xx x xxxx 5)1 coscos 2cos 3sin 22 sin cos 2xxxxxx avaldis222cossin2sinsincosxxxx x ja leidke nurgad, mille korralselle avaldise v rtus on ( 1). avaldise 1costan1sin1tan DD DDv rtus, kuiD= 60.