Analisi Matematica I - calvino.polito.it

1 Analisi Matematica IFabio Fagnani, Gabriele GrilloDipartimento di MatematicaPolitecnico di TorinoQueste dispense contengono il materiale delle lezioni del corso di AnalisiMatematica I rivolto agli studenti del primo anno di Ingegneria della IIIfacolt`a del Politecnico di pensate, come il corso del resto, per studenti in possesso di unacultura Matematica quale `e quella fornita mediamente dalle scuole mediesuperiori. Si presuppone in particolare la conoscenza dei seguenti argomen-ti: polinomi, esponenziali, logaritmi, elementi di trigonometria, geometriaanalitica (rette, coniche), equazioni e disequazioni algebriche e elementi non saranno trattati in queste note. Si presuppone anche chelo studente conosca le basi del linguaggio insiemistico: alcuni richiami sonocomunque fatti nell Appendice A1 che consigliamo di leggere come dispense contengono anche un certo numero di esercizi di diversedifficolt`a.

2 Gli esercizi senza particolari contrassegni sono da considerarsi didifficolt`a normale. Saperli risolvere `e condizione necessaria per poter contin-uare a seguire il corso con profitto; rappresentano la difficolt`a richiesta persuperare l esame del corso. Gli esercizi contrassegnati con * sono di difficolt`asuperiore. La capacit`a dello studente di risolverli significa un ottimo livellodi padronanza dei concetti del corso. Degli esercizi con risposta numerica ologica `e fornito, alla fine di ciascuno, il 1 Insiemi di Naturali, interi, razionaliI numeri sono cos` pervasivi del nostro mondo da far si che se ne cominci afare conoscenza nei primi anni di vita e se ne continui a fare un uso via via pi`uapprofondito nella vita quotidiana e nel percorso scolastico fino alle scuolesuperiori.

3 Resta tuttavia indispensabile per gli studenti che hanno deciso diintraprendere studi universitari di carattere scientifico o tecnico ritornarci dinuovo sopra nei corsi matematici di base. L esigenza nasce dalla necessit`adi fare alcuni chiarimenti su alcuni aspetti delicati e profondi dei numeri chegiocano poi un ruolo fondamentale in tutta quanta la Matematica . Non sitratta tanto di questioni fondazionali sul concetto di numero, che in questasede non verranno affrontate, quanto di questioni concrete da tenere benpresenti da chiunque voglia utilizzare lo strumento matematico con perizia primi numeri che si incontrano sono gli interi positivi, detti anchenumerinaturali: 1,2,3, .. L insieme dei numeri naturali si indica con il i numeri che servono a contare e che hanno fatto la prima comparsanelle societ`a umane svariate migliaia di anni fa.

4 Per fare misure di quantit`afisiche come lunghezze, aree, tempi, temperature, ecc., `e tuttavia necessariopoter disporre di sottoparti dell unit`a e considerare quindi numeri frazionarim/ndovem, n Nconn6= 0. E poi conveniente anche introdurre i numericon il segno per poter trattare grandezze negative come possono essere latemperatura, la velocit`a e molte altre grandezze fisiche. Si ottengono cos` i34 CAPITOLO 1. INSIEMI DI NUMERI seguenti insiemi numerici:Z={0, 1, 2, ..}numeri interi relativi,Q={mn|m, n Z, n6= 0}numeri hanno le evidenti inclusioniN Z Q. Talvolta `e anche utile consideraregli insiemiZ+={m Z|m 0}numeri interi non negativi,Q+={q Q|q 0}numeri razionali non Perch`e servono altri numeri?I numeri fin qui introdotti sono suscettibili di una semplice interpretazionegeometrica.

5 Su di una rettar, fissiamo un punto che indicheremo con 0 ed unaltro punto, a destra di 0, denominato 1. Usando come unit`a di lunghezzaquella del segmento da 0 a 1 ed i due versi possibili (a destra e a sinistradi 0), si possono cos` facilmente rappresentare, sulla rettar, i numeri interirelativi come mostrato nella seguente 1 2 3 Dato invece un razionalem/n, esso pu`o sempre venire espresso, tramite unasemplice divisione, comem/n=q+m /ndoveq Ze 0 m < n. Ilmodo di rappresentarem/nsulla rettardiviene ora operativamente chiaro:scegliamo il segmento daqaq+1, dividiamolo innparti uguali e consideriamoil punto ottenuto partendo daq, spostandosi dim segmentini di lunghezza1/nnella direzione diq+1. Otterremo ovviamente in questo modo un numerocompreso traqeq+1.

6 Ad esempio 7/3 = 2+1/3 `e rappresentato nella figurasotto:Ogni numero razionale `e cos` univocamente rappresentato da un puntosulla retta. Sar`a vera la cosa contraria? In realt`a il problema non `e ben pos-to in quanto non abbiamo dato una definizione esatta di retta. Affidiamocituttavia alla nostra intuizione di retta come un continuo di punti PERCH`E SERVONO ALTRI NUMERI?501237/3intendendo per continuo il fatto che non ci siano buchi nella retta. Costru-iamo ora sul segmento da 0 a 1 un quadrato; poi, con un compasso, facciamocentro in 0, apriamo con raggio determinato dal vertice del quadrato oppostoa 0 e tracciamo un arco di circonferenza fino ad incontrare la rettarin uncerto puntoP. Che numero rappresentaP?012 PConsiderato che il numero associato ad un punto della retta pu`o essere pen-sato come la lunghezza, con eventuale segno, del segmento dal punto all o-rigine 0, risulta chiaro chePdeve rappresentare il numero 2.

7 Ma chi `e 2? Pu`o essere rappresentato come frazione? La risposta `e nota da almenodue millenni, ma vale la pena ricordarla nella proposizione sotto dove nepresentiamo anche la classica, elegante 2non `e un numero , per assurdo, che lo sia, cio`e che esistano naturalim, nconn6= 0 tali che 2 =m/n. Ovviamente si pu`o ipotizzare chemensiano primi tra al quadrato si ottiene 2 =m2/n2o anche2n2=m2.( )Questo significa chem2deve essere divisibile per 2, cio`e deve essere un numero pari;questo implica (pensate perch`e) chem`e un numero pari. Quindi si pu`o scriverem= 2qper qualche naturaleq. Sostituendo in ( ) si ottiene cos` 2n2= 4q2 n2= 2q2.( )6 CAPITOLO 1. INSIEMI DI NUMERIQ uest ultima formula implica per`o chen2, e di conseguenzan, `e un numero pari. Quindisiamchensono numeri pari e questo `e assurdo per l ipotesi fatta che fossero primi traloro.

8 Ne consegue che 2 non pu`o essere mostri che 3 non `e un numero *Si mostri che xnon `e un numero razionale sexnon `e unquadrato perfetto (cio`e sexnon `e del tipox=n2per qualchen N).Esercizio *Si mostri che3 2 non `e un numero I numeri realiI punti della rettarsono quindi di pi`u dei numeri razionali . Che tipo dinumeri servono per poter rappresentare tutti i punti della retta? Sono i nu-meri reali che introdurremo attraverso le rappresentazioni decimali. Fissiamoprima alcune notazioni. Sulla rettarvi `e un ordinamento naturale: seaebsono due punti dir, scriveremo chea < bseasta a sinistra dibe,a bsea < bo sea=b. Datiaebdircona < b, indicheremo con [a, b] il segmentodei punti traaebestremi inclusi, mentre con il simbolo ]a, b[ indicheremo lostesso segmento senza estremi.

9 Il segmento con uno soltanto dei due estremiverr`a indicato, rispettivamente, con [a, b[ se contienea, con ]a, b] se contieneb. I sottoinsiemi della retta del tipo [a, b], ]a, b[, [a, b[, ]a, b] verranno ora un puntox >0 dir. Chiaramente ci sar`a un interok0 0 tale chek0 x < k0+ ora l intervallo [k0, k0+ 1[ in dieci parti eguali[k0, k0+110[,[k0+110, k0+210[, .. ,[k0+910, k0+ 1[.xdovr`a stare in uno di questi. Supponiamo chek0+k110 x < k0+k1+ 110per un qualchek1= 0, .. , I NUMERI REALI7k0k0 + 1k0+k1/10 k0+(k1+1)/10xAndiamo avanti cos` dividendo a sua volta l intervallino [k0+k110, k0+k1+110[in dieci parti (che misurano quindi un centesimo di quello iniziale [k0, k0+1[)individuando quello in cui stax:k0+k110+k2100 x < k0+k110+k2+ 1100per un qualchek2= 0.]]]]]]]]]]]]

10 ,9. Continuando cos` si determina una sequenzainfinita di numeri naturalik0, k1, k2, ..conk0qualunque e tutti gli altricompresi tra 0 e 9 che risultano collegati al puntoxnel modo seguentek0+k110+k2100+ kn10n x < k0+k110+k2100+ kn+ la notazione compattaxn=k0+k110+k2100+ +kn10n=n i= la diseguaglianza precedente pu`o essere riscritta comexn x < xn+ noti chexnexn+1/10nsono entrambi numeri razionali che distano tra diloro 1/10n. Poich`exsta in mezzo, vuol dire che entrambi hanno distanza daxnon superiore ad 1/10n: pi`u precisamentexnapprossima per difettoxa menodi 1/10nmentrexn+ 1/10napprossima per eccessosempre a meno di 1 aumentare dinessi si avvicinano quanto vogliamo al vero puntox. Talepuntoxnon coincide, in generale, con nessuno dei puntixn(a meno che lasequenza deiknsia fatta da un certo punto in poi da tutti zeri); diremo invecechex`e rappresentato dalla sequenza infinita, dettaallineamento decimale,k0, k1k2k3 kn Diremo anche che quella sopra `e larappresentazione decimaledix.